Muutumispiirkond on ]0;[, nullkohad puuduvad. Kui funktsiooni alus on a>1, siis on funktsioon alati kasvav, kui a<1, siis kahanev. Logaritmfunktsioon Logaritmi definitsioon on järgmine: ab=c -> b=logac Logaritmi alus ei tohi olla kunagi negatiivne või 1! Kõige tavalisemad logaritmi alused on 10, 2 ja e, mis on Euleri arv. Logaritmi alusel Euleri arv nimetakse naturaallogaritmiks ja tähistatakse ln. Logaritmi omadused: Logaritm korrutisest ja jagatisest: Logaritm astmest: Logaritmi astme vahetamine: Eksponentvõrrand Eksponentvõrranditel on mitu erinevat lahendusvõtet: 1) Samale alusele viimine Tihti saab ülesannetes teisendada alused samaks, et seejärel panna eksponendid omavahel võrduma
Lõpmata väike suurus, selle omadused. Muutuvat suurust, mille piirväärtus on null, nimetakse lõpmata väikseks. Omadused: Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste summa on lõpmata väike suurus Tõkestatud muutuva suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike suurus Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste korrutis on lõpmata väike suurus. Arv e Arv e=2,71828... on irratsionaalarv, selle väärtust ei saa täpselt esitada. Logaritm alusel e, st logaritmi logex nim naturaallogaritmiks ja tähistatakse lnx. Piirväärtuse arvutamine Teoreemid, mis hõlbustavad piirväärtuse leidmist · Lõpliku arvu muutujate summa piirväärtus võrdub nende piirväärtuste lim y=a, lim z=b summaga: lim(y+z)=a+b · korrutise piirväärtus võrdub piirväärtuste korrutisega (konstantse kordaja võib piirväärtuse märgi ette võtta) · Jagatise piirväärtus võrdub piirväärtuse jagatisega eeldusel, et nimetaja lim y=a, lim
Need seosed saab kirjutada kujul g[f(x)] = x , f[g(y)] = y . 19. Mis on logaritmfunktsioon? Millised on logaritmfunktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafikud ning kuidas on need seotud eksponentfunktsiooni määramispiirkonna, väärtuste hulga ja graafikutega? (lk 10, 14) Funktsiooni y = a x pöördfunktsioon nimetatakse logaritmfunktsiooniks ja tähistatakse x = loga(y). Erijuhul, kui a = e, siis seda funktsiooni nimetatakse naturaallogaritmiks ja tähistatakse x = ln(y). Määramispiirkond on X = (0; +∞) ja muutumispiirkond Y = R. Need on seotud omavahel nõnda, et eksponentfunktsiooni X on logaritmfunktsiooni Y ja vastupidi. 20. Miks on funktsiooni y = sin x pööramisel vaja tema määramispiirkonda kitsendada? Kuidas on defineeritud funktsioon y = arcsin x? Millised on selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik? (lk 10 – 11, 17)
..(n-k+1))/k! , C(ülal 0, all n)=1]= 1+n/1!·1/n+ ... +(n(n-1) ... (n-k+1))/k!·1/n astm k+ ... + (n(n-1) ...1)/n!·1/n astm n= 1+1/1!+ (1-1/n)/2!+ ...+ ((1-1/n) ... (1-(k-1)/n))/k!+ ... +((1- 1/n)...(1-(n-1)/n))/n!<= 1+1/1!+1/2!+... + 1/k!+ ... 1/n!<=[1/k!<=1/2 astm (k-1) (kN)]<=1+1+1/2+...+ ½ astm (k-1)+...+1/2 astm (n-1)<=3. Seega on jada {xn} ülalt tõkestatud. Arv e=2,718 ... on irratsionaalarv. Logaritmi alusel e, st logaritmi log e(väike)x nim. Naturaallogaritmiks ja tähistatakse ln x. Eksponentfunktsiooni e astmes x jaoks kasutatakse ka tähistust exp(x). 11. Funkts. pidevus. Katkevuspunktid: F. on pidev punktis x0, kui delx= x-x00 f(x)- f(x0)= dely0. Ehk lim xx0 (f(x)- f(x0))=0. Funktsioon y=f(x) on pidev punktis x0, kui lim xx0 f(x)= f(x0). F. on pidev mingis vahemikus, kui ta on pidev selle vahemiku igas punktis. Näide. y=1/x See f. on pidev, kui x0. Pidevusvahemikud on näiteks )lõp;0( ja )0;+lõp(. *Olgu f(x) ja g(x) pidevad
3.9 p~ohjal koonduv, st lim xn . Kasutatakse t¨ahistust n+ n 1 lim 1+ = e. n+ n Arv e = 2.7182818246 . . . on irratsionaalarv. Logaritmi alusel e, st logaritmi loge x nimetatakse naturaallogaritmiks ja t¨ahistatakse ln x. Eksponentfunktsiooni ex jaoks kasutatakse ka t¨ ahistust exp(x). 1.5. Funktsiooni piirv¨ a¨ artus Punktides 1.3 ja 1.4 vaatlesime jada piirv¨a¨artust, kusjuures oli tegemist kahe prot- sessiga: naturaalarvulise argumendi n l¨ahenemisega suurusele + ja jada u ¨ldliikme xn l¨ahenemisega suurusele a. K¨asitleme j¨argnevalt u ¨ldisemat juhtu.
