Muutujate vahetus ja ositi integreerimine määratud integraalis. Lause1 (muutujate vahetus määratud integraalis) kui f(x) on lõigul [a; b] pidev funktsioon ja (t) on pidevalt diferentseeruv funktsioon lõigul [a; b], kusjuures () = a ja () = b, siis . Lause2 Kui funktsioon f(x) on integreeruv lõigul [-a; a], siis . Tõestus. Kui f(x) on paarisfunktsioon, siis saame [teostame esimeses liidetavas muutujate vahetuse x = -t, dx = -dt, x = -a t = a, x = 0 t = 0] = = = [määratud integraali väärtus ei sõltu argumendi tähistusest] = . Lause3 Kui paaritu funktsioon f(x) on integreeruv lõigul [-a, a], siis . Tõestus. Kui funktsioon y = f(x) on paaritu funktsioon, siis saame [teostame esimeses liidetavas muutujate vahetuse x = -t, dx = -dt, x = -a t = a, x = 0 t = 0] = .
funktsioon 3 nende x väärtuste korral, mille puhul 2 x - x 2 0 ehk 2x - x 2 x ( 2 - x ) 0 ehk x 0, x 2 . Seega määramispiirkond X = ( - ; 0 ) U ( 0; 2 ) U ( 2; ). 1 Ülesanne 6. Leida funktsiooni y = log 3 ( - x ) + määramispiirkond. x-7 Lahendus. See funktsioon on määratud, kui esimeses liidetavas olev logaritmitav on positiivne ehk siis - x > 0 või kui korrutame seda võrratust ( -1) -ga ja muudame võrratuse märki: -x > 0 ( -1) , siis saame x<0. Teine liidetav on murd, murru nimetajas oleva ruutjuure alune avaldis peab olema rangelt positiivne (ei saa olla võrdne nulliga): x-7 > 0 x>7.
.. (n - 1) n tükki. Kõigi n-ndat järku substitutsioonide hulka tähistatakse S n . Olgu substitutsioonist i1 , i2 ,..., in valitud kaks arvu ik ja il selles järjekorras, nagu nad seal seisavad, s.t. k < l ehk i1 ,..., ik ,..., il ,..., in . Kui ik > il , siis öeldakse, et paar ik , il moodustab inversiooni vaadeldavas substitutsioonis. Maatriksi A determinandiks nimetatakse summat kus iga n-järku substitutsiooni ( i1 , i2 ,..., in , ) jaoks on üks liidetav. Kui summas on n! liidetavat, liidetavas arvu -1 aste on korrutise a1i1 a 2 i2 ...a nin märgi määramiseks. Summat tähistatkse veel ja seda nimetatakse ka n-ndat järku determinandiks. 3. Determinantide 10 omadust. Omadus 1. Maatriksite A ja AT determinantide väärtused langevad kokku, s.t. determinandi D väärtus ei muutu, kui tema read paigutada vastavateks veergudeks ja vastupidi. Omadus 2.Kui determinandil
v = r , siis vektorkorrutise definitsiooni kasutades võime kirja panna nurkkiiruse ja joonkiiruse vahelise seose vektorkujul: v =×r . (2.24) Siit ajalist tuletist arvutades saaksime valemit (1.4) arvestades pöörleva keha punkti kiirenduseks × r + a = v = × r . (2.25) Võrrandi paremal pool on esimeses liidetavas nurkkiiruse vektori tuletis aja järgi. Nimetame selle nurkkiirenduse vektoriks. Nurkkiirenduse vektoriks nimetatakse nurkkiiruse vektori ajalist tuletist. Tema moodul võrdub nurkkiirenduse mooduliga, suund on piki pöörlemistelge. Kiireneva pöörlemise korral on ta suunatud nurkkiiruse vektori sihis, aeglustuva pöörlemise korral sellele vastu (ilmne analoogia sirgjoonelise liikumise kiirenduse suunaga). d =
i + y i2 . i =1 i =1 i =1 i =1 Esimene liidetav on ma 2 , kus m on selle keha kogumass. Viimane liidetav on valemi (6.25) põhjal keha inertsimoment masskeset läbiva telje suhtes. Näitame, et teine ja kolmas liidetav võrduvad nulliga. n Kolmandas liidetavas summa m x i =1 i i on keha masskeskme x-koordinaat korrutatud selle n keha massiga, vt. valem (5.14). Samuti on summa m y
