3 -2 -1 2 X = 5 -4 -5 6 8.8 ¨ Ulesanne Lahendada maatriksv~orrand ja kontrollida lahendit. 3 -1 5 6 14 16 X = 5 -2 7 8 9 10 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 1 LVS ja tema lahend 1.1 T¨ ahistusi ja m~ oisteid Lineaarv~orrandis¨ usteemiks (LVS-iks) nimetatakse j¨ argmist v~ orran- dis¨ usteemi: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = y1 a x + a x + · · · + a x = y 21 1 22 2 2n n 2 ................................ a x + a x + · · · + a x = y k1 1 k2 2 kn n k Siin
R + positiivsete reaalarvude hulk; R- negatiivsete reaalarvude hulk; C = z | z = x + iy x R y R i2 = -1 kompleksarvude hulk; [a, b] = {x | a x b} l~ oik; (a, b) = {x | a < x < b} vahemik; (a, b] = {x | a < x b} pooll~ oik; [a, b) = {x | a x < b} pooll~ oik. 7 ¨ 1. Uhe muutuja funktsiooni diferentsiaalarvutus 1.1. Funktsioon Funktsiooni m~ oiste on u¨ks matemaatika p~ohim~oisteid. Selles punktis k¨asitletakse funktsionaalse s~ oltuvusega seonduvaid m~oisteid. Definitsioon 1. Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis ¨ oeldakse, et hulgal X on m¨a¨aratud (¨ uhene) funktsioon f ja seda vastavust f t¨ahistatakse kas y = f (x) (x X) v~oi x - y. Hulka X nimetatakse funktsiooni f m¨ a¨
. . n )) = = f (2 1 3 . . . n ) = 1 2 3 . . . n . N¨aeme, et kujutused gf ja f g on samasuskujutused. Sel korral kujutus g on kujutuse f p¨o¨ordkujutus. Kujutus, millel on olemas p¨o¨ordkujutus, on bijektiivne. Seega l~oplikuelemendilistes hulkades Pn+ ja Pn- on samapalju elemente. Teoreemi 2.1 kohaselt on paaris- ja permutatsioonide arv 12 n!. 24 Selle teoreemi kirjapanekuks kasutasime kujutustega seotud m~oisteid ~oppeainest "Sissejuhatus erialasse". L~opuks vaatleme permutatsoonide hulgal Pn teatavat teisendust : Pn Pn . Tema definitsiooni andmiseks on vaja seletada, kuidas mista- hes permutatsiooni 1 2 ...n Pn korral leida kujutis (1 2 ...n ) Pn . Teeme seda j¨argmiselt. Mistahes permutatsiooni 1 2 ...n abil moodus- tame kaherealise maatriksi 1 2 ... n . 1 2 ... n
= f (α2 α1 α3 . . . αn ) = α1 α2 α3 . . . αn . N¨aeme, et kujutused gf ja f g on samasuskujutused. Sel korral kujutus g on kujutuse f p¨o¨ordkujutus. Kujutus, millel on olemas p¨o¨ordkujutus, on bijektiivne. Seega l˜oplikuelemendilistes hulkades Pn+ ja Pn− on samapalju elemente. Teoreemi 2.1 kohaselt on paaris- ja permutatsioonide arv 12 n!.♠ 24 Selle teoreemi kirjapanekuks kasutasime kujutustega seotud m˜oisteid ˜oppeainest ”Sissejuhatus erialasse”. L˜opuks vaatleme permutatsoonide hulgal Pn teatavat teisendust τ : Pn ↔ Pn . Tema definitsiooni andmiseks on vaja seletada, kuidas mista- hes permutatsiooni α1 α2 ...αn ∈ Pn korral leida kujutis τ (α1 α2 ...αn ) ∈ Pn . Teeme seda j¨argmiselt. Mistahes permutatsiooni α1 α2 ...αn abil moodus- tame kaherealise maatriksi 1 2 ... n
