Kõrgem matemaatika 2 TK konspekt (0)

Tunnikontroll 2 materjalid



3. peatükk. Funktsioonid.
1) Definitsioon 3.2: funktsioon Näide 3.1 Näiteks, seos u = ± ei kujuta endast funktsiooni, kuna argumendile v on 丨𝑣丨 vastavusse seatud rohkem kui üks väärtus u ( ja − ), kui v≠ 0. Küll on aga 丨𝑣丨 丨𝑣丨 funktsiooniks u = √ v, v ∈ [0, ∞).
2) Definitsioon 3.5: paarisfunktsioon, paaritu funktsioon, märkus 3.5: paaris ja paaritu
funktsiooni graafik ● Paarisfunktsioon - Funktsiooni y = f(x) nimetatakse paarisfunktsiooniks määramispiirkonnas X, kui f(−x) = f(x), iga x ∈ X korral. ● Paaritu funktsioon - Funktsiooni y = f(x) nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui f(−x) = −f(x), iga x ∈ X korral. ● Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline nullpunkti suhtes. 3) Definitsioon 3.6: üksühene funktsioon, märkus 3.6 üksühesuse tähendus Funktsiooni üksühesus tähendab veel seda, et kui f(x1) = f(x2), siis peab kehtima
argumentide võrdsus x1 = x2. Üksühese funktsiooni kohta öeldakse ka injektiivne
funktsioon. Üksühese funktsiooni f : X → Y korral ei ole ühelgi elemendil y ∈ Y üle ühe
originaali. Seega võib vabalt valitud elemendil y ∈ Y olla parajasti üks originaal või originaali
mitte olla
4) Definitsioon 3.9: liitfunktsioon
Liitfunktsioon - Funktsioonide f ja g liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks nimetatakse
funktsiooni h : X → Z, mis defineeritakse võrdusega h(x) = g( f(x) ), x ∈ X.


5) Definitsioon 3.10: pöördfunktsioon 6) Definitsioon 3.12: elementaarfunktsioon
Põhiliste elementaarfunktsioonide all mõistetakse järgmisi funktsioone:
1. konstantne funktsioon y = c,
2. astmefunktsioon y = x^a
3. eksponentfunktsioon y = a^x, (a > 0, a 6= 1),
4. logaritmfunktsioon y = loga x, (a > 0, a 6= 1),
5. trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x,
6. Arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x.
Elementaarfunktsioonideks nimetatakse funktsioone, mis on saadavad põhilistest
elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise
teel.
4. peatükk. Funktsiooni piirväärtus ja pidevus
1) Definitsioon 4.10: funktsiooni piirväärtus


2) Definitsioon 4.11: funktsiooni lõpmatu piirväärtus 3) Ühepoolsed piirväärtused 4) Teoreem 4.1: funktsiooni piirväärtuse eksisteerimine 5) Teoreem 4.2: piirväärtuse ühesus 6) Definitsioon 4.12: hulgal 𝑋 tõkestatud funktsioon


7) Teoreem 4.3: piirväärtus tõkestatud funktsiooni korrutisest funktsiooniga, mille
piirväärtus on null 8) Teoreem 4.4: tehetega seotud reeglid piirväärtuste kohta


9) Teoreem 4.5: kahepoolse tõkke omadus 10) Teoreem 4.6: elementaarfunktsioonide piirväärtus Z
11) Teoreem 4.7: piirväärtus lim𝑥→0 (sin (𝑥)/𝑥)) = 1 12) Lause 4.1: piirväärtus lim𝑥→∞ (1 +1/𝑥)𝑥= 𝑒 13) Lause 4.2: piirväärtus lim n→∞ n√𝑛  = 1


14) Definitsioon 4.13: punktis pidev funktsioon 15) Märkus 4.8: funktsiooni katkevus, katkevuspunkt


16) Definitsioon 4.14: funktsiooni pidevus hulgal 𝑋 17) Lause 4.3: tehetega seotud pidevuse omadused 18) Teoreem 4.8: elementaarfunktsioonide pidevus
Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas.


5. peatükk. Funktsiooni tuletis ja diferentsiaal
1) Definitsioon 5.3: funktsiooni tuletis punktis 2) Märkus 5.2: lõpmatu tuletis 3) Teoreem 5.1: punktis diferentseeruva funktsiooni pidevus 4) Definitsioon 5.4: diferentseerimine


5) Definitsioon 5.5: diferentseeruv funktsioon (näide funktsioonist, mis ei ole
diferentseeruv) NÄITEKS f(x)=|x|
6) Teoreem 5.2: tehetega seotud diferentseerimise reeglid 7) Teoreem 5.2: kahe funktsiooni korrutise tuletise valem


8) Teoreem 5.3: liitfunktsiooni diferentseerimine 9) Definitsioon 5.6: teist järku tuletis 10) Definitsioon 5.9: joone puutuja 11) Definitsioon 5.10: joone normaal


12) Definitsioon 5.11: funktsiooni diferentsiaal 13) Valemid 5.1, 5.2: funktsiooni muudu ja funktsiooni uue väärtuse leidmine
ligikaudselt (diferentsiaali abil)


14) Definitsioon 5.12: funktsiooni lineaarne lähendamine 6. peatükk. Funktsiooni uurimine
1) Definitsioon 6.1: funktsiooni maksimaalne ja minimaalne väärtus 2) Teoreem 6.1: Fermat’ teoreem 3) Teoreem 6.2: Rolle’i teoreem, geomeetriline tõlgendus


4) Teoreem 6.3: Lagrange’i keskväärtusteoreem, geomeetriline tõlgendus (märkus 6.3)


5) Teoreem 6.4: Cauchy keskväärtusteoreem


6) Teoreem 6.5: L’Hôspitali reegel 7) Definitsioon 6.2: kasvav, kahanev funktsioon hulgas 𝑋 8) Teoreem 6.6: kasvav, kahanev funktsioon vahemikus (𝒂, 𝒃)


9) Definitsioon 6.3: funktsiooni lokaalne maksimum ja miinimum 10) Definitsioon 6.4: funktsiooni kriitilised punktid


11) Teoreem 6.7: lokaalse ekstreemumi liik tuletise kaudu 12) Märkus 6.8: funktsiooni globaalsed ekstreemumid, nende leidmine


13) Lause 6.1: funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 14) Definitsioon 6.5: funktsiooni graafiku kumerus, nõgusus 15) Teoreem 6.8: tingimused funktsiooni kumeruseks, nõgususeks vahemikus 16) Definitsioon 6.6: funktsiooni graafiku käänupunkt