..,i ,...,n ) x11 x22 . . . xii . . . xnn . (3.1) P (1,2,...,n) Kommenteerime viimast valemit. Siin I(1 , 2 , . . . , i , . . . , n ) t¨ahistab inversioonide arvu permutatsioonis 1 2 . . . i . . . n P (1, 2, . . . , n). Summas iga liidetav ilma m¨argita x11 x22 . . . xii . . . xnn on selline, et maatriksi X igast reast ja igast veerust on v~oetud element, mis on omavahel korrutatud. N¨aeme, et reaindeksid, x-de juures on nad esimesel kohal, moodustavad igas liidetavas loomuliku permutatsiooni 12 . . . i . . . n, ja veeruindeksid, x-de juures on nad teisel kohal, moodustavad permu- tatsioonidef hulga P (1, 2, . . . , n) permutatsiooni 1 2 . . . i . . . n . Kui 26 n¨uu ¨d moodustame summa, kasutades hulga P (1, 2, . . . , n) k~oiki permutat- sioone, siis saamegi valemi (3.1). Leiame valemi (3.1) abil esimest, teist ja kolmandat j¨arku determinantide arvutamise valemid. Saame
. . xiαi . . . xnαn . (3.1) P (1,2,...,n) Kommenteerime viimast valemit. Siin I(α1 , α2 , . . . , αi , . . . , αn ) t¨ahistab inversioonide arvu permutatsioonis α1 α2 . . . αi . . . αn ∈ P (1, 2, . . . , n). Summas iga liidetav ilma m¨argita x1α1 x2α2 . . . xiαi . . . xnαn on selline, et maatriksi X igast reast ja igast veerust on v˜oetud element, mis on omavahel korrutatud. N¨aeme, et reaindeksid, x-de juures on nad esimesel kohal, moodustavad igas liidetavas loomuliku permutatsiooni 12 . . . i . . . n, ja veeruindeksid, x-de juures on nad teisel kohal, moodustavad permu- tatsioonidef hulga P (1, 2, . . . , n) permutatsiooni α1 α2 . . . αi . . . αn . Kui 26 n¨uu ¨d moodustame summa, kasutades hulga P (1, 2, . . . , n) k˜oiki permutat- sioone, siis saamegi valemi (3.1). Leiame valemi (3.1) abil esimest, teist ja kolmandat j¨arku determinantide arvutamise valemid. Saame
(5.3) Korrutame saadud valemit keha massiga. Impulsi definitsiooni (5.1) arvestades saame p = p 0 + Fres t . (5.4) Seega keha impulss muutub temale mõjuvate jõudude toimel. Impulsi muut on seda suurem, mida suurem resultantjõud mõjub kehale ja mida kauem aega see mõjub. Kui kehale mõjuv resultantjõud pole konstantne, s.t. muutub ajas mingi seaduse Fres = Fres (t ) järgi, siis lõppimpulssi valemi (5.4) viimases liidetavas asendub korrutis integraaliga. t p = p 0 + Fres (t )dt . 0 (5.5) Saadud valemis paremal pool olevat integraali nimetatakse kehale mõjuvaks jõuimpulsiks. Jõuimpulss kehale mõjuva resultantjõu kui aja funktsiooni integraal üle tema mõjumisaja. Jõuimpulss võrdub keha impulsi muuduga. Konstantse jõu korral võrdub jõuimpulss lihtsalt kehale mõjuva resultantjõu ja mõjumisaja korrutisega. Saadud valemid (5.4) ja (5
Fourier’ teisenduse omadusi. Üks neist tõestada.Kujutist ∫−∞ 𝒇(𝒙) 𝐞𝐱𝐩(−𝒊𝝎𝒙) 𝒅𝒙 nimetatakse funktsiooni f(x) funktsioonile f(x, y) tuleb mõlemas liidetavas sümboli ∂ taha kirjutada f(x, y). 𝟏 +∞
vahelise seose vektorkujul: r r r v =ω×r . (2.24) 6 Siit ajalist tuletist arvutades saaksime valemit (1.4) arvestades pöörleva keha punkti kiirenduseks r r r r r r a = v& = ω& × r + ω × r& . (2.25) Võrrandi paremal pool on esimeses liidetavas nurkkiiruse vektori tuletis aja järgi. Nimetame selle nurkkiirenduse vektoriks. r Nurkkiirenduse vektoriks ε nimetatakse nurkkiiruse vektori ajalist tuletist. Tema moodul võrdub nurkkiirenduse mooduliga, suund on piki pöörlemistelge. Kiireneva pöörlemise korral on ta suunatud nurkkiiruse vektori sihis, aeglustuva pöörlemise korral sellele vastu (ilmne analoogia sirgjoonelise liikumise kiirenduse suunaga). r r dω ε =
annaabi.ee 
