• Üldjaatav lause (A - väljendab omaduse olemasolu kõigil antud liiki objektidel): • Osajaatav lause (I - omadus esineb ainult osadel antud liiki objektidel • Vastandid - laused, mis ei saa olla korraga tõesed • Vasturääkivus e. kontradiktsioon – laused, mille tõeväärtused on alati erinevad • Süllogism on kahe eeldusega kehtivad arutlused. • Eeldustes on 3 mõistet, kusjuures üks esineb mõlemas eelduses Samanimeliste kvantorite järjekorra vahetamine on lubatud. Erinevat tüüpi kvantorite kohti ei saa vabalt vahetada!!! Loogiline programm on Horni disjunktsioonide (disjunktiivsete valemite) kogu, kus ükski valem ei sisalda üle ühe positiivse literaali. Kui q1,..., qn on tõesed, siis on ka p tõene” ehk ”Lausetest q1,..., qn järeldub lause p . q Horni lausete tüübid: • Fakt – HL, millel puudub keha e. ainsast positiivsest literaalist koosnev lause: • Reegel - HL, millel on pea ja keha e
1. Arvestatakse, et lauses on kaks osa: ! ! ! - objektid (see, mille kohta midagi väidetakse) - predikaat (see, mis väljendab indiviidide teatud omadusi või nendevahelisi seoseid). 3. Lausearvutuse reeglid ja sümbolid jäävad kehtima, kuid tehakse täiendusi. 4. Mõnikord tehakse täiendavaid nõudeid (nt, et indiviidide hulk ei tohi olla tühi). Kvantorid: ∀ – üldisuskvantor ∃ – olemasolukvantor Kvantorite duaalsusreeglid. Kvantoreid on võimalik omavahel asendada kasutades kvantorite duaalsusreegleid. ¬∀x p = ∃x ¬p Mitte kõik x on p. = Mõni x on ¬p. või Mõni x ei ole p. ¬∃x p = ∀x ¬p Pole x-i, mis on p. = Iga x on ¬p. ∀x p = ¬∃x ¬p Kõik x on p. = Pole x-i, mis on ¬p. või Pole x-i, mis ei ole p. ∃x p = ¬∀x ¬p Mõni x on p. = Pole nii, et kõik x on ¬p. 20. KATEGOORILISTE VÄIDETE ESITAMINE ÜHEKOHALISTE PREDIKAATIDE ABIL.
Predikaatarvutuse põhiideed: 1. Arvestatakse, et lauses on kaks osa: ! ! ! - objektid (see, mille kohta midagi väidetakse) - predikaat (see, mis väljendab indiviidide teatud omadusi või nendevahelisi seoseid). 3. Lausearvutuse reeglid ja sümbolid jäävad kehtima, kuid tehakse täiendusi. 4. Mõnikord tehakse täiendavaid nõudeid (nt, et indiviidide hulk ei tohi olla tühi). Kvantorid: üldisuskvantor olemasolukvantor Kvantorite duaalsusreeglid. Kvantoreid on võimalik omavahel asendada kasutades kvantorite duaalsusreegleid. ¬x p = x ¬p Mitte kõik x on p. = Mõni x on ¬p. või Mõni x ei ole p. ¬x p = x ¬p Pole x-i, mis on p. = Iga x on ¬p. x p = ¬x ¬p Kõik x on p. = Pole x-i, mis on ¬p. või Pole x-i, mis ei ole p. x p = ¬x ¬p Mõni x on p. = Pole nii, et kõik x on ¬p. 20. KATEGOORILISTE VÄIDETE ESITAMINE ÜHEKOHALISTE PREDIKAATIDE ABIL.
