Mitu elementi on n elemendilise hulga astmehulgas? 2n elementi. Millist hulka nimetatakse lõplikuks hulgaks? Lõplik hulk sisaldab kindla arvu elemente. Millsit hulka nimetatakse lõpmatuks hulgaks? Lõpmatu hulk sisaldab piiramatult palju elemente? Millist hulka nimetatakse loenduvaks hulgaks? Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve. Mis on loendamine? Objektide arvu tuvastamiseks nendele naturaalarvude omistamine on loendamine. Lõpmatu mitteloenduv ja lõpmatu loenduv hulk. Loenduv {0,1,2,.......} Mitteloenduv {7.16646...,7,16646..., ...... } kuna iga elemendi vahel on veel lõpmatult elemente. Millised hulgaaritmeetilised tehted on olemas? 1 unaarne ja 4 binaarset. Binaarsed Hulkade ühend ehk hulgaaritmeetiline liitmine, Hulkade ühisosa ehk hulgaaritmeetiline korrutamine. Hulkade vahe ehk hulgaaritmeetiline lahutamine. Hulkade sümmeetriline vahe. Unaarne on hulga täiend. Sümboleid vt lk 35-36.
Variatsioonid-Katses osaleb m elementi, katse tulemuseks on k erineva elemendi kindlas järjekorras välja valimine nende elementide hulgast Tõenäosuse geomeetriline tähendus-Tõenäosuse geomeetriline tähendus ühemõõtmelises ruumis väljendub lõigu pikkusena, kahemõõtmelises ruumis pindalana ja kolmemõõtmelises ruumis ruumalana.Kui juhusliku katse võimalike tulemuste arv on mitteloenduv, kuid tulemused võrdvõimalikud saab sündmuse tõenäosuse arvutamiseks kasutadageomeetrilise tõenäosuse valemit Binoomjaotus-Binoomjaotus on diskreetse juhusliku suuruse soodsatest sündmustest moodustuv tõenäosusjaotus Diskreetne juhuslik suurus-Juhuslikku suurust, millel on lõplik või loenduvalt lõplik võimalike väärtuste hulk, nimetatakse diskreetseks Juhuslik suurus-Juhuslikuks suuruseks nimetatakse suurust X, kui iga x R korral eksisteerib tõenäosus P(X < x)
Negatiivse korrelatsiooni korral on ühe suuruse kasvamisel teisel suurusel tendents kahaneda.
Korrelatsioonikordaja märgi määrab kovariatsiooni väärtus, järelikult kannab ta endas samasugust
informatsiooni juhuslike suuruste ühise käitumise tendentsi kohta. Korrelatsioonikordaja väärtus muutub
lõigus -1 kuni 1-ni (r = [-1;1]).
Geomeetriline tähendus
Kui juhusliku katse võimalike tulemuste arv on mitteloenduv, kuid tulemused võrdvõimalikud saab
sündmuse tõenäosuse arvutamiseks kasutada geomeetrilise tõenäosuse valemit.
Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F(x), kus F(x) = P(X < x).
