Mittetriviaalne – kui lineaarkombinatsiooni kordajate seas leidub väheb üks nullis erinev kordaja. LINEAARNE SÕLTUVUS JA LINEAARNE SÕLTUMATUS DEF1: Vektorite süsteem a1 , ⃗ ⃗ a2 , … ,⃗ ak on lineaarselt sõltuv, kui leidub vektoritest moodustatud mittetriviaalne lineaarkombinatsioon, mis on võrdne nullvektoriga. DEF2: Vektorite süsteem a1 , ⃗ ⃗ a2 , … ,⃗ ak on lineaarselt sõltumatu, kui vektoritest moodustatud lineaarkombinatsioon on võrdne nullvektoriga ainult siis, kui see kombinatsioon on triviaalne. LAUSE: Vektorite süsteem, mis sisaldab mingit vektorit korduvalt, on lineaarselt sõltuv.
V = ( A1 ;...; Ak ) R m×n Lineaarne kombinatsioon 1 A1 + ... + k Ak Sama dimensiooniga maatriksite (vektorite) hulga lineaarne kombinatsioon saadakse iga maatriksi (vektori) korrutamisel mingi arvuga ja korrutiste liitmisel 1 ;...; k R Lineaarse kombinatsiooni kordajad Lineaarne sõltumatus 1 A1 + ... + k Ak i 0 A1 + ... + 0 Ak = k lineaarselt sõltumatu mitte nullmaatriksi (vektori) lineaarne kombinatsioon saab võrduda nullmaatriksiga (nullvektoriga) ainult siis, kui kõik lineaarse kombinatsiooni kordajad võrduvad nulliga kui siis 1 A2 = - A1 - 3 A3 ... - k Ak 2 2 2 k lineaarselt sõltuva mitte nullmaatriksi (vektori) lineaarne kombinatsioon saab võrduda null-maatriksiga (nullvektoriga) ka lineaarse kombinatsiooni nullist erinevate kordajate korral, st üht maatriksit saab avaldada ülejäänute kaudu Baasimaatriksid k * = k max = mn Ak * +1 = a1 A1 + a2 A2 + ..
,,Eukleides" Eukleides: Eukleides oli Kreeka matemaatik, keda tuntakse ka ,,geomeetria isana". Eukleides oli esimeste peaaegu täielikult säilinud matemaatikateoste autor. Eukleidese tähtsaim teos, 13 raamatust koosnev ,,Elemendid", sisaldab peaaegu kogu elementaargeomeetria. See tohutu suur, 465 lauset (definitsioonid, aksioomid, teoreemid) hõlmav töö on kirjutatud ranges loogilises järjekorras ja on olnud paljude aastasadade vältel geomeetriaõpikute koostamise aluseks. Eukleidese aksioomid : Tema põhiteos on 13nest raamatust koosnev "Elemendid", mis kujutab endast kogu Vana-Kreeka matemaatika suursaavutusi. Teos sisaldab geomeetria kõige varasema loogiliselt range ülesehituse. Selle 13nest raamatustt I VI on pühendatud planimeetriale, VII IX aritmeetikale, X ühismõõdututele suurustele, XI XIII stereomeetriale. ...
Lisaks eeldatak- se, et V on kinnine vektorite liitmise ja skalaaridega korrutamise suhtes, s.t vektorite summad ja vektorite korrutised skalaaridega kuuluvad vektorruumi V . Edaspidi eeldame vaikimisi, et K = Q, R v~ oi C. Vastavat vek- torruumi nimetatakse ratsionaalseks, reaalseks v~ oi kompleksseks. Vektorruumi nullvektori t¨ ahistamiseks kasutatakse ka arvu 0. Lugeja peab kontekstist m~ oistma, millal on tegemist arvuga 0 ja millal nullvektoriga. Selguse huvides v~ oib kasutada ka t¨ahistust 0V . VI. Vektorruumid 3 2.2 N¨ aide: nullruum Nullruumiks nimetatakse vektorruumi O := {o}, milles on u ¨ksainus element - nullvektor o. Nullruumi t¨ ahistamiseks v~oib kasutada j¨allegi arvu 0. Nullruumi nimetatakse ka triviaalseks vektorruu- miks. Nullruume u ¨le erinevate korpuste tuleb lugeda erinevateks. 2.3 N¨ aide: korpused Iga korpus on vektorruum u
Vektorkorrutis Vektorite x, y vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit x×y, mis on määratud järgmiste tingimustega: 1. |x×y| = |x||y| sin ∠(x, y), kus ∠(x, y) on nurk vektorite x ja y vahel 2. vektor x×y on risti nii vektoriga x, kui ka vektoriga y 3. vektorsüsteem {x, y, x×y} on parema käe kolmik Vektorkorrutamise omadused 1. vektorid x, y on kollineaarsed vektorid parajasti siis, kui x×y = 0, st kui vektorite x, y vektorkorrutis on võrdne nullvektoriga 2. vektorite x, y vektorkorrutise pikkus |x×y| on võrdne vektoritele x, y ehitatud rööpküliku pindalaga Srk(x, y), st |x×y| = Srk(x, y) 3. vektorkorrutamine on kaldsümmeetriline, st x×y = −y×x 4. suvaliste vektorite x, y, z korral ja suvalise reaalarvu α korral kehtivad valemid 2 Arvutamise valemid koordinaatides ristreeperis Kahele vektoritele ehitatud rööpkülik Rakendused:
= aibi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn . i =1 Kui V ei ole nullruum, siis on vektorruumis V lõpmata palju baase ja seega ka erinevaid skalaarkorrutisi. Def. 2. Vektorruumi V koos temas fikseeritud skalaarkorrutisega nimetatakse eukleidiliseks vektorruumiks. Eukleidilises vektorruumis võrdub nulliga iga vektori skalaarkorrutis nullvektoriga : = = 0 . (2) Järgnevalt olgu V mis tahes eukleidiline vektorruum. Defineerime skalaarkorrutise abil vektori pikkuse ja vektoritevahelise nurga. Def. 1. Vektori V pikkuseks nimetatakse arvu . Vektori pikkust tähistatakse . Seega
