Tingimused 1. Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. 2. Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause pole korraga tõene ja väär. Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite järgi: 1. Iga lausemuutuja on lausearvutuse valem. 2. Kui F on lausearvutuse valem, siis ka F on lausearvutuse valem. 3. Kui F ja G on lausearvutuse valemid, siis ka (F&G), (FVG),(F->G) ja (F<->G) on lausearvutuse valemid. Osavalem : Kõiki antud valemi konstrueerimise käigus tekkinud valemeid nimetatakse selle valemi osavalemiteks ehk alamvalemiteks, konstrueerimise viimasel sammul kasutatud suhet aga peatehteks. Kokkulepped sulgude kohta: 1
vahetulemeid. Väljaspool alamtuletust tohib kasutada alamtuletuse lõppjäreldust. Kaudne tõestus sisaldab alamtuletusi. 11.On antud laused: „Kodakondsusamet väljastas eelmisel aastal üle tuhande trükiveaga passi.“ ja „Baaris külastajaid rannarõivaste ja rulluiskudega ei teenindata.“ Milline materiaalne loogikaviga esineb mõlemas lauses? Amfiboolia. 12.Literaal… Võib olla nii lausemuutuja kui ka lausemuutuja koos eitusega. 13.Üksikterm ehk singulaarterm: Võib olla tühitermin. 14.Mille järgi saabmäärata kategoorilise süllogismi figuuri? Kesktermini paiknemiste järgi. 15.Kui entümeemi lõppjäreldus on osaeitav ning väiksem eeldus on osajaatav, siis suurem eeldus… Peab olema üldeitav. 16.Kuidas nimetatakse terminit, mille abil avatakse defineeritava termini sisu? Definiens 17.Mis eesmärki täidavad informaalses loogikas dialoogi lõppreeglid?
LAUSEARVUTUSE ASENDUSREEGLID ( LK 278 ) MINIMAALSE TÕLGENDUSE PRINTSIIP – tekstist tuleb välja lugeda ainult seda infot, mida sealt on võimalik eksimatult välja lugeda. VÄIDETESÜSTEEMIKS nimetatakse lõpliku arvu väidete hulka. Väidetesüsteemi nimetatakse VASTUOLULISEKS parajasti siis, kui pole loogiliselt võimalik, et selles süsteemi väited on kõik korraga tõesed. Väidetesüsteemi, mis ei ole vastuoluline nimetatakse KOOSKÕLALISEKS. LITERAAL on lausemuutuja(pos) või lausemuutuja eitus(neg). Mingi lausemuutuja hulga puhul saame koostada ELEMENTAARKONJUNKTSIOONI ehk konjunkti( ehk lihtkonjunktsiooni), milles erinevad literaalid on omavahel seotud konjunktsiooni abil. Sama hulga puhul saame koostada ka ELEMENTAARDISJUNKTSIOONI ehk disjunkti, milles erinevad literaalid on omavahel seotud disjunktsiooni abil. Valemi F DISJUNKTIIVSEKS NORMAALKUJUKS nimetatakse valemiga F
· lausete vastastikune järeldumine ehk seos ,,siis ja ainult siis kui": · lause järeldumine teisest lausest ehk seos ,,kui ... siis ..." : Lausearvutuse valemid saame kirjutades laused üles sümbolkujul. Laused on asendatavad oma tõeväärtusega, seega võime laused ise kõrvale jätta ja kasutada ainult valemeid. Lausearvutuse süntaks (induktiivne definitsioon): Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil: 1. Iga lausemuutuja ja loogiline konstant on lausearvutuse valem. 2. Kui p on lausearvutuse valem, siis ¬p on lausearvutuse valem. 3. Kui p ja q on lausearvutuse valemid, siis (p & q), (p q), (p q) ja (p q) on lausearvutuse valemid. Sulgude vähendamiseks on tehtud kolm kokkulepet: 1. Tehete prioriteet kõrgeimast madalaimani on: ¬, &, , , . 2. Võrdse prioriteediga tehteid sooritatakse vasakult paremale. 3. Valemi välised sulud võib ära jätta.