https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=125416 lk 14 16. 8) a. Lausearvutuse tehted on kasutusel tingimuste kirjapanemisel: a.i. Programmeerimiskeelte tingimuslausetes ja tsüklitingimuste a.ii. Päringukeeltes a.iii. Semantilises veebis (ontoloogiad) jne. 9) a. Tõestamise strateegiad. https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=96258 b. https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=89132 10) a. **Kvantorite distributeerumine konjunktsiooni ja disjunktsiooniga. b. **Kvantorite ettetoomine. https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php? id=96260 11) a. Üldisuse kvantoriga väite tõestamine induktsiooniga naturaalarvudel. https://moodle.ut.ee/mod/url/view.php?id=107318 lk 4 9 https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=136869 Hulgateooria 12) a. Hulga all mõistetakse üksteisest erinevate objektide kogumit, mida
Siis iga korral tähistavad P(1, ... , ) ja P(1, ... , ) järgmisi ( - 1)-kohalisi predikaate: o P(1, ... , ) = {t, kui x1, ..., xi-1, xi+1, ..., xn on hulga M sellised elemendid, et iga xiM korral P(1, ... , )=t o P(1, ... , ) = {t, kui x1, ..., xi-1, xi+1, ..., xn on hulga M sellised elemendid, et mingi xiM korral P(1, ... , )=t, vastasel juhul P(1, ... , )=v Lõpliku indiviidide piirkonna puhul saab kvantorite rakendamise taandada lausearvutuse tehetele: o Kui = {1, ... , }, siis P(1, ... , )= P(1, ... , -1, 1, +1, ... , ) & ... & P(1, ..., -1, , +1, ... , n) o Olemasolu kvantori saab samal viisil väljendada disjunktsioonide kaudu Konstantsümbolid (a, b, c, ...) tähistavad vaadeldava hulga mingeid kindlaid elemente Funktsionaalsümbolid (f, g, h, ...) tähistavad vaadeldaval hulgal määratud funtksioone
Vaatame nüüd läbi kõik loogilised seosed. Alustame nendest, mis esinesid ülaltoodud näites. Tavaline üldisuse kvantoriga väite tõestamise esimene samm on selline: Tähistagu muutuja suvalist universaalse hulga elementi. Formaalselt tähendab suvalisus seda, et peame valima uue tähise, et eeldustes ei oleks elemendi kohta midagi väidetud. Sealhulgas võib tähisena kasutada ka sedasama muutujat , kui ta ei esine eeldustes (vaba muutujana). 11. **Kvantorite distributeerumine konjunktsiooni ja disjunktsiooniga. **Kvantorite ettetoomine. [3] o Kvantorite distributiivsus: 8x(F(x) & G(x)) = 8xF(x) &8xG(x), 9x(F(x) v G(x)) = 9xF(x) v9xG(x). o vajaduse korral konjunktsiooni ja disjunktsiooni kommutatiivsust, toome kvantorid osavalemite eest valemi ette. HULGAD, FUNKTSIOONID 10 12. Hulgateooria alusmõisted: hulk, element, hulkade võrdsus, tühi hulk. [3, 4, 5] Hulk
Prefikskuju. Valemi prefikskujule viimise algoritm. Ütleme, et valem F on prefikskujul, kui F = Q1x1Q2x2 . . . QnxnF, kus Q1, Q2, . . . , Qn on kvantorid, x1, x2, . . . , xn indiviidmuutujad ja F kvantoriteta valem. Prefikskuju on lähtekoht paljudele predikaatarvutuse algoritmidele, ta mängib predikaatarvutuses sarnast rolli nagu TDNK ja TKNK lausearvutuses Teisendamise algoritm: Olgu antud valem F. 1) Elimineerida implikatsioonid ja ekvivalentsid. 2) Viia eitused kvantorite alla. Kahekordsed eitused jätta ära. 3) Nimetada seotud muutujad ümber nii, et iga kvantor seoks erinevat muutujat ja et ükski kvantor ei seoks muutujat, mis esineb kuskil vabalt. 4) Tuua kvantorid valemi ette. 10 Sekventsiaalne predikaatarvutus. Tuletamine predikaatarvutuses. Kvantoritega seotud tuletusreeglid Tingimuse tähendus
30_fl_i-v Ühemateeria väidete loogiline ruut predikaatloogika versioonis: kontraarsus x (Sx Px) (A) (E) x (Sx ¬Px) subordinatsioon subordinatsioon x (Sx & Px) (I) (O) x (Sx & ¬Px) subkontraarsus Kvantorite duaalsusreeglid: ¬x p = x ¬p ¬x p = x ¬p x p = ¬x ¬p x p = ¬x ¬p Kvantorite vahetamise reeglid: · Vahetada tohib ühetüübilisi kvantoreid Nt: Kõik armastavad kõiki: x y Axy = y x Axy Keegi armastab kedagi: x y Axy = y x Axy · Üldjuhul ei tohi vahetada eritüübilisi kvantoreid: x y Exy y x Exy Nt: Exy = "x ema on y" Igaühel on ema: x y Exy Keegi on kõigi inimeste ema: yx Exy.
