18. Ülesanded graafilise lahendamise kohta ühtlaselt sirgjoonelise liikumise korral ja arvutusülesanded. Arvutus ülesanded: 1.Alghetkel asus keha punktis,mille koordinaadid on ( -2 m; 4m) Keha liikus punkti koordinaatidega ( 2m;1m) Leia nihkevektori projektsioon x ja y teljel.Joonistage nihkevektor. 2.Keha liikus punktist koordinaatidega ( 0 m; 2m) punkti koordinaatidega 4 m; -1m) Tee joonis.Leia nihkevektor ja selle projektsioonid koordinaattelgedel. 3.Kopter lendas sirgjooneliselt 40 km ja pöördus 90 kraadi võrra ja lendas veel 30 km Leia kopteri poolt läbitud teepikkus ja nihe ning nihkevektori projektsioonid. 4.Kaater liikus järvel 2 km kirdesse ja seejärel 1 km põhja.Leia graafiliselt nihke suund ja nihke moodul ( pikkus). 5.Salk sõdureid liikus 400 m loodesse,siis 500 m itta ja lõpuks 300 m põhja. Leia graafiliselt sõdurite nihe ja arvuta nihke moodul ja suund
z k j y i x Cartesiuse koordinaadistik ja teljesuunalised ühikvektorid. Geomeetriliselt saab vektorit kujutada noolena, mis näitab vektori suunda ja mille pikkus vastab vektori absoluutväärtusele. Vektori komponentideks nimetatakse tema projektsioone koordinaattelgedel, mis on läbi korrutatud vastava telje suunalise ühikvektoriga. Kui koordinaattelgede x-, y- ja z- suunalised ühikvektorid on i , j ja k , siis saab vektori a üles kirjutada komponentide kaudu järgmiselt: a = ax i + a y j + az k kus skalaarseid suurusi ax, ay ja az nimetatakse vahel ka vektori a koordinaatideks. 1 y
Seda vektorit gradu = i+ j+ k x y z u = u ( x, y, z ) määramispiirkonna D nimetatakse funktsiooni igas punktis vektorit, mille projektsioonideks koordinaattelgedel u ( x, y, z ) gradiendiks. Öeldakse, et on selle funktsiooni osatuletiste piirkonnas D on määratud gradiendi vektorväli. 9. Taylori valem kahe muutuja funktsiooni f ( x , y ) = f ( a , b ) + f x ( a , b )( x - a ) + f y ( a , b )( y - a ) + puhul (juhul n=2, koos jääkliikmega, tuletamiseta).
a z z ab 0 Kas punkti normaalkiirendus võib olla null juhul, kui punkti kiirus on nullist erinev? an v 2 r Võib vaid sirgjoonelise liikumise korral. Pöörlemise ja kõverjoonelise liikumise korral mitte, sest Millega on võrdsed punkti kiiruse ja kiirenduse projektsioonid ristuvatel koordinaattelgedel, kui punkti liikumise seadus on antud ristkoordinaatides? v x x ; a x x v y y ; a y y v z z ; a z z Mida nimetatakse loomulikuks teljestikuks punkti liikumisel trajektooril? Loomulikuks teljestikuks punkti liikumisel trajektooril nimetatakse koordinaattelge, mis ühtib trajektooriga. Mis vahe on loomulikul teljestikul ja tavalistel ristuvatel koordinaattelgedel?
Millised on kiirenduse projektsioonid nii Descartes'i koordinaattelgedele kui loomuliku teljestiku telgedele? Projektsioonideks Descartes'i ristkoordinaadistiku projektsioonideks on vastavate telgede projektsioonide teised tuletised aja järgi. · Kas punkti normaalkiirendus võib olla null juhul, kui punkti kiirus on nullist erinev? Jah, keha sirgjoonelisel liikumisel. · Millega on võrdsed punkti kiiruse ja kiirenduse projektsioonid Descartes'i koordinaattelgedel, kui punkti liikumise seadus on antud Descartes'i ristkoordinaatides? Igale teljele vastavalt esimene ja teine tuletis telje projektsioonist. · Mida nimetatakse loomulikuks teljestikuks punkti liikumisel trajektooril? Loomulikuks teljestikuks nimetatakse koordinaattelge, mis ühtib trajektooriga. · Mis vahe on loomulikul teljestikul ja tavalistel Descartesi koordinaattelgedel?