.." 1) Tehted võib teostada ükskõik milliste lausetega 2) Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. Pole oluline lause sisu vaid tõeväärtus. Valem. Valemi tõeväärtus. Tõeväärtustabel. Def 1. Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil 1) Iga lausemuutuja on lausearvutuse valem. 2) Kui F on lausearvutuse valem, siis ka ¬F on Lvalem 1. 3) Kui F ja G on Lvalemid, siis ka (F&G), (FG), (FG) ja (FG) on Lvalemid. Def 2. Lvalemi F tõeväärtus etteantud väärtustusel leitakse järgmiste reeglite abil. 1) Kui F= ¬G, siis F=1 parajasti siis, kui G=0 2) Kui F=G&H, siis F=1 parajasti siis, kui F=1 ja G=1 3) Kui F=GH, siis F=1 parajasti siis, kui F=1 või G=1
1. Kui A, siis B 2. Väitest A järeldub väide B 3. A on B piisav tingimus 4. B on A tarvilik tingimus 5. A ainult siis, kui B Tehete järjekord: · Valemi definitsioonis kasutatakse tehete järjekorra määramiseks sulge. · Üleskirjutuse lihtsustamiseks lepitakse kokku, et need sulud, mis tehete järjekorda ei mõjuta, võib ära jätta. · Tehteid teostatakse prioriteedi nõrgenemise järjekorras vasakult paremale: ¬ Lausearvutuse valemid: Lausemuutuja on sümbol lausearvutuse lausete hulga mis tahes elemendi tähistamiseks. Lausemuutujaid tähistame X, Y , Z, ... Definitsioon Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada järgmiste reeglite abil: 1. iga lausemuutuja on lausearvutuse valem; 2. tõeväärtused t ja v on valemid; 3. kui on lausearvutuse valem, siis ka ¬ on lausearvutuse valem; 4. kui ja on lausearvutuse valemid, siis ka , , ja on lausearvutuse valemid; 5
X ühtib oma sulundiga“ on valemkujul A ↔ B. Tehete järjekord o ¬, &, ∨, →, ↔ o vasakassotsiatiivsus: kui mitme liikme konjuktsioonis või disjunktsioonis sooritatakse tehteid vasakult paremale, siis võib tehete järjekorda täpsustavatest sulgudest loobuda o Valemi välimised sulud võib ära jätta Lausearvutuse valem DEF: Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil: ○ iga lausemuutuja on lausearvutuse valem ○ kui F on lausearvutuse valem, siis ka ¬F on lausearvutuse valem ○ kui F ja G on lausearvutuse valemid, siis ka (F & G), (F ∨ G), (F → G) ja (F ↔ G) on lausearvutuse valemid 2 3. Väärtustus. Tõeväärtustabel. Samaselt tõene valem. Samaselt väär valem. Kehtestatav valem. Nende omaduste kontrollimine. Seosed valemiklasside vahel. [1] Väärtustus:
Siin on kasutusel mittevälistav ,,või". d. Implikatsioon (märk ) väljendab tingimuslikku konstruktsiooni ,,kui ..., siis ...". e. Ekvivalents (märk ) tähendab matemaatikas sagedasti kasutatavat seost ,,parajasti siis, kui". f. Tehete järjekord kõrgemast madalamani ¬, &, , , . g. Def. Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil. g.i. Iga lausemuutuja on lausearvutuse valem. g.ii. Kui on lausearvutuse valem, siis ka ¬ on lausearvutuse valem. g.iii. Kui ja on lausearvutuse valemid, siis ka ( & ), ( ), ( ) ja ( ) on lausearvutuse valemid. 3) a. Kui vaatluse all on korraga hulk lausemuutujaid ja me omistame tõeväärtuse igale muutujale, siis nimetatakse sellist tõeväärtuse komplekti muutujate väärtustuseks. b