mis on määratud järgmiste omadustega |x × y|=| x|| y|sin ∠( x , y) ,kus ∠( x , y) on nurk vektorite x ja y vahel Vektor x× y on risti vektoriga x, kui ka vektoriga y Vektorsüsteem { x , y , x × y } on parema käe kolmik 22.vektorkorrutamise omadused- vektorid x,y on kollineaarsed vektorid parajasti siis kui vektorite x,y vektorkorrutis on võrdne nullvektoriga vektorite x,y vektorkorrutie pikkus |x × y| on võrdne vektoritele x,y ehitatud rööpküliku pindalaga S rk ( x , y )=|x × y| vektorkorrutamine on kaldsümmeetriline x × y=− y × x suvaliste vektorite x,y,z korral ja suvalise reaalarvu α korral kehtivad valemid ( αx ) × y= x × ( αy )=α ( x × y)
. . +nen , (A) mis määrab mingi vektori, nimetatakse vektorite e1, e2, . . . ,en LINEAARSEKS KOMBINATSIOONIKS. Kui selles avaldises kõik kordajad võrduvad üheaegselt nulliga, st 1 = 2 = . . . = n = 0, siis öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on TRIVIAALNE. Vastasel korral, kui kas või üks kordajatest i , i = 1, 2 , . . . , n, on nullist erinev, öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on MITTETRIVIAALNE. DEFINITSIOON 3. Kui avaldis (A) võrdub nullvektoriga ainult siis, kui kõik kordajad on nullid, st ainult siis, kui avaldis (A) on triviaalne lineaarne kombinatsioon, siis öeldakse, et vektorid e 1, e2, . . . ,en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUMATU SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 4. Kui leidub mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon (A), mis võrdub nulliga, siis öeldakse, et vektorid e1, e2, . . . , en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUVA SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 5. Vaadeldava vektorite hulga maksimaalset
. . +nen , (A) mis määrab mingi vektori, nimetatakse vektorite e1, e2, . . . ,en LINEAARSEKS KOMBINATSIOONIKS. Kui selles avaldises kõik kordajad võrduvad üheaegselt nulliga, st 1 = 2 = . . . = n = 0, siis öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on TRIVIAALNE. Vastasel korral, kui kas või üks kordajatest i , i = 1, 2 , . . . , n, on nullist erinev, öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on MITTETRIVIAALNE. DEFINITSIOON 3. Kui avaldis (A) võrdub nullvektoriga ainult siis, kui kõik kordajad on nullid, st ainult siis, kui avaldis (A) on triviaalne lineaarne kombinatsioon, siis öeldakse, et vektorid e 1, e2, . . . ,en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUMATU SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 4. Kui leidub mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon (A), mis võrdub nulliga, siis öeldakse, et vektorid e1, e2, . . . , en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUVA SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 5. Vaadeldava vektorite hulga maksimaalset
Siit saame eeskirja omaväärtuste ja omavektorite leidmiseks: 1. omaväärtused t leiame võrdusest |A - tE| = 0 2. omaväärtusele t vastavate omavektorite koordinaadid x leitakse süsteemi (A-tE)x = 0 null-lahenditest erinevate lahenditena 39. Omaväärtuste ja omavektorite omadused (ainult loetleda). 1. t - maatriksi A (teisenduse A) omaväärtus Vt = { | V, L() = t()} => maatriksi A omaväärtusele t vastavate kõigi omavektorite hulk koos nullvektoriga moodustab alamruumi V t vaadeldavas vektorruumis V 2. t1, t2, ..., tn - erinevad omaväärtused maatriksile A 1, 2, ..., n - vastavad omavektorid vektorid 1, ..., n on lineaarselt sõltumatud 3. n = dimV; ARnxn; moodustame maatriksid: C - veeruvektorid 1, ..., n D - diagonaalmaatriks ti - dest Siis AC = CD 4. Sümmeetrilise maatriksi A erinevatele omaväärtustele vastavad omavektorid on omavahel risti (AT = A - sümmeetria) 5
Näitame, et vektorid on lineaarselt sõltumatud. Moodustame lineaarkombinatsiooni 1 1+ 2 2 + ...+ n n 1, 2,..., n) See lineaarkombinatsioon võrdub nullvektorile ainult siis, kui 1= 2=..., n=0. Seega vektorid 1, 2,..., n on lineaarselt sõltumatud. Lause: Iga vektorite hulk, mis sisaldab nullvektorit on lineaarselt sõltuv. Tõestus. Olgu antud vektorid 2,..., m. Siis saame moodustada nullvektoriga vorduva lineaarkombinatsiooni 1 + 0 2 + ... +0 m= , mille kõik kordajad ei ole nullid ( 1 ), seega vektorid on lineaarselt sõltuvad. 22. Vektorruumi baas ja mõõde. Olgu V mistahes vektorruum. Definitsioon. Vektorite süsteemi 1, 2,..., n vektorruumis V nimetatakse vektorruumi V baasiks, kui 1) vektorruumi V mistahes vektor on avaldatav vektorite 1, 2,..., n lineaarkombinatsioonina. 2) vektorite süsteem 1, 2,..
annaabi.ee 
