Negatiivsema elektroodipotentsiaaliga metall on aktiivsem. YKI0020 Keemia alused Toomas Tamm 2011 S 2011/2012 18. Elektrokeemia 10 Nernsti v~orrand Standardpotentsiaalid kehtivad juhul, kui iooni kontsentratsioon on 1M. Muu kontsentratsiooni korral saab elektroodi potentsiaali arvutada Nernsti v~orrandist RT 1 E = E - ln z+ zF M Nersti v~orrandist on kasutusel ka plussm¨argiga variant, milles ioonide kontsentratsioon on murrujoone peal. M~olemad annavad sama tulemuse. YKI0020 Keemia alused Toomas Tamm 2011
te esialgse funktsiooni algfunktsioon. Seep¨arast ei minda m¨a¨aratud integraa- lis p¨arast muutuja vahetust enam tagasi vanale muutujale, vaid arvutatakse rajad uue muutuja jaoks. Tehes m¨a¨aratud integraalis b f (x)dx a muutuja vahetuse x = (t), leiame dx = (t)dt, v~orrandist (t) = a uue muutuja jaoks alumise raja t = ja v~orrandist (t) = b u ¨lemise raja t = . Siis b f (x)dx = f [((t)] (t)dt. a 9
20: funktsioon y = Arccos x X = (-; ) ja muutumispiirkond - ; . 2 2 y 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x - 2 Joonis 1.21: funktsioon y = arctan x Avaldades v~orrandist y = tan x muutuja x, saame x = arctan y + n, n Z. Vahetades t¨ahistuse, saame funktsiooni y = tan x l~opmatult mitmese p¨o¨ordfunktsiooni y = arctan x+n, n Z, mida t¨ahistataskse y = Arctan x. Lisame juba vaadeldud trigonomeetrilistele funtksioonidele veel neljanda y = cot x. Graafik on esitataud joonisel 1.22 Eraldame funktsioonist y = cot x v¨alja haru m¨a¨aramispiirkonnaga (0; ). Sellel harul vastab igale y (-; ) v¨a¨artusele u ¨ks muutuja x v¨a¨artus. Seda
Lause 16. Regulaarse maatriksi A korral on v~ orrandi AX = B ainus lahend X = A-1 B. oestus. N¨aitame k~oigepealt, et A-1 B on v~orrandi AX = B la- T~ hend. T~oepoolest A(A-1 B) = (AA-1 )B = I B = B Olgu Y veel mingi lahend, s.t AY = B. Siis Y = I Y = (A-1 A)Y = A-1 (AY ) = A-1 B Siit j¨areldub, et A-1 B on v~orrandi AX = B ainus lahend. Seega maatriksi X avaldamiseks v~orrandist AX = B peame seda v~orrandit korrutama maatriksiga A-1 vasakult. J¨argnevad laused t~oestatakse analoogiliselt. 18 II. Maatriksarvutus 6.2 Tundmatu maatriks X on korrutises vasakul Lause 17. Regulaarse maatriksi A korral on v~ orrandi XA = B ainus lahend X = BA-1 . Seega maatriksi X avaldamiseks v~orrandist XA = B peame seda v~orrandit korrutama maatriksiga A-1 paremalt. 6
6. dz /dx = dz /dy * dy /dx ehk {g[f(x)]}' = g'[f(x)]f'(x). 21. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine. Olgu vaatluse all funktsioon y = f(x), mis on antud ilmutamata kujul v~orrandiga F(x,y) = 0. Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada v~orrand F(x,y) = 0 muutuja y suhtes. ~ Onneks saab ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerida ka nii, et teda ei ole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise v~oib arvutada otseselt, l¨ahtudes funktsiooni m¨a¨aravast v~orrandist F(x,y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et k~oik y-it sisaldavad liikmed selles v~orrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x) Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Olgu u¨ksu¨hese funktsiooni y = f(x) p¨o¨ordfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem g'[f(x)] = 1/f'(x) . T~oestus. Funktsiooni f argument on x ja s~oltuv muutuja y. Seega f'(x) = dy /dx.
laarkoordinaatide vahel on seosed: x = cos , y = sin , y = x2 + y 2 , tan = (x = 0). x Funktsiooni y = f (x) (x X) graafikut xy-tasandil k¨asitletakse kui punktihulka {(x, y) : x X y = f (x)} . Seda punktihulka saab m¨a¨arata ka polaarkoordinaatide abil, l¨ahtudes v~ orrandist sin = f ( cos ), mis seob kahte muutujat ja . Olgu nende v¨a¨artuste hulk, mille korral suurus on m¨a¨aratav v~ orrandist sin = f ( cos ). Tulemuseks saame funktsiooni = g () ( ) , joone y = f (x) esituse polaarkoordinaatides. Illustreerime eel¨oeldut diagrammi abil juhul kui x > 0 x = arctan(y/x)
Olgu vaatluse all funktsioon y = f (x), mis on antud ilmutamata kujul v~orrandiga F (x, y) = 0. 62 Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada v~orrand F (x, y) = 0 muutuja y suhtes. Sageli on see v¨aga raske u ¨lesanne. ~ Onneks saab ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerida ka nii, et teda ei ole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise v~oib arvutada otseselt, l¨ahtudes funktsiooni m¨a¨ aravast v~orrandist F (x, y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et k~oik y-it sisaldavad liikmed selles v~orrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y = f (x). Kirjeldame n¨aiteks v~orrandiga sin y - x + cos x - y = 0 (3.5) m¨a¨aratud funktsiooni y = f (x) diferentseerimise protseduuri. V~orrand (3.5) on liiga keeruline selleks, et teda lahendada y suhtes ja seej¨arel arvutada y otseselt funktsiooni f avaldisest
Olgu vaatluse all funktsioon y = f (x), mis on antud ilmutamata kujul v~orrandiga F (x, y) = 0. 62 Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada v~orrand F (x, y) = 0 muutuja y suhtes. Sageli on see v¨aga raske u ¨lesanne. ~ Onneks saab ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerida ka nii, et teda ei ole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise v~oib arvutada otseselt, l¨ahtudes funktsiooni m¨a¨aravast v~orrandist F (x, y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et k~oik y-it sisaldavad liikmed selles v~orrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y = f (x). Kirjeldame n¨aiteks v~orrandiga sin y - x + cos x - y = 0 (3.5) m¨a¨aratud funktsiooni y = f (x) diferentseerimise protseduuri. V~orrand (3.5) on liiga keeruline selleks, et teda lahendada y suhtes ja seej¨arel arvutada y otseselt funktsiooni f avaldisest
annaabi.ee 