dv v=ds/dt a = = v dt 97. Mis vahe on avaldistel v ja v ? Esimene on kiirusvektori tuletis aja järgi. Teine on skalaari tuletis aja järgi. 98. Kas punkti normaalkiirendus võib olla null juhul, kui punkti kiirus on nullist erinev? Jah, võib küll keha sirgjoonelisel liikumisel. 99. Millega on võrdsed punkti kiiruse ja kiirenduse projektsioonid Descartes'i koordinaattelgedel? Kiiruse projektsioonid koordinaattelgedel on võrdsed punkti vastavate koordinaatide esimeste tuletistega aja järgi. Kiirenduse projektsioonid koordinaattelgedel on võrdsed kiiruse projektsioonide esimeste tuletisega aja järgi ehk vastavate koordinaatide teise tuletisega aja järgi. 100. Kirjutada valemid punkti kiiruse suuna ja kiiruse mooduli määramiseks. Vx=Akcos(kt+epsilon) 101. Kirjutada valemid punkti kiirenduse suuna ja kiirenduse mooduli määramiseks. ax=-Ak^2sin(kt+epsilon) 102
dv v=ds/dt a = = v dt 97. Mis vahe on avaldistel v ja v ? Esimene on kiirusvektori tuletis aja järgi. Teine on skalaari tuletis aja järgi. 98. Kas punkti normaalkiirendus võib olla null juhul, kui punkti kiirus on nullist erinev? Jah, võib küll keha sirgjoonelisel liikumisel. 99. Millega on võrdsed punkti kiiruse ja kiirenduse projektsioonid Descartes'i koordinaattelgedel? Kiiruse projektsioonid koordinaattelgedel on võrdsed punkti vastavate koordinaatide esimeste tuletistega aja järgi. Kiirenduse projektsioonid koordinaattelgedel on võrdsed kiiruse projektsioonide esimeste tuletisega aja järgi ehk vastavate koordinaatide teise tuletisega aja järgi. 100. Kirjutada valemid punkti kiiruse suuna ja kiiruse mooduli määramiseks. Vx=Akcos(kt+epsilon) 101. Kirjutada valemid punkti kiirenduse suuna ja kiirenduse mooduli määramiseks. ax=-Ak^2sin(kt+epsilon) 102
summaga samal teljel; vektori projektsioon teljel võrdub selle vektori pikkuse ning vektori ja telje vahelise nurga koosinuse korrutisega, pra a cos . Olgu meil antud koordinaadid 3-mõõtmelises ruumis. Punkti P kohavektoriks nimetatakse vektorit r , mille projektsioonid koordinaattelgedel võrduvad punkti P koordinaatidega. Definitsioon. Vektori koordinaatideks nimetatakse vektori projektsioone koordinaattelgedele. Võtame kohavektori r x, y, z . Vektori r 0 P 0 Px Px Pxy Pxy P komponendid ruumilise teljestiku telgede sihtidest. Toome sisse koordinaattelgede suunalised ühikvektorid:
Keha liikumise kirjeldamiseks on otstarbekas suunata üks koordinaattelgedest vertikaalselt üles (OY-telg), teine aga (OX-telg) horisontaalselt. Sellisel juhul võib keha liikumist mööda kõverjoonelist trajektoori vaadelda kui kahe teineteisest sõltumatu liikumise - vaba langemise kiirendusega liikumise piki OY-telge ja ühtlase sirgjoonelise liikumise piki OX-telge - summat. Joonisel 8.2 on kujutatud keha algkiiruse vektorit ja selle projektsioone koordinaattelgedel. Niisiis on meil liikumise jaoks piki OX-telge järgmised tingimused: x0 = 0, vox = v0 cos, ax = 0, aga liikumise jaoks piki OY-telge: y0= 0, voy = v0sin , ay = -g. Horisondi suhtes nurga all üles visatud keha trajektooriks on parabool. Reaalsetes tingimustes võib õhutakistusest tingituna sellise liikumise trajektoor paraboolist märgatavalt erineda ja seetõttu võib keha lennukaugus olla oluliselt väiksem. Joonis 8.2. Horisondiga nurga all üles visatud keha liikumine
15. Vektori lahutamine telgedesihilisteks komponentideks. Vektori koordinaadid (mõiste, leidmine). Vektori lahutamine telgede sihilisteks komponentideks st antud vektori esitamine telgedesuunaliste ühikvektorite (, ja ) summana: a (a1; a2; a3) => a = a1i+ a2j+ a3k. võttes vektori alguspunktiks koordinaatteljestiku alguspunkti, saame vektori lõpp-punktiks punkti, mille koordinaadid vastavad vektori koordinaatidele. Vektori koordinaatideks nimetatakse vektori projektsioone koordinaattelgedel. a = xi + yj + zk => a = (x; y; z). 16. Lineaartehted vektoritega (liitmine, lahutamine, arvuga korrutamine) koordinaatides. liitmine vastavad koordinaadid liidetakse lahutamine vastavad koordinaadid lahutatakse korrutamine arvuga iga koordinaat korrutatakse antud arvuga 17. Kahe vektori skalaarkorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks ab nimetatakse nende vektorite pikkuste ja
Üks on punkti kiirendus vektorkujul, teine annab punkti kiirenduse mooduli. 106. Kas punkti normaalkiirendus võib olla null juhul, kui punkti kiirus on nullist erinev? Võib vaid sirgjoonelise liikumise korral. Pöörlemise ja kõverjoonelise liikumise korral mitte, sest a n = v 2 r 12 107. Millega on võrdsed punkti kiiruse ja kiirenduse projektsioonid Descartes'i koordinaattelgedel, kui punkti liikumise seadus on antud Descartes'i rist- koordinaatides? v x = x ; a x = x v y = y ; a y = y v z = z ; a z = z 108. Kirjutada valemid punkti kiiruse suuna ja kiiruse mooduli määramiseks. x cos = v y cos = v= x 2 + y 2 + z 2 v z cos = v 109. Kirjutada valemid punkti kiirenduse suuna ja kiirenduse mooduli määramiseks. x cos = a y
c) Kui 2r = 0,636 dm, siis r 0,318 (dm). Arvutame toru ruumala, lähtudes silindri ruumala valemist V r 2h . Saame 2 V 0,318 2,995 0,951 (dm). Toru ruumala (kahe tüvenumbriga) on ligikaudu 0,95 dm 3 . Kommentaarid I - II Ülesande lahendamisel peame kogu aeg silmas pidama, et funktsioone y 2 sin x ja y 0,5 cos x vaatleme vaid lõigul 0; 2 . Funktsiooni graafiku joonestamisel on oluline valida koordinaattelgedel õige mõõtkava. Kui x-teljel on ( 3) märgitud nt kuue ruudu kaugusel koordinaatide alguspunktist, siis y-teljel peaks ühik 1 asetsema kahe ruudu kaugusel. 15 16 1
annaabi.ee 