x v~ oi x -, l¨aheneb funktsioon 1 + x1 teatud arvule, mis asub 2 ja 3 vahel. Tegemist on irratsionaalarvuga e: e 2.71828... Seega ( )x ( )x 1 1 e = lim 1 + = lim 1+ . x x x- x Logaritmi alusel e nimetatakse naturaallogaritmiks ja t¨ahistatakse s¨ umboliga ln. Seega loge x = ln x. 40 2.6 Funktsiooni piirv¨ a¨ artuste omadused. Paneme k~oigepealt kirja j¨argmised aritmeetiliste tehetega seotud omadused: 1. lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x) , xa xa xa 2
3 vahel. Tegemist on irratsionaalarvuga e: e 2.71828... Seega x x 1 1 e = lim 1+ = lim 1+ . x x x- x Logaritmi alusel e nimetatakse naturaallogaritmiks ja t¨ahistatakse s¨ umboliga ln. Seega loge x = ln x. 40 2.6 Funktsiooni piirv¨ a¨ artuste omadused. Paneme k~oigepealt kirja j¨argmised aritmeetiliste tehetega seotud omadused: 1. lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x) , xa xa xa 2
a>1 0 1 x 0 1 x Joonis 3.7: Logaritmfunktsioon y = loga x. Kui a = e, siis kasutatakse logaritmfunktsiooni tähistamiseks sümbolit ln, arvu ln x := loge x 74 3 Pidevad funktsioonid nimetatakse arvu x ∈ (0, ∞) naturaallogaritmiks. Astmefunktsioon. Naturaallogaritmi abil defineeritakse astmefunktsioon. Kui α ∈ R, siis suvalise x > 0 korral tähistame xα := eα ln x . Seega on funktsioon x 7→ xα defineeritud liitfunktsioonina f := ϕ ◦ g, kus g : (0, ∞) → R, x 7→ α ln x ja ϕ : R → R, z 7→ ez . Kuna mõlemad komponendid g ja ϕ on pidevad, siis ka liitfunktsioon f on pidev oma mää-
Kui aga näiteks töötame kahendsüsteemis, on kõik arvud antud kahe astmete summana ehk oluline muutus toimub arvude kahega korrutamisel. Nii on ka loo- mulik suurusjärk kaks ning loomulik logaritmimine käibki alusel kaks. Kuna arvutid teevad kõike kahendsüsteemis, tuleb ka logaritm alusel kaks ehk esile just arvutitega tegelemisel. Logaritmi alusel nimetatakse naturaallogaritmiks ning teda tähistatakse vahel ka asemel lihtsalt -ga. Nagu nimest võib aimata, on temaski midagi loo- mulikku ja ilusat. Näiteks nägime juba, et sel juhul on tuletis kõige lihtsamas kujus: . Arvust oleme juba rääkinud nii ilusate arvude peatükis [lk 102] kui äsja eksponentsiaalfunktsiooni juures. Temaga on tore koostööd teha. Logaritmi tähendus arvutusajaloos
annaabi.ee 
