murrujoon. a b Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu osa sellest on võetud. lugeja (näitab mitu osa on võetud) osaks on tervik jaotatud) 3 murrujoon (võib vaadata jagamismärgina) nimetaja (näitab mitmeks võrdseks 5 Kui murru lugeja on nimetajast väiksem, siis nimetatakse murdu lihtmurruks. Lihtmurd on väiksem arvust 1. a a b, 1 b Kui hariliku murru lugeja on võrdne nimetajaga või sellest suurem, siis nimetatakse murdu liigmurruks. a a b, 1 Segaarvuks nimetatakse naturaalarvu ja lihtmurru summat, kirjutatakse üldiselt ilma plussmärgita.
7 28 28 5 7 35 15 5 15 1 1 4 7 4 3 5 3 10 - = - = - = 3 7 28 8 5 41 16 48 48 Ja nüüd vahelduseks üks pilt ja luuletus ÜKS TEINE MATEMAATIKA TAHAD, EKS TAANDA MIND ÄRA, KUI PAISTAN LIIG KEERULINE! KUI TAHAD, MIND LIHTMURRUKS TAANDA. SIIS OLENGI LIHTNE JA SELGE NING LÕPUNI LÄBINÄHTAV. LAS OLLA MU LUGEJAKS ÜKS NING JOONE ALL MISTAHES NUMBER IKKA SEE SINUGA JAGUB, IKKA ON JAGATIS KAKS. NII OLENGI LIHTSALT ÜKS KAHENDIK. ÜKS KAHENDIK. POOL. AINULT POOL. POOL INIMEST KÕIGEST VAID POOL. SEDA MUIDUGI SINUTA.
7 28 28 5 7 35 15 5 15 1 1 4 7 4 3 5 3 10 - = - = - = 3 7 28 8 5 41 16 48 48 Ja nüüd vahelduseks üks pilt ja luuletus ÜKS TEINE MATEMAATIKA TAHAD, EKS TAANDA MIND ÄRA, KUI PAISTAN LIIG KEERULINE! KUI TAHAD, MIND LIHTMURRUKS TAANDA. SIIS OLENGI LIHTNE JA SELGE NING LÕPUNI LÄBINÄHTAV. LAS OLLA MU LUGEJAKS ÜKS NING JOONE ALL MISTAHES NUMBER - IKKA SEE SINUGA JAGUB, IKKA ON JAGATIS KAKS. NII OLENGI LIHTSALT ÜKS KAHENDIK. ÜKS KAHENDIK. POOL. AINULT POOL. POOL INIMEST KÕIGEST VAID POOL. SEDA MUIDUGI SINUTA
9. Hariliku murdu, mille lugeja on nimetajast suurem, nimetatakse liigmurruks. 10. Sirgnurgaks nimetatakse nurka, mille haarad moodustavad sirgjoone. 11. Paralleelseteks sirgeteks nimetatakse sirgeid, millel ühised punktid puuduvad. 12. Rombiks nimetatakse nelinurka, mille lähisküljed on võrdsed. 13. Iga naturaalarvu, millega antud arv jagub, nimetatakse antud arvu teguriks. 14. Iga naturaalarvu peale nulli, mis jagub antud arvuga, nimetatakse selle arvu kordseks. 15. Lihtmurruks nimetatakse harilikku murdu, mille lugeja on nimetajast väiksem. 16. Murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 17. Murru laiendamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja korrutamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 18. Ringjooneks nimetatakse antud punktist jääval kaugusel asetsevate punktide hulka tasandil. 19. Hulka B nimetatakse hulga A osahulgaks kui iga tema element kuulub hulka A. 20
b murru nimetaja Murrujoonel on jagamismärgi tähendus. Horisontaaljoone asemel kasutatakse murrujoonena ka kaldkriipsu. 1 Näited = 1/ 2 = 1: 2 = 0,5 Loe: "kaks koma kolm perioodis" 2 7 = 7 / 3 = 7 : 3 = 2,333... = 2, (3) 3 Liht- ja liigmurd Kui murru nimetaja on suurem lugejast ( b > a, ehk a / b < 1 ), siis nimetame murdu lihtmurruks, vastupidisel ( b a, ehk a / b 1 ) juhul liigmurruks. 5 1 3 4 Näited Lihtmurrud: , , , . 13 3 4 16 5 4 100 1 Liigmurrud: , , , . 3 2 12 1 Iga liigmurru saab teisendada segaarvuks, teostades jäägiga jagamise
iga funkstiooni, mis on esitatav põhiliste
elementaarfunktsioonide kaudu.
DEF 2. Funktsiooni Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an nim. n-astme polünoomiks ehk
täisratsionaalseks funktsiooniks.
Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil Pn(x) on täpselt n
kompleksset nullkohta x1, x2,...,xn.
