t = 1 punkt B. Nimetame sellist sirgl~oiku vektoriks ruumis Rm ja t¨ahistame -- -- -- AB. Vektori AB pikkust t¨ahistame s¨ umboliga |AB| ja defineerime selle kui -- -- punktide A ja B vahelise kauguse, st |AB| = |AB|. Vektoriga AB samav¨ a¨ arseks loeme suunatud sirgl~oiku parameetriliste v~orranditega x1 = c1 + (b1 - a1 )t x2 = c2 + (b2 - a2 )t (6.4) ... xm = cm + (bm - am )t , t [0, 1] , kus C = (c1 , c2 , . . . , cm ) on suvaline ruumi Rm punkt. V~orranditega (6.4) antud -- vektor l¨ahtub punktist C
Siis kehtib valem g'[f(x)] = 1/f'(x) . T~oestus. Funktsiooni f argument on x ja s~oltuv muutuja y. Seega f'(x) = dy /dx. P¨o¨ordfunktsiooni x = g(y) argument on y ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult g'(y) = dx /dy. Kasutades neid valemeid arvutame: g'[f(x)] = g'(y) = dx/dy = 1/dy/dx = 1/f'(x) . Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Olgu funktsioon y = f(x) antud parameetrilisel kujul v~orranditega x = (t) y = (t). Siis kehtib valem F'(x) = '(t)/ '(t) . T~oestus. Funktsiooni f argument on x ja s~oltuv muutuja y. Seega f'(x) = dy /dx. Funktsiooni x = (t) argument on t ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult '(t) = dx /dt . Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument on t ja s~oltuv muutuja y, tuletise jaoks seose '(t) = dy /dt . Kasutades neid valemeid arvutame: f'(x) = dy /dx = dy dt/ dx dt = '(t)/ '(t) 22. Joone puutuja definitsioon.
Teoreem: Olgu üksühese funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon x=g(y). Siis kehtib valem 30) Tõestus: Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega . Pöördfunktsiooni x=g(y) argument on y ja sõltuv muutuja x. Järelikult . Kasutades neid valemeid arvutame: . · arameetriliselt antud funktsiooni diferentseerimine. 31) Teoreem: Olgu funktsioon y = f (x) antud parameetrilisel kujul v~orranditega 0 32) Siis kehtib valem f (x) = 33)T~oestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega . Funktsiooni x = (t) argument 0 on t ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult (t) = . Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument
Teoreem: Olgu üksühese funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon x=g(y). Siis kehtib valem 30) Tõestus: Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega . Pöördfunktsiooni x=g(y) argument on y ja sõltuv muutuja x. Järelikult . Kasutades neid valemeid arvutame: . · arameetriliselt antud funktsiooni diferentseerimine. 31) Teoreem: Olgu funktsioon y = f (x) antud parameetrilisel kujul v~orranditega 0 32) Siis kehtib valem f (x) = 33)T~oestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega . Funktsiooni x = (t) argument 0 on t ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult (t) = . Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument
Definitsioon 4. Funktsiooni f (x) iga katkevuspunkti, mis ei ole esimest liiki, nimetatakse selle funktsiooni teist liiki katkevuspunktiks. N¨aide 5. Funktsiooni x/ (x + 2) katkevuspunkt x = -2 on teist liiki katkevuspunkt, sest x x lim = + lim = -. x-2- x + 2 x-2+ x + 2 Skitseerime funktsiooni y = x/ (x + 2) graafiku ja sirged v~orranditega y = 1 ning x = -2 8 6 y4 2 -8 -6 -4 -2 0 2 4x 6 8 -2 -4 -6
V~otame need kaks v~orrandit kokku u ¨hte s¨usteemi. Kui parameetri t muutu- mispiirkond on l~oik [T1 , T2 ], n¨aeb see s¨ usteem v¨alja j¨argmine: { x = (t) (1.8) y = (t) , t [T1 , T2 ] . V~orrandeid (1.8) nimetatakse funktsiooni y = f (x) parameetrilisteks v~orrandi- teks. V~orranditega (1.8) antud joon on u ¨htlasi funktsiooni y = f (x) graafikuks. N¨ aiteks vaatleme funktsiooni b 2 y = a - x2 , a kus a ja b on positiivsed konstandid. Asendame muutuja x parameetri t kaudu j¨argmiselt: x = a cos t. Siis saame b 2
V~otame need kaks v~orrandit kokku u ¨hte s¨usteemi. Kui parameetri t muutu- mispiirkond on l~oik [T1 , T2 ], n¨aeb see s¨ usteem v¨alja j¨argmine: x = (t) (1.8) y = (t) , t [T1 , T2 ] . V~orrandeid (1.8) nimetatakse funktsiooni y = f (x) parameetrilisteks v~orrandi- teks. V~orranditega (1.8) antud joon on u ¨htlasi funktsiooni y = f (x) graafikuks. N¨ aiteks vaatleme funktsiooni b y = a2 - x2 , a kus a ja b on positiivsed konstandid. Asendame muutuja x parameetri t kaudu j¨ argmiselt: x = a cos t. Siis saame b
Kahtluse korral kontrollime lahendit. Uldlahendi asendamisel s¨ us- teemi v~orranditesse peavad vabad tundmatud koonduma. Kontrol- lime (¨ uld)lahendit n¨aiteks esimese v~ orrandiga 2x1 + 7x2 + 1x3 + 3x4 = 2(8 - 9x2 - 4x4 ) + 7x2 + (-10 + 11x2 + 5x4 ) + 3x4 =6 = 6=6 ¨ aa¨nud v~orranditega kontrollitakse lahendit analoogiliselt. Ulej¨ 12 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 8 ¨ Ulesandeid 8.1 ¨ Ulesanne Lahendada LVS ja kontrollida lahendit 3x1 - 2x2 + 5x3 + 4x4 = 2 6x1 - 4x2 + 4x3 + 3x4 = 3 9x1 - 6x2 + 3x3 + 2x4 = 4 8.2 ¨ Ulesanne
2 N¨uu¨d saame valemi (5.13) abil 2 2 2 t t t t s = 2a sin dt = 4a sin d = 4a - cos = 8a. 2 2 2 2 0 0 0 M¨arkus. Ruumilise joone parameetriliste v~orranditega x = x(t), y = y(t) ja z = z(t) kaare pikkuse arvutamiseks parameetri muutumisel l~oigul [; ] kehtib valemiga (5.13) analoogiline valem s= x 2 + y 2 + z 2 dt. (5.14) N¨ aide 3. Leiame kruvijoone x = a cos t, y = a sin t, z = bt, kus a ja b on positiivsed konstandid, esimese keerme pikkuse. Kruvijoone esimine keere moodustub, kui 0 t 2
annaabi.ee 
