Loogika (TAUNO ÕUNAPUU) 30.01.14 Loogika on teadus mõtlemise reeglitest, struktuuridest ja vormidest. Loogikat võib pidada ka mõtlemise mudeliks, nimelt arutlemise mudeliks keeles. Loogika esitab väiteid ja arutlusi formaliseeritud kujul, kasutades kuntslikke formaalseid keeli. Selle valdkonnaga tegelevad nii filosoofia kui ka matemaatika. Klassikaline loogika puhul võib eristada kahte formaalset keelt – lausearvutust ja predikaatarvutust. Lausearvutus on klassikalise loogika lihtsaim osa, mis tegeleb lihtlausete vaheliste seoste uurimisega ning mille abil on võimalik välja selgitada, kuidas liitlause tõeväärtus sõltub osalausete tõeväärtustest.Lausearvutust kasutatakse väga paljudes valdkondades, rakendusalad ulatuvad arutluste analüüsist filosoofias liittingimuste konstrueerimiseni programmeerimises. Predikaatarvutus on lausearvutuse laiendus, milles kasutatakse täiendavalt redikaadi,
Arutluse tõestamine Arutlust saab loogikas esitada kujul: E1 E2 E3 ... En J kus E1 ... En on lausearvutuse avaldistena esitatud eeldused ja J (kontrollimist ootav) järeldus. Seoseks, mis viib eeldusest järelduseni saab kasutada lausearvutust. Nimelt võib ülaltoodud arutluse esitada ühe lausearvutuse valemina kujul: E1&E2&...&En J Kui nüüd sellise lause tõeväärtustabel on samaselt tõene, siis võime öelda, et järeldus J järeldub eeldustest E1 ... En. Näide 1. Kui Marile meeldib Jüri, siis Mari naeratab Jürile. Marile meeldib Jüri. Mari naeratab Jürile. Teisendame arutluse lausearvutuse kujule MN M N Ja esitame selle ühe avaldisega: (MN)&MN. 1. 2. 3.
docstxt/1328442129101372.txt
Kui Maril on hea tuju, siis on Jüri õnnelik ------------------------- Jüri on täna õnnelik Lauseid.... Elu on elu Tööpäev kestab reedel kella poole viieni Jüri on ja ei ole mees Lausearvutus Boole algebra Jagamine lauseteks ja osalauseteks Lausearvutus on klassikalise loogika lihtsaim osa, mis tegeleb lihtlausete vaheliste seoste uurimisega ning mille abil on võimalik välja selgitada, kuidas liitlause tõeväärtus sõltub osalausete tõeväärtustest. Lausearvutust kasutatakse väga paljudes valdkondades, rakendusalad ulatuvad arutluste analüüsist filosoofias liittingimuste konstrueerimiseni programmeerimises. Konjunktsioon &, , AND Konjunktsioon kahe lause vahel on tõene täpselt siis, kui mõlemad tema osalaused on tõesed. Jüri õpib ja Mari õpib Jüri ja Mari õpivad Nii Jüri kui ka Mari õpivad ... Eitus ¬, NOT, ~ Tõese lause eitus on väär ja vastupidi. Jüri ei õpi täna Ma ei saa mitte midagi aru Disjunktsioon V, OR
konsekvent (ld consequens ik consequent). Lausearvutuse defineerisime implikatsiooni Kui p, siis q, valemina p q binaarse tehtena, mis annab tõese lause alati, välja arvatud juhtum, kui esimene osalause (p) on tõene ning teine (q) väär. Sellist implikatsiooni nimetatakse ka materiaalseks implikatsiooniks (ik material implication). Materiaalne implikatsioon on konditsionaali kõige väiksema tugevusega (nõudlikkusega) vorm. Väljaspool lausearvutust on kasutusel väga erinevaid konditsionaale: nt selline, mis nõuan aluse ja tagajärje vahel põhjuslikku seost. Klassikalises loogikas on kasutusel formaalne implikatsioon (ik logical implication), milles antentsedent implitseerib konsekvendi, kui leidub tõestus, mis lähtub alusest kui eeldusest ning jõuab välja tagajärjeni kui järelduseni. Ka sel juhul on väga erinevaid lähenemis- ja tõlgendusvõimalusi (ja ka
