Siis funktsioon Σ UK(X) Koondub ühtlaselt hulgal XUC
8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine.
Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega.
Astmeread
Astmereaks nim. Funtksiooni kujul (tϵR)
Suurusi akϵR nim. astmerea kordajateks. Astmerea määramispiirkonnaks on R.
Muutujavahetusega x=t-a saame alati minna üle kujule
Astmerea koonduvusraadiuse mõiste
Astmerea
koonduvusraadiuseks R nim. suurust (so. Mittenegatiivset arvu või
+(lõpmatus)), et rida koondub absoluutselt iga |x| korral kui |x-a|
Siis funktsioon UK(X) Koondub ühtlaselt hulgal XUC
8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine.
Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega.
Astmeread
Astmereaks nim. Funtksiooni kujul (tR)
Suurusi akR nim. astmerea kordajateks. Astmerea määramispiirkonnaks on R.
Muutujavahetusega x=t-a saame alati minna üle kujule
Astmerea koonduvusraadiuse mõiste
Astmerea
koonduvusraadiuseks R nim. suurust (so. Mittenegatiivset arvu või +
(lõpmatus)), et rida koondub absoluutselt iga |x| korral kui |x-a|
Siis funktsioon UK(X) Koondub ühtlaselt hulgal XUC
8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine.
Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega.
Astmeread
Astmereaks nim. Funtksiooni kujul (tR)
Suurusi akR nim. astmerea kordajateks. Astmerea määramispiirkonnaks on R.
Muutujavahetusega x=t-a saame alati minna üle kujule
Astmerea koonduvusraadiuse mõiste
Astmerea
koonduvusraadiuseks R nim. suurust (so. Mittenegatiivset arvu või +
(lõpmatus)), et rida koondub absoluutselt iga |x| korral kui |x-a|
Muutujavahetusega x=t-a saame alati minna üle kujule ∑∞ 𝑘 𝑘=1 𝑎𝑘 𝑥 . Siinus- ja koosinusteisendus. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste: Astmerea ∑∞ 𝑘 𝑘=0 𝑎𝑘 (𝑥 − 𝑎) koonduvusraadiuseks R nim. suurust (so. Mittenegatiivset 𝑘0 )
vastupidi, kui tähistada y=x-a, teiseneb rida 2 esimeseks. Seega on nad samaväärsed read. Abeli teoreem: 1) kui esimene rida koondub mingi x=x0 0 puhul, siis ta koondub absoluutselt kõigi x väärtuste puhul, mis rahuldavad võrratust x < x0 11 2) kui esimene rida hajub mingi x=x0 0 puhul, siis ta hajub kõigi x väärtuste puhul, mis rahuldavad võrratust x > x1 Def: astmerea 1 koonduvusraadiuseks nim niisugust reaalarvu R>0, mille puhul rida 1 koondub absoluutselt, kui x < R , rida 1 hajub kui x > R Märkus: kui R = , siis rida 1 koondub kogu arvteljel. Kui R=0, siis rida 1 koondub ainult punktis x=0. Def: vahemikku (-R,R) nim rea 1 koonduvusvahemikuks ja vastavalt vahemikku (a-R,a+R) rea 2 koonduvusvahemikuks. Taylori ja Maclaurini read Olgu funktsioon y=f(x) lõpmatu arv kordi pidevalt diferentseeruv, st tal leiduvad mistahes järku pidevad tuletised y(n)=f(n)(x)
ja n 0 n0 A = {x : arvrida a x koondub absoluutselt} . n=0 Astmerea (4) koonduvuspiirkond on järgmise struktuuriga: leidub arv R 0, nii et astmeida (4) koondub absoluutselt vahemikus (R ,R) ning hajub väljaspool seda vahemikku. Punktides x = R ja x = R tuleb koonduvust eraldi uurida. Arvu R nimetatakse astmerea koonduvusraadiuseks, vahemikku (R ,R) astmerea (4) koonduvusvahemikuks. Tehes muutujavahetuse t=(xc), on lihtne veenduda, et astmerea (5) koonduvusvahemik on (cR ,c+R). Kui astmerea kordajad an 0, siis koonduvusraadiust saab leida järgmiste valemite abil an R = lim n a n +1 või
.. (4) n =0 või üldisemalt n 2 a n ( x - c) = a0 + a1 ( x - c) + a 2 ( x - c) + ... (5) n =0 Astmerea (4) koonduvuspiirkond on järgmise struktuuriga: leidub arv R 0, nii et astmeida (4) koondub absoluutselt vahemikus (R ,R) ning hajub väljaspool seda vahemikku. Punktides x = R ja x = R tuleb koonduvust eraldi uurida. Arvu R nimetatakse astmerea koonduvusraadiuseks, vahemikku (R ,R) astmerea (4) koonduvusvahemikuks. Tehes muutujavahetuse t=(xc), on lihtne veenduda, et astmerea (5) koonduvusvahemik on (cR ,c+R). Kui astmerea kordajad an 0, siis koonduvusraadiust saab leida järgmiste valemite abil an R = lim n a
n =0 kus a on mingi arv, nimetatakse astmereaks. Arve a n nimetatakse astmerea kordajaiks. Muutujavahetusega x - a = t võib alati realt (2) üle minna reale (1). Iga astmerea korral leidub selline R , kus 0 R , et astmerida (1) (või (2)) koondub absoluutselt, kui x < R vastavalt ( x - a < R ), ja hajub, kui x > R (vastavalt x - a > R ). Vahemikke (- R; R ) ja (a - R; a + R ) nimetatakse vastavalt astmeridade (1) ja (2) koonduvus- vahemikeks ja suurust R koonduvusraadiuseks. Koonduvusvahemike otspunktides võib astmerida koonduda (tingimisi, absoluutselt) või hajuda. Astmerea koonduvusraadiuse R leidmiseks võib kasutada järgmisi valemeid: 1 a 1 = lim n +1 ja = lim a n , R n a n R n kui a n 0 ja need piirväärtused eksisteerivad. Omadus 1
ja ( ) ∞ X A := x∈R| ak xk < ∞ , k=0 mida nimetatakse vastavalt astmerea (6.16) koonduvuspiirkonnaks ja absoluutse koonduvuse piirkonnaks. Selge, et {0} ⊆ A ⊆ X. Definitsioon. Astmerea (6.16) koonduvusraadiuseks nimetatakse suurust ( ∞ ) X r = sup |x| ∈ R : ak xk on koonduv . k=0 On selge, et r on alati olemas: kas mittenegatiivne reaalarv või ∞. Järgnevast, Cauchy–Hadamardi teoreemist selgub, 1) kuidas arvutada koonduvusraadiust r,
annaabi.ee 