Tuleb vahet teha, milliste esinemiste korral valemis on kõnealune muutuja kvantoriga seotud rollis, millal mitte. Nt valemis xAx näitab esimene muutuja x esinemine selle muutuja seotust kvantoriga, teine kord esineb x muutuja predikaadi valemis ja see on koht, kus kvantor muutujale rakendudes muudab predikaadi lauseks. Muutujaga seotud kvantori ulatuseks (scope) nimetatakse valemis piirkonda, milles muutuja iga esinemine on kvantoriga seotud. 4 Kvantorite märgid on vastavate saksakeelsete sõnade alle ja existieren ümberpööratud esitähed. Kvantoreid võib ka juurde defineerida, nt kvantorit ! tuleb lugeda ,,leidub täpselt üks ..." ja seda defineeritakse nii, et !x Px tähendab x (Px & y (Py x = y)). 5 Tavaliselt tähistatakse seda sulgudega, mis järgnevad vahetult kvantorile, ja sellega seotud
Tuleb vahet teha, milliste esinemiste korral valemis on kõnealune muutuja kvantoriga seotud rollis, millal mitte. Nt valemis ∀xAx näitab esimene muutuja x esinemine selle muutuja seotust kvantoriga, teine kord esineb x muutuja predikaadi valemis ja see on koht, kus kvantor muutujale rakendudes muudab predikaadi lauseks. Muutujaga seotud kvantori ulatuseks (scope) nimetatakse valemis piirkonda, milles muutuja iga esinemine on kvantoriga seotud. 4 Kvantorite märgid on vastavate saksakeelsete sõnade – alle ja existieren ümberpööratud esitähed. Kvantoreid võib ka juurde defineerida, nt kvantorit ∃! tuleb lugeda „leidub täpselt üks …” ja seda defineeritakse nii, et ∃!x Px tähendab ∃x (Px & ∀y (Py→ x = y)). 5 Tavaliselt tähistatakse seda sulgudega, mis järgnevad vahetult kvantorile, ja sellega seotud muutuja sümbolile, nt ∀x (Ax → Bx) & Px, kus kvantori ulatusse kuulub vahetult kvantorile
Kvantorit võib predikaaditähise asemel rakendada ka predikaatlausele endale: Kui soovime väita, et predikaat P (x) kehtib vähemalt ühe oma määramispiirkonna x-i korral ehk: ∃x [ ( x > 2 ) ∧ ( x < 4 ) ] P ( x1 ) ∨ P ( x2 ) ∨ P ( x3 ) ∨ P ( x4 ) ∨ . . . . = 1 Kvantorite määratlusest järeldub: siis kasutame sellise väite kopaktsemaks esitamiseks Kui lause ∀ x P ( x) osutub tõeseks, siis ∃x P (x) on samuti tõene. olemasolu kvantorit ehk eksistentsikvantorit ∃ : Kvantorimärgiga seotud muutujat (muutujaid) nimetatakse seotud ∃ x P ( x) muutujateks. ehk üldkujul: ∃x ( . .
Erinevus lause süntaktilises ja loogilises struktuurides: Loogilises üleskirjutuses deskriptsioonid jagunevad: denotaati tähistatakse muutujaga, aga tema poolt väljendatud kontsepti -- propositsionaalse funktsiooniga. Ma kohtasin (üht) inimest Ma kohtasin x-i ja x kuulub inimeste klassi. Maailm koosneb mitte asjadest, vaid sündmustest ja faktidest. Üldnimede tähendust tuleb loogiliselt kirjeldada erinevate deskriptsioonide ja kvantorite koosluste kaudu. Tähendus osutus (Frege Sinn - Bedeutung) Husserl Bedeutung/Sinn Objekt (Gegenstand) Peirce Tõlgend (interpretant) objekt Morris Designaat, hiljem denotaat signifikaat (ei sõltu ühe või teise interpretaatori ind.omadustest) Ogden & Tähendus (meaning) referent Richards
Lõpliku hulga A korral tähistame sümboliga |A| hulgas A olevate elementide arvu ja nimetatame seda hulga A võimsuseks. Kui A = {1, 2} ja B = {1, 2, {1, 2}, }, siis |A| = 2 ja |B| = 4. Samuti || = 0. Osahulk Definitsioon Hulka A nimetatakse hulga B osahulgaks, kui kõik hulga A elemendid on hulga B elementideks (ehk hulga A iga element kuulub hulka B). Kui hulk A on hulga B osahulk, siis kirjutame A B. Kui hulk A ei ole hulga B osahulk, siis kirjutame A B. Kvantorite abil saame osahulgaks olemist ja mitteolemist kirja panna järgmiselt: A B tähendab, et x (x A x B) ja A B tähendab, et x (x A x B) Näide: 1. (0, 1) [0, 1]. 2. Hulgal {a, b} on järgmised osahulgad: , {a}, {b}, {a, b}. 3. 4. {} {, {}} Sisalduvusseose omadused Lause Hulkade sisalduvusseosel on järgmised omadused: 1. Refleksiivsus: Iga hulga A korral A A; 2. Antisümmeetrilisus: Kui A ja B on sellised hulgad, et A B ja B A, siis A = B; 3
annaabi.ee 
