11. Koonduva jada ja hajuva jada mõiste.
kuitahes v aikese positiivse arvu korral saab n aidata sellist suuruse x v a Koonduv jada- lõplikku piirväärtust omav jada. Hajuv- mitteomav.
a
rtust, millest alates k oik j argnevad muutuva suuruse v a artused kuuluvad 13. * Öeldakse, et jada (Xn) on tõkestatud, kui leidub selline arv M>0, et |Xn|
arvu a u mbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad v orratust |x - a| < .
aratud. Kui a < 0, siis j¨ a¨ ab m¨aa ¨ramispiirkonnast v¨ alja lisaks ka punkt x = 0. Seega: kui a > 0, siis X = [0, ) ja kui a < 0, siis X = (0, ). Eksponentfunktsioon on funktsioon j¨argmisel kujul: y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab v~orratust a > 0. Lisaks sellele v~orratusele eeldame veel, et a = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funkt- siooni y = 1x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0, ). Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 kvalitatiivselt erinev (vt joonised 1.4 ja 1.5 tagapool). Nagu graafikutelt n¨ahtub, on funktsioon y = ax kasvav kogu oma m¨a¨ aramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma m¨a¨aramispiirkonnas, kui 0 < a < 1. Trigonomeetrilised funktsioonid
aratud. Kui a < 0, siis j¨ aa ¨b m¨a¨ aramispiirkonnast v¨ alja lisaks ka punkt x = 0. Seega: kui a > 0, siis X = [0, ) ja kui a < 0, siis X = (0, ). Eksponentfunktsioon on funktsioon j¨argmisel kujul: y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab v~orratust a > 0. Lisaks sellele v~orratusele eeldame veel, et a = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funkt- siooni y = 1x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0, ). Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 kvalitatiivselt erinev (vt joonised 1.4 ja 1.5 tagapool). Nagu graafikutelt n¨ahtub, on funktsioon y = ax kasvav kogu oma m¨a¨aramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma m¨a¨aramispiirkonnas, kui 0 < a < 1. Trigonomeetrilised funktsioonid
a¨ korral, st sin(cx + cT ) = sin(cx). J¨arelikult peab cT = 2k (k Z) T = 2k/c (k Z) ja v¨ahim positiivne arv, mis rahuldab tingimust sin(cx + cT ) = sin(cx) on T = 2/c. Seega on funktsioon y = sin(cx) perioodiline, kusjuures perioodiks on T = 2/c. Definitsioon 8. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks pi- irkonnas X, kui iga x1 X ja x2 X korral, mis rahuldavad v~orratust x1 < x2 , kehtib v~orratus f (x1 ) < f (x2 ). N¨aites 9 on esitatud kasvav funktsioon. Definitsioon 9. Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x1 X ja x2 X korral, mis rahuldavad v~orratust x1 < x2 , kehtib v~orratus f (x1 ) > f (x2 ). N¨aidetes 4 ja 5 on esitatud kahanevad funktsioonid. 15 Definitsioon 10. Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu
mida oligi tarvis t~oestada. Omadus 3. Kui f (x) 0 l~oigul [a; b], siis ka b f (x)dx 0. a T~oestus. Kui f (x) 0 kogu l~oigul [a; b], siis on f (x) 0 igal osal~oigul [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, seega ka f (k ) 0. Korrutades viimast v~orratust k-nda osal~oigu pikkusega, saame f (k )xk 0, k = 1, 2, . . . , n. Liites n mittenegatiivset suurust, saame mittenegatiivse suuruse st n f (k )xk 0. k=1 Mittenegatiivse suuruse piirv¨a¨artus on piirprotsessis 0 mittenegatiivne suurus, mis t~oestabki omaduse. J¨ areldus 2
Kompleksarvud Avaldist z = |z|(cos + i sin ) nimetatakse kompleksarvu z trigonomeetriliseks kujuks (ehk esi- tuseks). Polaarnurka nimetatakse kompleksarvu z argumendiks ning t¨ahistatakse := Arg z. Punkti z asukoht komplekstasandil ei muutu, kui argumenti arg z muuta mingi t¨ aisarv korda 2 v~ orra. Seega on kompleksar- vu argument m¨aa¨ratud vaid 2 t¨ aisarvulise kordseni. Polaarnurga v¨a¨artust arg z, mis rahuldab v~orratust - < arg z , nimeta- takse argumendi peav¨ a¨ artuseks. Kompleksarvu argument avaldub oma peav¨a¨artuse kaudu valemiga Arg z = arg z + 2k, kZ Sageli v~oetakse arg z muutumispiirkonnaks vahemik [0, 2). 11.2 Kompleksarvude v~ ordsuse tunnus trigonomeetrilises esituses Lause 7. Kompleksarvud on v~ ordsed parajasti siis, kui 1) nende moodulid on v~ ordsed,
i=1 i=1 i=1 i=1 = at2 + bt + c, 52 5 KONSTRUKTSIOONID ... kus n n n a = a2i , b = −2 ai b i , c = b2i . i=1 i=1 i=1 See on ruutkolmliige, mis rahuldab v˜orratust f (t) ≥ 0 iga t ∈ R korral. See on v˜oimalik vaid siis, kui tema diskriminant on mittepositiivne, st b2 − 4ac ≤ 0 ehk b2 ≤ 4ac. Siit j¨areldubki p¨arast a, b ja c v¨a¨artuste asendamist ja arvuga 4 taandamist v˜orratus (5.4). Teoreem 5.21 Kui topoloogiliste ruumide (X1 , T1 ), . . . , (Xn , Tn ) topoloogiad on tekitatud meetrikatega d1 , . . . , dn , siis nende ruumide otsekorrutise X = X1 × · · · × Xn topoloogia T on tekitatud meetrikaga d, kus
mida oligi tarvis t~oestada. Omadus 3. Kui f (x) 0 l~oigul [a; b], siis ka b f (x)dx 0. a T~oestus. Kui f (x) 0 kogu l~oigul [a; b], siis on f (x) 0 igal osal~oigul [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, seega ka f (k ) 0. Korrutades viimast v~orratust k-nda osal~oigu pikkusega, saame f (k )xk 0, k = 1, 2, . . . , n. Liites n mittenegatiivset suurust, saame mittenegatiivse suuruse st n f (k )xk 0. k=1 Mittenegatiivse suuruse piirv¨a¨artus on piirprotsessis 0 mittenegatiivne suurus, mis t~oestabki omaduse. J¨ areldus 2
annaabi.ee 