MATEMAATILINE LOOGIKA 1. LAUSEARVUTUS Lausearvutuse tehted: Eitus (¬) Konjuktsioon (&) Disjunktsioon (V) Implikatsioon (->) Ekvivalents (<->) Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil: o iga lausemuutuja on lausearvutuse valem o kui F on lausearvutuse valem, siis ka ¬F on lausearvutuse valem o kui F ja G on lausearvutuse valemid, siis ka (F&G), (FVG), (F->G) ja (F<->G) on lausearvutuse valemid Lausearvutuse valemi F tõeväärtus etteantud väärtustusel leitakse järgmiste reeglite abil: o 1) Kui F = ¬G, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 0 o 2) Kui F = G & H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 ja H = 1
). Seejärel teostame eituse, mis rakendub lausemuutujale U (3.). Järgnevalt sooritame konjunktsiooni A ja mitte-U vahel (4.) ning lõpuks disjunktsiooni neljandana ja teisena saadud tulemite vahel (5.). LAUSEARVUTUSE SÜNTAKS Lausemuutujad võivad omada erinevaid tõeväärtusi (tõene või väär), ning metamuutujate väärtused on konkreetsed laused, mille väärtuseks saab olla ükskõik milline konkreetne lause. Lause tõeväärtus sõltub interpretatsioonist ning see, millist lauset lausemuutuja tavakeeles väljendab, sõltub tõlkimisest, sellest, kuidas me lausemuutujat tõlgendame. Metamuutujate väärtusteks on lausemuutujad ning nendest koostatud avaldised. Lausearvutuses tähistatakse lausemuutujaid tavaliselt suurtähega ja metamuutujaid väiketähega. Metamuutujaid sisaldavaid valemeid nimetatakse lausevormideks. Lausevorm ei ole lause, vaid muutub lauseks, kui metamuutujad asendatakse konkreetse lausemuutujaga või
). Seejärel teostame eituse, mis rakendub lausemuutujale U (3.). Järgnevalt sooritame konjunktsiooni A ja mitte-U vahel (4.) ning lõpuks disjunktsiooni neljandana ja teisena saadud tulemite vahel (5.). LAUSEARVUTUSE SÜNTAKS Lausemuutujad võivad omada erinevaid tõeväärtusi (tõene või väär), ning metamuutujate väärtused on konkreetsed laused, mille väärtuseks saab olla ükskõik milline konkreetne lause. Lause tõeväärtus sõltub interpretatsioonist ning see, millist lauset lausemuutuja tavakeeles väljendab, sõltub tõlkimisest, sellest, kuidas me lausemuutujat tõlgendame. Metamuutujate väärtusteks on lausemuutujad ning nendest koostatud avaldised. Lausearvutuses tähistatakse lausemuutujaid tavaliselt suurtähega ja metamuutujaid väiketähega. Metamuutujaid sisaldavaid valemeid nimetatakse lausevormideks. Lausevorm ei ole lause, vaid muutub lauseks, kui metamuutujad asendatakse konkreetse lausemuutujaga või
jääks ikka tõeseks. Kuna meid huvitab esmajoones väidete üldine ehitus, siis kasutame nüüdsest kokkulepet, et need väite osad, mida võib suvaliselt asendada, tähistatakse suurte tähtedega, mida nimetatakse lausemuutujateks. Niisiis on alati ehk tautoloogiliselt õige järgmine: · ``kui väide A on õige, siis on väide A õige'' ehk lühemalt ja peaaegu ekvivalentselt · ``A-st järeldub A'' Nagu öeldud, tähistab lausemuutuja A siin suvalist väidet: A sisust või õigsusest meie suurema väite õigsus ei sõltu. Viimane on õige oma ehituse ehk vormi ehk struktuuri tõttu. Samamoodi on oma ehituse tõttu õiged · ``kui A ja B, siis A'' · ``ei ole tõsi, et A ja mitte A'' · juba vanas Kreekas tuntud järeldusreegel modus ponens: ``kui A-st järeldub B, ning A on tõsi, siis ka B on tõsi'' Muutjad A ja B tähistavad siin jällegi suvalisi väiteid.
annaabi.ee 