(Ø(A &B) &A) ØB. 4. Kas esimene või teine; esimene; järelikult mitte teine. (((A ÚB) &Ø(A &B)) &A) ØB. 5. Kas esimene või teine; teine; järelikult mitte esimene. (((A ÚB) &Ø(A &B)) &B) ØA. Neist viiest aksioomist tuletas Chrysippos veel suure hulga õigeid väiteskeeme. Paraku on ekslik Chrysippose kinnitus, et kõik õiged väiteskeemid on nimetatud viiest tuletatavad. Keskaegsed ja hilisemad loogikatekstid kommenteerisid nii Aristotelese mõisteloogikat kui Stoikute lausearvutust. Peale Chrysippost kirjutati Kreekas küll mitmeid kommentaare Aristotelese ja Chrysippose teostele, aktiivne loogikauurimine aga jäi soiku. 2.2 Keskaegne loogika Kreeka loogikatraditsiooni kanti ladinakeelsesse maailma hulga tõlgete abil, olulisemad olid seejuures Cicero (106-43 e.m.a), Marius Victorinuse (4. sajand) ja Martianus Capella (5. sajand) tõlked. Keskaja mõjukaimaks autoriks peetakse
1. Loogikaalgebra tehe on tõeväärtuste hulgal {tõene, väär} defineeritud tehe. 3 Selliseid funktsioone (algebralisi tehteid), mille kandvaks hulgaks on tõeväärtuste hulk {1,0}, nimetatakse tõeväärtusfunktsioonideks (truth function). Loogikaalgebra tehted on tõeväärtusfunktsioonid. Lausearvutuse Boole'i algebra kandvat hulka võiks nimetada formaalsete lausete hulgaks, need esinevad sümbolkujul, neil pole iseenesest ei tõeväärtust ega tavakeelset kuju. Võib öelda ka nii, et lausearvutust teostatakse sümbolitega, mis kujutavad endast formaalseid lauseid, nt A või B. Igal formaalsel lausel on kindel tõeväärtus, mis sõltub konkreetsest interpretatsioonist, teisti öeldes: formaalsete lausete hulga interpretatsioon on kujutus, mis omistab igale formaalsele lausele tõeväärtuse. Formaalsete lausete sidumine tavakeele lausetega on tõlgendamise küsimus. Nt formaalne lause A võib olla ühes interpretatsioonis interpreteeritud tõeseks ja teises vääraks
vastavusest tegelikkusele. Seejuures eeldame, et 1. Iga lause on kas tõene või väär (välistatud kolmanda seadus) 2. Ükski lause ei ole korraga tõene ja väär (mittevasturääkivuse seadus). Leidub loomuliku keele lauseid, mis neid tingimusi ei rahulda: · küsi- ja hüüdlaused, mis midagi ei väida · paradoksaalsed laused, millele ei saa üheselt omistada tõeväärtust · mõnes valdkonnas ei mõelda kahevalentselt Vastavatel juhtudel ja valdkondades ei saa lausearvutust kasutada. Näide: Lausearvutuse laused on: ,,Tallinn on Eesti pealinn." ,,Sead suudavad lennata." ,,Mis tahes reaalarvude a ja b korral a + b = b + a." Näide: Lausearvutuse laused ei ole: ,,Kuidas läheb?" ,,Ma valetan praegu." ,,Korrutage arvud 5 ja 9." Analoogia saavutamiseks algebraliste operatsioonidega lepitakse veel kokku: 3. Liitlauseid võib moodustada suvalistest komponentidest, eeldamata nendevahelist sisulist seost.
Selliseid funktsioone (algebralisi tehteid), mille kandvaks hulgaks on tõeväärtuste hulk {1,0}, nimetatakse tõeväärtusfunktsioonideks (truth function). Loogikaalgebra tehted on tõeväärtusfunktsioonid. Lausearvutuse Boole'i algebra kandvat hulka võiks nimetada formaalsete lausete hulgaks, need esinevad sümbolkujul, neil pole iseenesest ei tõeväärtust ega tavakeelset kuju. Võib öelda ka nii, et lausearvutust teostatakse sümbolitega, mis kujutavad endast formaalseid lauseid, nt A või B. Igal formaalsel lausel on kindel tõeväärtus, mis sõltub konkreetsest interpretatsioonist, teisti öeldes: formaalsete lausete hulga interpretatsioon on kujutus, mis omistab igale formaalsele lausele tõeväärtuse. Formaalsete lausete sidumine tavakeele lausetega on tõlgendamise küsimus. Nt formaalne lause A võib olla ühes interpretatsioonis interpreteeritud tõeseks ja teises vääraks
annaabi.ee 
