Antud pildil on kujutatud läänepoolset jäätmesaart (ing k. the Western Garbage Patch). Saar on ligikaudu 2250 ja 2150 kilomeetrit lai ja 750 ja 850 kilomeetrit pikk. Saare keskmine sügavus on 10 m ning laiu kirdepoolse nurga suurus on 70,2°. Leia, mitmest konteineritäiest prügist koosneb Vaikses ookeanis hulpiv prügisaar, kui keskmise jäätmekonteineri maht on 200 liitrit. Antud a=2250 km b=850 km c=2150 km d=550 km =70,2° Leida VABCD? Lahendus Kasutades koosinusteoreemi leian kolmnurk ABC külje e pikkuse. e2=b2+a2-2bccos e²=850²+2250²-2·850·2250·cos70,2°4489327 e2118,8 (km) SABC=absin SABC=·850·2260·sin70,2°899717,2 (km²) Leian kolmnurga BDC pindala Heroni valemi järgi. SPDC=, kus p= p==2509,4 SPDC==787267,2 (km²) Leian nelinurga kogupindala. SABCD=SABC+SPDC SABCD=899717,2+787267,6=1686984,8 (km²) Leian prügisaare ruumala. V=Sp·H V=16869848 km³ Leian, mitmest konteineritäiest prahist koosneb jäätmelaid. 200l=0,2m³=0,0000000002km³
Valem sõnades: täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga. koosinusteoreem Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis Pythagorase teoreem on koosinusteoreemi erijuht täisnurksete kolmnurkade jaoks. Siinusteoreem on seos kolmnurga külgede ja nurkade vahel. Selle järgi on kolmnurga suurima külje vastas ka suurim nurk. Täpsemalt öeldes on kolmnurga kõigi külgede suhe vastasnurga siinusesse konstantne ning selle kaudu saab leida kolmnurga ümberringjoone raadiuse R. Siinusteoreemi kasutatakse kolmnurga arvutamiseks, kui on teada üks külg, selle vastasnurk ja veel kas üks külg või üks nurk
3.5 KOLMNURGA LAHENDAMINE Kolmnurk on üheselt määratud järgmiste andmetega, mis ühtlasi määravad ära ka sobivaimad lahendusvõtted: · kaks külge ja nendevaheline nurk lahendamist alustame koosinusteoreemi abil; · üks külg ja selle lähisnurgad lahendame siinusteoreemi abil; · kolm külge lahendamist alustame koosinusteoreemi abil; · kaks külge ja pikema külje vastasnurk lahendamist alustame siinusteoreemiabil. Lisaks siinus- ja koosinusteoreemile tuleb arvesse võtta järgnevat: · kolmnurga sisenurkade summa on 180o; · kolmnurga kahe lühema külje summa on suurem kolmnurga kolmandast küljest; · suurema külje vastas asub suurem nurk. Kui ülesanne on lahendatud, tuleb kontrollida, kas need tingimused on täidetud. Näide 1. Lahendame kolmnurga, kui a = 3 cm, b = 5 cm ja = 40o.
matemaatika vallas koolkonna rajajale, Pythagorasele.Oma koolkonna kaudu on Pythagoras avaldanud järelpõlvedele tugevat mõju. Koolkond püsis uuspütagoreismi kujul seni, kuni kristlus ülejäänud maailmavaated põlustas. Pythagorase teoreem on täisnurkse kolmnurga kahe kaateti ja hüpotenuusi vahel. Valem : Valem sõnades: täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga.Pythagorase teoreem on koosinusteoreemi erijuht täisnurksete kolmnurkade jaoks.Ühelgi teisel teoreemil pole nii palju erinevaid tõestusi.
nurga summa ja vahe valemeid; tuletab ning teab vahe kahekordse nurga siinuse, trigonomeetrilised koosinuse ja tangensi valemeid; funktsioonid. 7) teisendab lihtsamaid Kahekordse nurga trigonomeetrilisi avaldisi; trigonomeetrilised 8) tõestab siinus- ja funktsioonid. koosinusteoreemi; Trigonomeetrilised 9) lahendab kolmnurga ning avaldised. arvutab kolmnurga pindala; Ringjoone kaare 10) rakendab trigonomeetriat, pikkus, ringi lahendades erinevate sektori pindala. eluvaldkondade ülesandeid. Kolmnurga pindala valemid. Siinus- ja
Lahendus. a Kasutame kolmnurga pindala valemit kahe külje ja b nendevahelise nurga kaudu bc sin 25 6 sin 4 S 60 sin . 2 2 5 c Nüüd kasutame puuduva külje leidmiseks koosinusteoreemi. Leiame esmalt nurga koosinuse. Kuna tegemist on nürinurgaga, siis on koosinus negatiivne. 2 4 3 cos 1 sin 1 . 2 5 5 Koosinusteoreemist 3
Summa on siis rööpküliku pikem diagonaal. a-b=a+(-b). Seega ahelreelgi järgi tuleks vektorite a ja b vaheks vektor a-b, mis saadakse a lõppu b vastasvektori b lisamisega. Rööpküliku reeglite järgi oleks vektorite a ja b vahe neile ehitatud rööpküliku lühem diagonaal. Selle suund on selline, et b+(a-b)=a. Kahe vektori summa ja vahe pikkused ja vektorite vahelised nurgad saab arvutada siinus- või koosinusteoreemi abil. Koordinaatidega antud vektorid, tehted nendega Olgu antud vektorid a1, a2, ..., ak. Siis iga vektorit b kujul b = a1a1 + a2a2 +. . .+akak, kus a1, a2, . . , ak on reaalarvud, nimetatakse vektorite a1, a2, . . . , ak lineaarseks kombinatsiooniks. Kui vektor on esitatud mingite vektorite lineaarse kombinatsioonina, siis öeldakse, et ta on arendatud nende vektorite järgi. T1 Iga tasandi vektor on esitatav üheselt kahe mittekollineaarse vektori 1 ja
3 15 2 5 Näpunäited I, II 1) Teeme joonise, selleks kanname koordinaatteljestikku punkti A ja vektori AD . Leiame punkti D koordinaadid ning peegeldame punkti A ja D x-teljest (y-teljest). 2) Leiame trapetsi aluste ning kõrguse pikkused ja arvutame trapetsi pindala. 3) Leiame trapetsi alusnurga. Selleks saab kasutada täisnurkse kolmnurga trigonomeetrilisi funktsioone, siinusteoreemi, koosinusteoreemi, nurka saab leida ka vektorite abil ning sirge AD tõusu kaudu, sirgete AB ja AD vahelise nurgana. 28 29 4) Koostame sirge võrrandi, selleks saab kasutada sirge võrrandi erinevaid kujusid (sirge võrrand kahe punkti A ja D kaudu, punkti A ja vektori AD kaudu).