DEF 3. Ratsionaalfunktsiooniks ehks murdratsionaalseks funktsiooniks nim. kahe polünoomi
jagatisena esitatavat funktsiooni f(x)= Qm(x)/Pn(x)
DEF 4. Ratsionaalfunktsiooni nim. lihtmurruks, kui m
liitfunktsiooni moodustamise teel.: konstantne, astme-,eksponent-, logaritm-,trigo-,arkus-, hüperbppolsed-, areafunktsioonid. n-astme polünoom e täisratsionaalne funkts: Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...an-1x+an( a00), a-d on const, n-N, x-muutuja Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil on n kompleksset 0-kohta x1.. Ratsionaalfunkts e murdratsionaalseks funkts nim kahe polünoomi jagatisena esitatavat funkts-i f(x)=Qm(x)/Pn(x) Ratsionaalfunktsiooni nim lihtmurruks , kui mn, vastasel korral aga liigmurruks Murdlineaarseks funkts nim funkts kujul a0x+a1/b0x+b1, b00 Algebraliseks funkts nim funkts y=f(x), mis rahuldab võrrandit P ( x ) y n + Q ( x ) y n -1 + ... + R ( x ) y + S ( x ) = 0 ( n N ) , kus R(x), Q(x), ... , R(x), S(x) on mingid polünoomid. Irratsionaalfunkts nim algebralist funkts-i, mis ei ole ratsionaalfunkts Funktsioone, mis ei ole algebralised nim transtsendentseteks funkts-ideks( nt trigof, ekspoent, logaritmf)
x2 - 1 x3 - x2 + x - 1 x3 - 1 x2 + 1 a 0 + a1 x + a 2 x 2 +...+a m x m ehk üldkujul , kus a 0 ja b0 on vastavalt lugeja ja b0 + b1 x + b2 x 2 +...+bn x n nimetaja vabaliikmed, a1 , a 2 ,..., a m vastavate x atsmete arvulised kordajad lugejas ning b1 , b2 ,..., bn vastavate x astmete kordajad nimetajas. Juhul kui m < n , nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks lihtmurruks ja kui m n , nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks liigmurruks. Seega toodud näidetest kaks esimest on ratsionaalsed lihtmurrud, kaks viimast aga ratsionaalsed liigmurrud. Ratsionaalse liigmurru korral eraldatakse sellest kõigepealt täisosa, s.t. liigmurd esitatakse hulkliikme e. täisosa ja ratsionaalse lihtmurru summana. Lihtsamatel juhtudel saab täisosa eraldada ratsionaalset murdu sobiva arvuga samaaegselt korrutades ja jagades ja lugejale sobivaid suurusi liites ja lahutades.
Seega Kontroll mathcadiga: Mathcadis võib kasutada ka Symbolics---Variable---Convert to Partial Fraction 13. Mis on ratsionaalfunktsioon? Tooge 2 näidet! Ratsionaalf-niks nim. f-ni , kus p(x) ja q(x) on polünoomid. Näited: , 14. Mis on liigmurd, lihtmurd ratsionaalfunktsioonide puhul? Esitage 2 näidet! Kui murru lugeja aste on nimetaja astmest madalam, siis nimetatakse murdu lihtmurruks, vastasel juhul liigmurruks. Näited: lihtmurd: , liigmurd: , 15. Mis on osamurrud? Toode 2 näidet! Osamurd on murd kujul , kus A, B, p, q on reaalarvulised konstandid ja nimetaja nullkohad ei ole reaalarvud ning k on positiivne täisarv. Näited: v.t. punkti 12 16. Mis on funktsiooni graafiku asümptoot? Tooge 2 näidet! F-ni graafiku asümptoodiks nimetatakse sirget, mis tähistab graafiku lõpmatusepunkti, millele graafik
30 Definitsioon 3. Ratsionaalfunktsiooniks ehk murdratsionaalseks funktsiooniks nime- tatakse kahe pol¨ unoomi jagatisena esitatavat funktsiooni, st f (x) = Qm (x)/Pn (x) (m, n N), kusjuures Qm (x) ja Pn (x) on pol¨ unoomid. Definitsioon 4. Ratsionaalfunktsiooni nimetatakse lihtmurruks, kui m < n, vas- tasel korral aga liigmurruks. Definitsioon 5. Murdlineaarseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul a0 x + a1 (b0 = 0) . b0 x + b 1 Definitsioon 6. Algebraliseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = f (x), mis rahuldab v~ orrandit P (x)y n + Q(x)y n-1 + . . . + R(x)y + S(x) = 0 (n N), kus P (x), Q(x), . .
P (x) x kõrgeim aste). Põhiidee on murd Q(x) esitada osamurdude summa- na. Viimane on võimalik, kuna igat polünoomi saab esitada korrutisena liikmetest tüüpi (x - a) ja (x2 + bx + c). Anname idee näidete varal. Definitsioon 7.4 Kui polünoomi f (x) aste on väiksem polünoomi g(x) astmest, siis rat- f (x) sionaalset funktsiooni nimetatakse lihtmurruks, vastasel korral g(x) aga liigmurruks. Lihtmurru osamurdudeks lahutamise valem. f (x) Olgu lihtmurd. Kui g(x) g(x) = a(x - x1 )k (x - x2 )l . . . (x2 + p1 x + q1 )m . . . (kus ruutpolünoomidel ei ole nullkohti), siis kehtib valem f (x) A1 Ak = + ... + + g(x) x - x1 (x - x1 )k B1 Bl
ehk u ¨ldkujul a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + am xm , b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bn xn kus a0 ja b0 on vastavalt lugeja ja nimetaja vabaliikmed, a1 , a2 , . . . , am vastavate x atsmete arvulised kordajad lugejas ning b1 , b2 , . . . , bn vastavate x astmete kordajad nimetajas. Juhul kui m < n, nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks lihtmurruks ja kui m n, nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks liigmurruks. Seega toodud n¨aidetest (6.1) kaks esimest on ratsionaalsed lihtmurrud, kaks viimast aga ratsionaalsed liigmurrud. Ratsionaalse liigmurru korral eraldatakse sellest k~oigepealt t¨aisosa, st liigmurd esitatakse hulkliikme ehk t¨aisosa ja ratsionaalse lihtmurru summana. Lihtsamatel juhtudel saab t¨aisosa eraldada ratsio- naalset murdu sobiva arvuga samaaegselt korrutades ja jagades ja lugejale sobivaid suurusi
annaabi.ee 