Normaaljaotuse korral on järsakus võrdne 0-ga
Juhusliku vektori jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F(x,y), mis on määratud eeskirjaga
F(x,y) = P(X
Olgu sündmus A1 - pikkusena, kahemõõtmelises ruumis pindalana valitud valimisõiguslik kodanik on hea saadakse roheline kuulike,P(A1) = ja kolmemõõtmelises ruumis ruumalana.Kui tervisega. Selle sündmuse statistiliseks 2/10=0,2.Olgu sündmus A2 - rohelise juhusliku katse võimalike tulemuste arv on mitteloenduv, kuid tulemused võrdvõimalikud tõenäosuseks on P(A) = 0,1.Olgu kuulikese järel saadakse sinine kuulike, saab sündmuse tõenäosuse arvutamiseks sündmuseks B -- juhuslikult valitud P(A2|A1) = 3/9=0,33. Olgu sündmus A3 kasutada geomeetrilise valimisõiguslik kodanik on rikas. Selle - rohelise ja sinise kuulikese järel tõenäosusevalemit.P(A)=S(A)/S(V)
Teoreem 6. 1. Kui on lõplik tähestik {1,2,3,...,}, siis kõigi (lõpliku pikkusega) sõnade hulk tähestikus on loenduv. 2. Programmide hulk igas programmeerimiskeeles on loenduv. 3. Kui on loenduv tähestik {1,2,3,...}, siis kõigi (lõpliku pikkusega) sõnade hulk tähestikus on loenduv. Mitteloenduvad hulgad. Kontiinumi võimsusega hulgad Vahemik (0,1) ei ole loenduv hulk. Iga vahemik (,) arvsirgel on ekvivalentne vahemikuga (0,1) ja seega on mitteloenduv. Tõestus. Tõestamiseks on hea kasutada nn projekteerimist, mis annab bijektsiooni : (,)(0,1) või bijektsiooni -1: (0,1)(,). Hulka, mis on ekvivalentne vahemikuga (0,1) nimetatakse kontiinumi võimsusega hulgaks. (Lad. k. continuum pidev, katkematult jätkuv). Niisiis, hulk ja kõik vahemikud ning ka lõigud [,], kus <, on kontiinumi võimsusega. Kui ja on vastavalt kõigi ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulgad, siis =. Et on
Tühi hulk ∅ on iga hulga osahulgaks ∀𝐴(∅⊂𝐴). Mingi hulga A astmehulgaks 2𝐴 ehk 𝑃(𝐴) nim selle hulga kõikide osahulkade hulka. n-elemendise hulga astmeh-s on 2𝑛 elementi. Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve { 0 1 2 3…}. Iga lõplik hulk on alati loenduv. Täisarvud Z lõpmatu/loenduv, reaalarvud R lõpmatu/mitteloenduv. Hulgaaritmeetilised tehted: täiend – (unaarne), ühend ∪, ühisosa ∩, vahe , sümmeetriline vahe Δ. Kui 𝐴∩𝐵=∅, siis hulgad A ja B on mittelõikuvad. Lõpliku hulga A võimsuseks |A| nim tema elementide arvu. Grassmanni valemid eistavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu. Duaalsetes hulgaavaldistes asenduvad ∩/∪, ∪/∩, ∅/𝐼, 𝐼/∅ nt 𝐴̅∩(𝐵∪𝐶) ja 𝐴̅∪(𝐵∩𝐶)
hulk. Tühi hulk ∅ on iga hulga osahulgaks ∀𝐴(∅ ⊂ 𝐴). Mingi hulga A astmehulgaks 2 𝐴 ehk 𝑃(𝐴) nim selle hulga kõikide osahulkade hulka. n-elemendise hulga astmeh-s on 2𝑛 elementi. Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve { 0 1 2 3 … }. Iga lõplik hulk on alati loenduv. Täisarvud Z lõpmatu/loenduv, reaalarvud R lõpmatu/mitteloenduv. Hulgaaritmeetilised tehted: täiend – (unaarne), ühend ∪, ühisosa ∩, vahe , sümmeetriline vahe ∆. Kui 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, siis hulgad A ja B on mittelõikuvad. Lõpliku hulga A võimsuseks |A| nim tema elementide arvu. Grassmanni valemid eistavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu. Duaalsetes hulgaavaldistes asenduvad ∩/∪, ∪/∩, ∅/𝐼, 𝐼/∅ nt 𝐴̅ ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) ja 𝐴̅ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶).