AB BC AC · Siinusteoreemi põhjal: = = ; sin BCA sin CAB sin ABC 1,86 sin 53 1,86 sin 25 BC = 1,519 km; AC = 0,804 km. sin 102 sin 102 2 2 · Koosinusteoreemi põhjal: CD = BC + BD - 2 BC BD cos ABC ja 1 BD = AD = AB ; 2 CD = 1,519 2 + 0,93 2 - 2 1,519 0,93 cos 25 0,782 km. · Teekond postkontorisse C pikenes: Talust A: AD + DC - AC 0,93 + 0,782 - 0,804 0,91 km võrra. Talust B: BD + DC - BC 0,93 + 0,782 - 1,519 0,19 km võrra. Kommentaarid. Ülesandega kontrolliti kolmnurga lahendamise oskust. Eksaminandilt oodati
· Skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga (arvuga) korrutamise suhtes · Skalaarkorrutis on distributiivne vektorite liitmise suhtes, st 6.13 Skalaarkorrutiste avaldamine vektorite koordinaatide kaudu Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne nende vektorite samanimeliste koordinaatide korrutiste summaga. Koordinaatteljestikus oleva ühikvektori koordinaatideks on vektori ja x-telje positiivse suuna vahelise nurga cos ja sin 6.14 Kahe vektori skalaarkorrutiste rakendusi Koosinusteoreemi saab tõestada vektorite skalaarkorrutist kasutades Joone võrrand 7.1 Sirge võrrand Sirge võrrand peaks arvatavasti olema võrrand, mis sisaldab sirge mis tahes punkti koordinaate x ja y kui muutujaid. · Läbi kahe punkti saab joonestada vaid ühe sirge. Tähendab, kui on antud kaks punkti oma koordinaatidega, peaksima saama koostada sirge võrrandi. · Sirge sihivektor. Iga vektorit, mis on paralleelne vaadeldava sirgega või asub sellel sirgel, nimetatakse sirge
sin sin sin vastasnurk. Koosinusteoreem Teoreemi saab kasutada siis, kui on teada kolmnurga kolm külge või kaks külge ja nende- a2 b2 c 2 2bc cos vaheline nurk. b2 a2 c 2 2ac cos Kui külgede vaheline nurk on täisnurk, siis saame koosinusteoreemi erijuhuna Pythagorase c 2 a2 b2 2ab cos teoreemi. Märkus: kui kolmnurga lahendamisel tuleb leida kaks nurka, siis tuleb esmalt leida väiksem nurk (see asub lühema külje vastas) ja seejärel 180°-st lahutamise teel suurem nurk. © Allar Veelmaa 2014 20 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium VEKTOR
rakenduspunktiks on seesama punkt A. Valemina märgime geomeetrilise summa nii F F1 F2 (3.1) Selle summavektori mooduli saame koosinusteoreemi abil F F12 F2 2 2 F1 F2 cos (3.2) Märkusena olgu siin öeldud, et selle geomeetrilise liitmise võib joonisel realiseerida ka veidi teisiti. Selleks, et leida jõudude 1 ja 2 summavektori, ei pea me ju välja joonistama kogu F F
See visuaalne seos pole sugugi petlik. Tuletades meelde, et näeme, et 224 proportsioonid ja kolmnurgad täisnurkse kolmnurga korral väidabki koosinusteoreem täpselt sedasama, mida Pythagorase teoreemgi. Oleks tore ka teada, kuidas koosinusteoreemi eelnevatest teadmistest järeldada. Teisisõnu on küsimus: kuidas kahe külje ja nendevahelise nurga abil leida kolmanda külje pikkus? Konkreetsemalt seame siis eesmärgiks leida külje pikkus külgede ja nendeva- helise nurga abil. Üks võimalus on alustada siinusteoreemi puhul kirjeldatud viisil ning tekitada kõrguse abil täisnurkne kolmnurk. Nii seame end toredasse olukorda, kus saame kasutada koosinuse definitsiooni täisnurkses kolmnurgas ning lisaks veel koosinus-
annaabi.ee 
