lim xa f'(x) /g'(x). J¨arelikult eksisteerib ka vasakul pool olev piirv¨a¨artus lim xa f(x)/ g(x). Teoreem on t~oestatud. 27. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid. Funktsiooni y = f(x) n-j¨arku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - j¨arku tuletise tuletist ja t¨ahistatakse f(n). L~oplikku n-j¨arku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n- korda diferentseeruvaks. Kui funktsioonil on olemas k~oik tuletised f(n), kus n = 1,2,3,..., ja neil on l~oplikud v¨a¨artused, siis nimetatakse seda funktsiooni l~opmata arv kordi dife- rentseeruvaks. Funktsiooni y = f(x) n-j¨arku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - j¨arku diferentsiaali diferentsiaali ja t¨ahistatakse. dny. Kehtib valem dny(x) = f(n)(x)dxn . Tuletada kõrgemat järku diferentsiaalide valemid. valem dy = f'(a)dx funktsiooni y = f(x) diferentsiaali dy jaoks. Suurus dy s~oltub punktist a, kus ta arvutatakse, ja argumendi muudust dx. Olgu dx konstantne suurus
1. Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f +g, vahe f -g, korrutis fg ja eeldusel g(a) ei võrdu 0 ka jagatis f /g. 2. Kui funktsioon y = f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z = g[f(x)] pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 1. Kui punktis a eksisteerivad l~oplikud u¨hepoolsed piirv¨a¨artused lim xa- f(x) ja lim xa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~ordus lim xa- f(x) = lim xa+ f(x) = lim xa f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~orvaldatavaks katkevus- punktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~orratus lim xa- f(x) ei võrdu lim xa+ f(x),
u ¨mbrusesse j¨ arjest suurema vasakpoolse otspunktiga M . T¨ apsemalt tuleb sellest juttu j¨ argmises peat¨ ukis. T~okestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse t~okestatuks, kui leidub l~oplik vahemik (a, b) nii, et A (a, b). T~okestatud hulgad on n¨aiteks k~oik l~oplikud vahemikud (a, b), l~oigud [a, b] ja pooll~oigud [a, b), (a, b]. T~okestamata hulgad on aga n¨aiteks l~opmatud va- hemikud (-, a), (a, ) ja l~opmatud pooll~oigud (-, a], [a, ). 1.2 J¨ a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Suurust, mis v~oib omandada erinevaid arvulisi v¨a¨ artusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline v¨a¨
opmatusele, st satub l~opmatuse u ¨ mbrusesse j¨arjest suurema vasakpoolse otspunktiga M . T¨apsemalt tuleb sellest juttu j¨ argmises peat¨ukis. T~okestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse t~okestatuks, kui leidub l~oplik vahemik (a, b) nii, et A (a, b). T~okestatud hulgad on n¨aiteks k~oik l~oplikud vahemikud (a, b), l~oigud [a, b] ja pooll~oigud [a, b), (a, b]. T~okestamata hulgad on aga n¨aiteks l~opmatud va- hemikud (-, a), (a, ) ja l~opmatud pooll~oigud (-, a], [a, ). 1.2 J¨ a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Suurust, mis v~oib omandada erinevaid arvulisi v¨a¨artusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust,
des m¨a¨aratud integraali l~oigul aditiivsuse omadust, kirjutame b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a c ja tekkinud summas on liidetavad juba defineeritud t¨ uu¨pi p¨aratud integraalid. Kui arvutusvalemites (5.12) ja (5.13) olevad piirv¨a¨artused on l~oplikud, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal koondub, kui aga need piirv¨a¨artused on l~opmatud v~oi neid ei ole olemas, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal hajub. Definitsioon 7. P¨aratut integraali nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui koondub p¨aratu integraal b |f (x)|dx. a N¨ aide 11
¨ 1.4 Ulesandeid 1.1 Olgu A ⊂ X. N¨aidata, et T = { ∅, X, A, X A } on topoloogia hulgal X. 1.2 Olgu X mis tahes l˜opmatu hulk ja Tl tema k˜oigi selliste alamhulkade A hulk, mille t¨aiend X A on l˜oplik v˜oi A = ∅: Tl = { A ∈ P(X) | A = ∅ v˜oi X A on l˜oplik}. N¨aidata, et Tl on topoloogia hulgal X. Topoloogiat Tl nimeta- takse l˜oplikuks topoloogiaks hulgal X. Saadud topoloogias on kinnisteks hulkadeks parajasti hulk X ise ja selle hulga k˜oik l˜oplikud alamhulgad. 1.3 N¨aidata teoreemi 1.1 t˜oestuses p˜ohjendamata j¨a¨anud v¨aide, mille kohaselt hulk T rahuldab topoloogiale esitatavat n˜ouet 30 . 1.4 T˜oestada teoreem 1.3. 1.5 Olgu X topoloogiline ruum l˜opliku topoloogiaga Tl (X – mis tahes l˜opmatu hulk). N¨aidata, et ruumi X iga kahe mittet¨ uhja lahtise alamhulga u ¨hisosa pole t¨ uhi. 1.6 T˜oestada, et B ⊂ P(X) on hulgal X m¨a¨aratud mingi
f (x) = 1, kui x = 0 aidetud on k~oik kolm esitatud tingimust. on pidev punktis 0, sest t¨ 56 Definitsioon 3. Punkti x0 nimetatakse funktsiooni f (x) esimest liiki katkevuspunk- tiks, kui punktis x0 eksisteerivad funktsiooni f (x) u ¨hepoolsed l~oplikud piirv¨a¨artused, st lim f (x) lim f (x). xx0 - xx0 + N¨ aide 4. Et Heaviside'i funktsiooni H(x) korral lim H(x) lim H(x) = 0 lim H(x) = 1, x0 x0- x0+ siis punkt 0 on funktsiooni H(x) esimest liiki katkevuspunkt. Nendime, et H(0) = 1. Seega v~oime r¨
funktsioon ei ole pidev. Pidevuse definitsioonist j¨areldub, et katkevuse p~ohjusteks punktis a v~oivad olla funktsiooni v¨a¨artuse puudumine punktis a, piirv¨a¨artuse puudumine punk- tis a, v~oi m~olema olemasolu korral nende (st v¨a¨artuse ja piirv¨a¨artuse) erine- vus. Eristatakse esimest ja teist liiki katkevuspunkte. ¨ Definitsioon 10.2 Oeldakse, et funktsioonil y = f (x) on punktis a esi- mest liiki katkevus, kui on olemas l~oplikud u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused lim f (x) = b1 xa- ja lim f (x) = b2 xa+ ¨ Oeldakse veel, et x = a on funktsiooni y = f (x) h¨ uppekohaks, sest funkt- siooni graafik teeb sellel kohal l~opliku h¨ uppe. 20
annaabi.ee 
