hulgas D. Kuna iga korral, siis iga korral mis näitab, et suvaline funktsioon F+C, kus C on konstant, on tõesti f algfunktsioon hulgas D. Et tõestada teoreemi väidet, oletame vastuväiteliselt, et f-l leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul F+C. Arvutame G ja F vahe tuletise. Kuna G ja F on ühe ja sama funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D, siis saame Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega , kus C on mingi konstant. Viimasest võrduses saame seose , mis näitab, et G ikkagi avaldub kujul F+C. Jõudsime vastuolule. Teoreem tõestatud. c. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist , kus C on konstant, nim funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse
mis n¨aitab, et suvaline funktsioon F + C, kus C on konstant, on t~oesti f alg- funktsioon hulgas D. T~oestame nu¨u¨d teoreemi v¨aite: f-i k~oik algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F +C. Selleks oletame vastuv¨aiteliselt, et f-l leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul F +C. Arvutame G ja F vahe tuletise. Kuna G ja F on u¨he ja sama funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D, siis saame (G(x) - F(x))' = G'(x) F'(x) = f(x) - f(x) = 0 iga x D korral. Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G - F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest v~ordusest saame seose G = F +C, mis n¨aitab, et G ikkagi avaldub kujul F + C. J~oudsime vastuolule. Teoreem on t~oestatud. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni f algfunktsioonide u¨ldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f m¨a¨aramata integraaliks ja t¨ahistatakse f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C - konstant
C, kus C on konstant, on tõesti f algfunktsioon hulgas D. Tõestame nüüd teoreemi väite: f-i kõik algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F +C. Selleks oletame vastuväiteliselt, et f-l leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul F +C. Arvutame G ja F vahe tuletise. Kuna G ja F on ühe ja sama funktsiooni y = f(x) algfunktsioonid hulgas D, siis saame (G(x) - F(x)) = G(x) - F(x) = f(x) - f(x) = 0 iga x D korral. Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G - F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest võrdusest saame seose G = F +C, mis näitab, et G ikkagi avaldub kujul F + C. Jõudsime vastuolule Määramata integraal. Funktsiooni y = f(x) algfunktsioonide üldavaldist F(x) + C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse . 19. Muutujate vahetuse meetod (muutujate vahetuse selgitus).
siis on kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F+C, kus c. Tõestus: c.i. Kuna iga korral, siis : , mis näitab, et suvaline funktsioon on tõesti algfunktsioon hulgas D. c.ii. Kui f-il leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul . Kuna G ja F on ühe ja sama funktsiooni f algfunktsioonid siis saame: iga korral. c.iii. Nulltuletist omab ainult konstantne funktsioon, seega , kus C on konstant. Sealt järeldub d. Määramata integraal Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldis ja tähistatakse e e. Geomeetriline sisu: Määramata integraal ei ole ühene funktsioon - tal on lõputult erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisalt võib tõlgendada integraali, kui üheste funktsioonide parve , kus konstandi C igale väärtusele vastab
võrdus Teoreem Algfunktsiooni üldavaldis Kui F on funktsiooni f algfunksioon hulgas D, siis on kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F+C, kus Tõestus Kuna iga korral, siis , mis näitab, et suvaline funktsioon on tõesti algfunktsioon hulgas D. Kui f-il leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul . Kuna G ja F on ühe ja sama funktsiooni f algfunktsioonid siis saame iga korral. Nulltuletist omab ainult konstantne funktsioon, seega , kus C on konstant. Sealt järeldub Määramata integraal Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldis ja tähistatakse e Määramata integraal ei ole ühene funktsioon tal on lõputult erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisalt võib tõlgendada integraali, kui üheste funktsioonide parve , kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon, kujutades seda funktsiooni xy-konrdinaadistikus
konstant, on tõesti f algfunktsioon hulgas D. Tõestame nüüd teoreemi väite: f-i kõik algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F +C. Selleks oletame vastuväiteliselt, et f-l leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul F +C. Arvutame G ja F vahe tuletise. Kuna G ja F on ühe ja sama funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D, siis saame (G(x) - F(x)) = G(x) - F(x) = f(x) - f(x) = 0 iga x kuulub D korral. Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G - F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest võrdusest saame seose G = F +C, mis näitab, et G ikkagi avaldub kujul F + C. Jõudsime vastuolule. Teoreem on tõestatud. Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C - konstant . Geomeetriline sisu 34
funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D, siis saame Olgu x suvaline punkt lõigult [a, b]. Nagu tavaliselt, tähistame sümboliga x argumendi x muutu. Kasutades määratud (G(x) - F(x)) = G(x) - F(x) = f(x) - f(x) = 0 iga x kuulub D korral. integraali omadust 3 §5.7 arvutame: Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G - F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest võrdusest (x + x) = x+x a f(t)dt = x a f(t)dt + x+x x f(t)dt = (x) + x+x x f(t)dt . saame seose G = F +C, mis näitab, et G ikkagi avaldub kujul F + C. Jõudsime vastuolule. Teoreem on tõestatud. Seega saame funktsiooni muudu jaoks seose = (x + x) - (x) = x+x x f(t)dt . (5.22) Määramata integraali mõiste
' [ F ( x )+ C ] =F ' ( x )+ C' =F ' ( x )=f ( x ) iga xD korral mis näitab, et suvaline funktsioon F+C, kus C on konstant, on tõesti f algfunktsioon hulgas D. Et tõestada teoreemi väidet, oletame vastuväiteliselt, et f-l leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul F+C. Arvutame G ja F vahe tuletise. Kuna G ja F on ühe ja sama funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D, siis saame ( G ( x ) -F ( x ) )' =G' ( x )-F ' ( x )=f ( x )-f ( x ) =0 Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon . Seega G-F=C , kus C on mingi konstant. Viimasest võrduses saame seose G=F +C , mis näitab, et G ikkagi avaldub kujul F+C. Jõudsime vastuolule. Teoreem tõestatud. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F( x )+C , kus C on konstant, nim funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f ( x ) dx
mis näitab, et suvaline funktsioon F + C, kus C on konstant, on tõesti f alg- funktsioon hulgas D. Tõestame nüüd teoreemi väite: f-i kõik algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F +C. Selleks oletame vastuväiteliselt, et f-l leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul F +C. Arvutame G ja F vahe tuletise. Kuna G ja F on ühe ja sama funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D, siis saame (G(x) − F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) − f(x) = 0 iga x ∈ D korral. Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G − F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest võrdusest saame seose G = F +C, mis näitab, et G ikkagi avaldub kujul F + C. Jõudsime vastuolule. Teoreem on tõestatud. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse ʃf(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt ʃ f(x)dx = F(x) + C , C − konstant
on tõesti f algfunktsioon hulgas D. Tõestame nüüd teoreemi väite: f-i kõik algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F +C. Selleks oletame vastuväiteliselt, et f-l leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul F +C. Arvutame G ja F vahe tuletise. Kuna G ja F on ühe ja sama funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D, siis saame (G(x) - F(x)) = G(x) - F(x) = f(x) - f(x) = 0 iga x D korral. Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G - F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest võrdusest saame seose G = F +C, mis näitab, et G ikkagi avaldub kujul F + C. J~oudsime vastuolule. Teoreem on tõestatud. Funktsiooni maaramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C - konstant .
funktsioon hulgas D. T~oestame n¨uu ¨d teoreemi v¨aite: f -i k~oik algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C. Selleks oletame vastuv¨aiteliselt, et f -l leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul F + C. Arvutame G ja F vahe tuletise. Kuna G ja F on u ¨he ja sama funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D, siis saame (G(x) - F (x)) = G (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0 iga x D korral. Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G - F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest v~ordusest saame seose G = F + C, mis n¨aitab, et 103 G ikkagi avaldub kujul F + C. J~oudsime vastuolule. Teoreem on t~oestatud. M¨ a¨aramata integraali m~ oiste. Funktsiooni f algfunktsioonide u ¨ldavaldist F (x) + C, kus Con konstant, nimetatakse funktsiooni f m¨a¨
funktsioon hulgas D. T~oestame n¨uu ¨d teoreemi v¨aite: f -i k~oik algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C. Selleks oletame vastuv¨aiteliselt, et f -l leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul F + C. Arvutame G ja F vahe tuletise. Kuna G ja F on u ¨he ja sama funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D, siis saame (G(x) - F (x)) = G (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0 iga x D korral. Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G - F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest v~ordusest saame seose G = F + C, mis n¨aitab, et 103 G ikkagi avaldub kujul F + C. J~oudsime vastuolule. Teoreem on t~oestatud. M¨ a¨aramata integraali m~ oiste. Funktsiooni f algfunktsioonide u ¨ldavaldist F (x) + C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f m¨ a¨aramata integraaliks
annaabi.ee 
