funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Summa, vahe, korrutise, jagatise ja liitfunktsiooni pidevus. 8. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid etteantud hulgal. Sõnastada kinnises tõkestatud hulgas pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada kinnises tõkestatud sidusas hulgas pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. 9. Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise definitsioon. Osatuletis kui funktsioon. Osatuletiste tõlgendus ja geomeetriline sisu kahemuutuja funktsiooni korral. 10. Liitfunktsiooni osatuletise valem. Täistuletise mõiste. 11. Olgu ühemuutuja funktsioon y = f(x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f(x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Parameetrilise kahemuutuja funktsiooni osatuletiste leidmine. 12
korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x)f(x), siis nimetatakse arvu f(x) funktsiooni vähimaks väärtuseks lõigul [a,b] Vähima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. Funktsiooni absoluutseid maksimume ning miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. 17.Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega Esimene omadus: Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse selle lõigul. Teine omadus: Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga Kui funktsioon on pidev lõigul [a,b] ja omandab selle lõigu
väärtuseks lõigul [a,b] Vähima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. c. Funktsiooni absoluutseid maksimume ning miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. 17. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. a. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega a.i. Esimene omadus: Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse selle lõigul. a.ii. Teine omadus: Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. b
¨ I 27 / 34 Ma¨ aramata ¨ integraal Ratsionaafunktsioonide integreerimine Horneri skeem Leiame polunoomi ¨ x 3 - 2x 2 + x - 2 va¨ artuse ¨ kohal 2 kasutades ¨ Horneri skeemi. (kui meil on tegemist taisarvulise nullkohaga, siis on ta vabalikme teguriks) 1 -2 1 -2 2 Seega x = 1 on P6 (x) nullkoht ja me saame esituse P6 (x) = (x - 1)(x + 1)2 (x - 2)(x 2 + 1). Teguril x 2 + 1 reaalsed nullkohad puuduvad. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 28 / 34 Ma¨ aramata
+ + + x4 x3 x2 x1 x Kõvera joonistamist tuleb alustada ülalt paremalt kui teisendatud võrratuse vasaku poole ees ei ole "-" märki ja alt paremalt kui vasaku poole ees on "-" märk. Kui nullkoha astendaja on paaritu arv, siis läbib kõver seda nullkohta telge lõigates; kui nullkoha astendaja on paarisarv, siis kõver vaid puutub selle nullkohaga määratud punkti. Võrratuse lahendite leidmisel teljelt tuleb meeles pidada, et ülalpool x -telge on positiivsuspiirkonnad ja allpool x -telge negatiivsuspiirkonnad. Edasi tuleb teljele leitud, võrratuse lahendeid sisaldavaid piirkondi võrrelda võrratuse MP-ga, otsides vastavaid ühisosi. Nii leitud lahenditele tuleb veel, mitterange võrratuse korral, lisada lugejast ära jäetud tegurite nullkohad (muidugi vaid siis, kui need kuuluvad MP-nda).
(absoluutseks miinimumiks) l~oigul [a,b]. 17. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. L~oigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse sellel l~oigul. L~oigul pidev funktsioon saavutab sellel l~oigul iga v¨a¨artuse oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahel. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. Kui funktsioon f on pidev l~oigul [a,b] ja omandab selle l~oigu ots- punktides erineva m¨argiga v¨a¨artusi, siis leidub sellel l~oigul v¨ahemalt u¨ks punkt c, kus f(c) = 0. T~oestus. Omadus 3 j¨areldub otseselt omadustest 1 ja 2. Kuna f on pidev l~oigul [a,b], siis ta saavutab sellel l~oigul oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse. Peale selle, kuna funktsioonil f on l~oigu otspunktides erineva m¨argiga v¨a¨artused, siis on selle funktsiooni suurim v¨a¨artus
19) · Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega Omadus 1 Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse selle lõigul. Omadus 2 Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. · Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga Omadus 3 Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c)=0. Tõestus: Kuna f on pidev lõigul [a,b], siis ta saavutab sellel lõigul oma suurima ja vähima väärtuse. Peale selle, kuna funktsioonil f on lõigu otspunktides erineva märgiga väärtused, siis on selle funktsiooni suurim väärtus positiivne ja
19) · Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega Omadus 1 Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse selle lõigul. Omadus 2 Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. · Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga Omadus 3 Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c)=0. Tõestus: Kuna f on pidev lõigul [a,b], siis ta saavutab sellel lõigul oma suurima ja vähima väärtuse. Peale selle, kuna funktsioonil f on lõigu otspunktides erineva märgiga väärtused, siis on selle funktsiooni suurim väärtus positiivne ja
kõrgeim kui ka madalaim punkt. Seega on funktsioonil olemas absoluutsed ekstreemumid vaadeldaval lõigul. 2. Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. 3. Kui funktsioon f on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga: Kui funktsioon f on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0. Tõestus. Omadus 3 järeldub otseselt omadustest 1 ja 2. Kuna f on pidev lõigul [a, b], siis ta saavutab sellel lõigul oma suurima ja vähima väärtuse. Peale selle, kuna funktsioonil f on lõigu otspunktides erineva märgiga väärtused, siis on selle funktsiooni suurim väärtus positiivne ja vähim väärtus negatiivne
samalt lõigult kehtib võrratus f( ) f(x), siis nimetatakse arvu f( ) funktsiooni f vähimaks väärtuseks lõigul [a, b]. Funktsiooni suurima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul kõrgeim punkt ja funktsiooni vähima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. 17. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. · Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul [a, b], siis on selle funktsiooni graafik antud lõigu kohal pidev joon. Taolisel pideval joonel on olemas nii kõrgeim kui ka madalaim punkt. Seega on funktsioonil olemas absoluutsed ekstreemumid vaadeldaval lõigul. Kui f ei ole pidev lõigul [a, b], siis ei tarvitse ta seal oma suurimat või vähimat väärtust saavutada. (joonis konspektis lk 53)
x korral samalt lõigult kehtib võrratus f( ) ≤ f(x), siis nimetatakse arvu f( ) funktsiooni f vähimaks väärtuseks lõigul [a, b]. Funktsiooni suurima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul kõrgeim punkt ja funktsiooni vähima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. 17. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. 1.) Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul [a, b], siis on selle funktsiooni graafik antud lõigu kohal pidev joon. Taolisel pideval joonel on olemas nii kõrgeim kui ka madalaim punkt. Seega on funktsioonil olemas absoluutsed ekstreemumid vaadeldaval lõigul. Kui f ei ole pidev lõigul [a, b], siis ei tarvitse ta seal oma suurimat või vähimat väärtust saavutada. (joonis konspektis lk 53) 2
Kui leidub punkt x2 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2) f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a, b]. 17. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. Omadus 1. Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul s.t. Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul [a, b], siis on selle funktsiooni graafik antud lõigu kohal pidev joon. Taolisel pideval joonel on olemas nii kõrgeim kui ka madalaim punkt. Seega on funktsioonil olemas absoluutsed ekstreemumid vaadeldaval lõigul Omadus 2. Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel s.t.
annaabi.ee 