nende t¨apset t¨ahendust selgitatakse. On antud topoloogia m˜oistete intuitiivne selgitus. Tulenevalt sellest, luges autor m˜oned aastad tagasi diskreetse matemaatika kursuse raames ka 6 loengut topoloogia p˜ohim˜oistetest. K¨aesolev loengukons- pekt ongi nende kuue loengu u ¨mbert¨o¨otatud ja t¨aiendatud variant. Vormistatud on see eesm¨argiga, et tulevikus on se- minaride jaoks allikmaterjal, kust vajaduse korral tutvuda v˜oi tuletada meelde vajaminevaid topoloogia m˜oisteid. Autor 1 TOPOLOOGILINE RUUM 1.1 Topoloogilise ruumi definitsioon Olgu X mis tahes hulk ja P(X) tema k˜oigi alamhulkade hulk. Definitsioon 1.1 Hulga X alamhulkade hulka T ⊂ P(X) nimetatakse topoloogiaks hulgal X, kui T rahuldab j¨argmisi tingimusi: 10 ∅ ∈ T , X ∈ T ; 20 mis tahes koguses hulgast T v˜oetud hulga X alamhulkade ¨hend kuulub samuti hulka T (st T on kinnine u u ¨hendi
P· C A x f (a) · G x a x x Joonis 2.8 Pideva funktsiooni definitsioonis esineva 3. tingimuse v~oib kirja panna ka pisut teistsugusel kujul. Selleks kasutame allj¨argnevalt defineeritud argumendi muudu ja funktsiooni muudu m~oisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a , y = f (x) - f (a) - funktsiooni muut kohal a . Kehtib j¨argmine samav¨a¨arsete valemite ahel: lim f (x) = f (a) lim f (x) - f (a) = 0 lim f (x) - lim f (a) = 0 xa xa xa xa lim [f (x) - f (a)] = 0 lim y = 0 lim y = 0 . xa xa x0 J¨
P· C A x f (a) · G x a x x Joonis 2.8 Pideva funktsiooni definitsioonis esineva 3. tingimuse v~oib kirja panna ka pisut teistsugusel kujul. Selleks kasutame allj¨argnevalt defineeritud argumendi muudu ja funktsiooni muudu m~oisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a , y = f (x) - f (a) - funktsiooni muut kohal a . Kehtib j¨argmine samav¨a¨arsete valemite ahel: lim f (x) = f (a) lim f (x) - f (a) = 0 lim f (x) - lim f (a) = 0 xa xa xa xa lim [f (x) - f (a)] = 0 lim y = 0 lim y = 0 . xa xa x0
¨moloogiatest. Indrek Pehk 2000 m¨arts ¨o diplomito ¨ ¨ Helsingi Ulikooli Humanitaarteaduskond Aasia ja Aafrika keelte ja kultuuride osakond Sisukord Eess~ ona 7 I P~ohim~ oisteid 9 1.1 Kanji m¨arkide makrostruktuur . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Kanji erinevad kujud . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2 M¨arkide ajalugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Luukiri bokumon . . . . . . . . . . . . . . . . 16
X = {x|x = 2n, n Z} 21 1.2 Piirv¨ a¨ artus 1.2.1 Jada piirv¨ a¨ artus Reaalarvude hulga ja arvtelje punktide hulga vahel on u ¨ks¨ uhene vastavus. Edaspidi kasutame samas t¨ahenduses m~oisteid reaalarv a ja arvtelje punkt a. Kahe reaalarvu a ja b vaheliseks kauguseks on |b - a|. Samuti on |b - a| arvtelje punktide a ja b vaheliseks kauguseks. Definitsioon 1.1. Punkti a u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - ; a + ), st vahemikku, mis on punkti a suhtes s¨ummeetriline. Olgu vaatluse all jada y1 , y2 , y3 , ..., yn , .... (1.1) Definitsioon 1.2. Reaalarvu b nimetatakse jada (1.1) piirv¨a¨artuseks,
annaabi.ee 
