.. + (6.13) dx x u1 dx u2 dx un dx v~ oi dz z z z z = + u1 + u2 + . . . + u . (6.14) dx x u1 u2 un n 16) Tuletada ilmutamata funktsiooni tuletise arvutamise valem. Ilmutamata funktsiooni tuletise valem. Olgu u ¨hemuutuja funktsioon y = f (x) antud ilmutamata kujul v~orrandiga F (x, y) = 0. Eeldame et tuletis f (x) ja osatuletised Fx , Fy eksisteerivad mingis vaadeldavas punktis. Eesm¨argiks on tuletada valem f (x) jaoks Fx ja Fy kaudu. Selleks leiame k~oigepealt u¨hemuutuja funktsiooni F (x, f (x)) tuletise avaldise. T¨aistuletise arvutamise eeskirja (6.14) p~ohjal kehtib j¨argmine valem: dF (x, f (x)) = Fx (x, f (x)) + Fy (x, f (x))f (x) . (6.15) dx J¨
. . a1n x1 y1 a21 a22 . . . a2n x2 y2 A= . .. .. .. , x = . , y=. .. . . . .. .. ak1 ak2 . . . akn xn yk Siis LVS 1.1 on samav¨ a¨ arne maatriksv~ orrandiga a11 a12 . . . a1n x1 y1 a21 a22 . . . a2n x2 y2 .. .. .. .. .. = .. . . . . . . ak1 ak2 . . . akn xn yk Samav¨a¨arsuses v~oib veenduda maatriksarvutuse reeglite abil. Kor- rutades maatriksid A ja x, saame maatriksv~ orduse
¨ Definitsioon 14. Oeldakse, et funktsioon y = f (x) (x X) on esitatud v~orrandi F (x, y) = 0 abil ilmutamata kujul, kui x X : F (x, f (x)) = 0. Ilmutamata kujul esitatud funktsiooni y = f (x) korral k~oneldakse ka v~orrandi F (x, y) = 0 lahendina hulgal X defineeritud ilmutamata funktsioonist. Ilmutamata funktsioon v~oib olla kas u ¨hene v~oi mitmene. Punktihulka {(x, y) | F (x, y) = 0 } nimetatakse v~orrandiga F (x, y) = 0 antud ilmutamata funktsiooni graafikuks. 16 V~orrandiga F (x, y) = 0 esitatud ilmutamata funktsiooni y = f (x) (x [a, b]) graafiku skitseerimisel tuleb esiteks iga xi = a + ih (i = 0; 1; . . . ; n h = (b - a) /n) korral la- hendada v~ orrand F (xi , y) = 0. def Et y = f (x) y - f (x) = 0, siis funktsiooni F (x, y) = y - f (x) korral
g[f(x)] tuletise tema argumendi on x ja s~oltuva muutuja z diferentsiaalide jagatisena. Saame {g[f(x)]}' = dz /dx. Kasutades neid valemeid arvutame: {g[f(x)]}' = dz /dx = dzdy /dydx = dz/dy * dy/dx = g'(y)f'(x) = g'[f(x)]f'(x). Seega oleme t~oestanud j¨argmised reeglid liitfunktsiooni tuletise jaoks: 6. dz /dx = dz /dy * dy /dx ehk {g[f(x)]}' = g'[f(x)]f'(x). 21. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine. Olgu vaatluse all funktsioon y = f(x), mis on antud ilmutamata kujul v~orrandiga F(x,y) = 0. Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada v~orrand F(x,y) = 0 muutuja y suhtes. ~ Onneks saab ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerida ka nii, et teda ei ole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise v~oib arvutada otseselt, l¨ahtudes funktsiooni m¨a¨aravast v~orrandist F(x,y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et k~oik y-it sisaldavad liikmed selles v~orrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x)
(1.11) y = R sinh t , t R , kus kordaja R on positiivne konstant. Nii joone (1.10) kui (1.11) korral kehtib j¨argmine v~ordus x2 - y 2 = (R cosh t)2 - (R sinh t)2 = R2 [(cosh t)2 - (sinh t)2 ] = R2 ehk x2 - y 2 = R2 . (1.12) 23 V~ orrandiga (1.12) antud joont nimetatakse h¨uperbooliks (joonis 1.17). H¨ uperbool koosneb kahest x - telje suhtes s¨ ummeetrilisest harust. Parempoolse haru para- meetrilised v~orrandid on (1.10) ja vasakpoolse haru parameetrilised v~orrandid on (1.11). yy y = -x y=x
(1.11) y = R sinh t , t R , kus kordaja R on positiivne konstant. Nii joone (1.10) kui (1.11) korral kehtib j¨argmine v~ordus x2 - y 2 = (R cosh t)2 - (R sinh t)2 = R2 [(cosh t)2 - (sinh t)2 ] = R2 ehk x2 - y 2 = R2 . (1.12) 23 V~orrandiga (1.12) antud joont nimetatakse h¨ uperbooliks (joonis 1.17). H¨ uperbool koosneb kahest x - telje suhtes s¨ ummeetrilisest harust. Parempoolse haru para- meetrilised v~orrandid on (1.10) ja vasakpoolse haru parameetrilised v~orrandid on (1.11). yy y = -x y=x
133 Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega y = f1(x) ja .ulalt joonega y = f2(x), kusjuures a x b (joonis 5.4). Meid huvitab D pindala S. Näitame, et S saab esitada f2 ja f1 vahe integraalina, st 44. Toestada keha ruumala valem ristloigete pindalade kaudu ja tuletada sellest poordkeha ruumala valem.(Vaatame konspekt paberises 134-136, voi 138-140) 45. Tuletada joone pikkuse valem. Joone pikkuse arvutamine. Olgu antud joon v~orrandiga y = f(x), kus a x b. T.ahistame selle joone pikkuse l- ga. Meid huvitab valem l arvutamiseks. Eeldame, et f(x) on diferentseeruv. Jaotame l~oigu [a, b] osal~oikudeks punktidega a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b (joonis 5.8). T.ahistame xi = xi - xi-1 , yi = f(xi) - f(xi-1) Vaatleme osal~oigu [xi-1, xi] kohale j.a.avat joone osakaart li. See osakaar on suurendatult kujutatud joonisel 5.9. Kuna f(x) on eelduse kohaselt diferentseeruv, on vaadeldav joon sile. Sile
Nendest f fy kahest v~orrandist elimineerime . Esimesest = - x ja teisest = - . x y Nendest kahest v~orrandist fx fy = , x y mis langeb kokku v~orrandis¨usteemi (6.31) esimese v~orrandiga. Kui on vaja leida kolme muutuja funktsiooni w = f (x, y, z) ekstreemumid lisatingimusel (x, y, z) = 0, koostame Lagrange'i funktsiooni F (x, y, z, ) = f (x, y, z) + (x, y, z) ja ekstreemumpunktid leiame v~orrandis¨ usteemist F =0 x Fy = 0
annaabi.ee 