loenduvad, siis i=1 A i on loenduv TÕESTUS Loengu videos Lause Kahe loenduva hulga otsekorrutis on loenduv. Lause Kahe loenduva hulga otsekorrutis on loenduv. Järeldus: Lõpliku arvu loenduvate hulkade otsekorrutis on loenduv. (Järeldub matemaatilise induktsiooni abil.) Lause Olgu A ja X sellised lõpmatud hulgad, et A X . Kui A on mitteloenduv, siis ka X on mitteloenduv. TÕESTUS Loengus Näide: A {a 1 , a2 , ... , an } 1. Kui on lõplik tähestik , siis kõigi (lõpliku pikkusega) sõnade hulk tähestikus A on loenduv. 2. Programmide hulk igas programmeerimiskeeles on loenduv. {a 1 , a2 , ... } 3. Kui A on loenduv tähestik , siis kõigi (lõpliku pikkusega) sõnade hulk tähestikus A on loenduv.
19. Millist hulka nimetatakse lõpmatuks hulgaks? Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. 20. Millist hulka nimetatakse loenduvaks hulgaks? Hulk on loendub, kui tema elementidele saab vastavusse seada naturaalarve {0,1,2,3,...}. 21. Mis on „loendamine“? Hulga elementidele naturaalarvude omistamine. 22. Tuua näide lõpmatust loenduvast hulgas ja lõpmatust mitteloenduvast hulgast. Lõpmatud loenduvad hulgad on naturaalarvude hulk ja täisarvudehulk . Lõpmatu mitteloenduv hulk on reaalarvude hulk . 23. Millised hulgaaritmeetilised tehted on olemas? Millised on nende tehtemärgid? Hulga täiend ¯ Hulkade ühend ∪ Hulkade ühisosa ∩ Hulkade vahe Hulkade sümmeetriline vahe 24. Millised on unaarsed ja millised on binaarsed hulgaaritmeetilised tehted? Unaarne rakendul ühele hulgale – hulga täiend. Binaarsel tehtel on operandideks kaks hulka – hülkade ühend, ühisosa, vahe, sümmeetriline vahe. 25
h w x v t KOLME HULGA Venni diagramm TÜHI HULK: lõpmatud ja loenduvad hulgad. Hulgas võivad elemendid ka täielikult puududa: { } Reaalarvude hulk R on lõpmatu ja mitteloenduv. Elementideta hulka nimetatakse tühjaks. Tühja hulka tähistatakse ka ∅ ( Diskreetne Matemaatika ei tegele reaalarvudega ) ehk: ∅ ={ } HULGAARITMEETILISED TEHTED Tühi hulk ∅ on iga hulga osahulgaks: On 1 unaarne ja 4 binaarset hulgaaritmeetilist operatsiooni.
Tõestus. Kuna ak < bn suvaliste indeksite k ja n puhul (selgitada!)z, siis {ak | k ∈ N} on ülalt tõkestatud hulk. Pidevuse aksioomi kohaselt eksisteerib sup {ak | k ∈ N} =: c. See- juures c 6 bn iga n korral (selgitada!)z, järelikult c ∈ [an , bn ] suvalise n ∈ N puhul. Seega ∞ T [an , bn ] 6= ∅. n=1 Lause 1.29 abil tõestame nüüd reaalarvude hulga R mitteloenduvuse. Lause 1.30 Ükski vahemik (a0 , b0 ) ⊆ R ei ole loenduv hulk. Seega on ka hulk R mitteloenduv. Tõestus. Võtame vahemikus (a0 , b0 ) suvalise loenduva alamhulga E = {x1 , x2 , . . .} ja näitame, et E 6= (a0 , b0 ). Selleks kasutame järgmist lihtsat tähelepanekut (kontrollida!)z: (∗ ) antud vahemiku (a, b) ja punkti x ∈ R korral saab leida lõigu [c, d] ⊆ (a, b) omadusega x∈ / [c, d] . Selle kohaselt valime kõigepealt lõigu [a1 , b1 ] ⊆ (a0 , b0 ) omadusega x1 ∈ / [a1 , b1 ]. Edasi leiame lõigu [a2 , b2 ] ⊆ (a1 , b1 ) nii, et x2 ∈
annaabi.ee 
