Tehete abil saadavad funktsioonid) on ka selles piirkonnas pidev. (pidev f ± pidev f = pidev f) |PA|< f(P) f(A)0 Def: katkev on funktsioon punktis A: a) f(A) = (A ei kuulu MP-sse) b) lim P A f ( P) = c) lim P A f ( P ) f ( A) Osatuletised. Diferentseeruvus Funktsiooni osatuletisi arvutatakse teadaolevate reeglite kohaselt muutuja järgi mitme muutuja funktsioonist nii, et ülejäänud muutujad fikseeritakse käituvad konstantidena. I 2MF: w=f(x,y), P(x,y) D R 2 2MFil on 2 I j osatuletist 1 a) fix y-i f(x,y)F(x): kui on DV-uv, siis eksisteerib F f ( x + x, y ) - f ( x, y ) f ( x, y ) limF´(x)= lim x0 = lim x0 = = f x ( x, y ) - f-i osatul x-i järgi x x x
kompilaatori jaoks olemas. Enesel on aga vahel päris hea meenutada, mida mõne lausega kirja panna taheti. double summa=kogus*pirnihind; //korrutatakse ühe pirni hinnaga Kommentaar võib olla ka üle mitme rea. Sellisel juhul pannakse kommentaari algusesse /* ning lõppu */ Andmed Andmete organisatsioon, liigid ja tüübid Organisatsiooni järgi võib andmed jagada skalaarandmeteks ja struktuur-andmeteks. Skalaarandmed esindavad üksikuid suurusi. Programmides käsutatakse neid konstantidena ja lihtmuutujatena, millel saab igal ajahetkel olla ainult üks väärtus. Struktuurandmed ehk struktuurmuutujad on omavahel seotud väärtuste kogumikud. Andmekogumik tähistatakse programmis ühe nimega, viitamisviis üksikutele elementidele sõltub andmekogumiku liigist. Igale andmekogumiku elemendile eraldatakse kõht mälus tema väärtuste salvestamiseks ning nende käsutamine on analoogiline skalaarmuutujate käsutamisega. Neile
Vaatleme mitme muutujaga funk-i y=f(x 1,x2,...,xn) lubame muutuda ainult ühel muutujal, teised fikseerimey muutub osaliselt y y f 'i = = lim Mitme muutuja funk-i osatuletise leidmine mingi muutuja järgi tuleb funk-i xi xi 0 xi diferentseerida selle muutuja järgi kui ühe muutuja funk-i, vaadeldes ülejäänud muutujad Q konstantidena. Osatuletise geom. Interpretsioon: a) Q=Q(K;L) toodangu funk. b) = Q K [MPPK] K Q = QL [MPPL] c) K=K0 märamis punktist jäävad alles punktid lõigul K0B fikseeritud K L tasand K0. QL osatuletis= kõvera tõus K0CDA. TPPL- kõver fixeeritud kapitali taseme K=K0 korral. 13. Jacobi determinandid e jakobiaanid ridades kõik seosed, veerud osatuletised vastava muutuja järgi
Kordame sama mõttekäiku 3 korda - kord x-telje, siis y-telje ja lõpuks z-telje suunas. Nii saame nende telgede suunalised jõu komponendid: Wp Wp Wp Fx Fy = - ---------; = - --------- ; F y = - --------- ; x y z Tuletisi x-, y- ja z-koordinaatide järgi nimetatakse osatuletisteks. Nende võtmisel vaadeldakse teisi koordinaate konstantidena. Seepärast tähistatakse ka tuletise võtmist teisiti. Kogu jõu jaoks saame Wp Wp Wp F= Fxi + Fyj + Fzk = - ( ---------i + ---------j + ---------k). x y z 8 Matemaatiliste tehete kogumikku, mida sooritatakse viimase avaldise sulgudes, tähistatakse lühidalt grad ja nimetatakse gradiendi leidmiseks. Seega F = -grad W p . (30)
katkevuspunkte ega katkevusjooni. 4. Funktsiooni osatuletised Funktsiooni z = f(x, y) osatuletiseks x-i järgi z/x nim piirväärtust limx0(f(x+x,y)-f(x,y))/x=z/x. Osatuletis muutuja y järgi on z/y vastavalt piirväärtus limy0(f(x,y+y)/y=z/y. Osatuletist tähistatakse ka: z/x=f(x,y)/x=f/x=f 'x=fx=z'x=zx. Mitme muutuja funktsiooni osatuletise leidmiseks mingi muutuja järgi tuleb funktsiooni diferentseerida selle muutuja järgi kui ühe muutuja funktsiooni, vaadeldes ülejäänud muutujaid konstantidena. Funktsiooni z=f(x,y) teist järku osatuletised defineeritakse selle funktsiooni esimest järku osatuletiste osatuletisena ja tähistatakse /x(z/x)=2/x2=2f(x,y)/x2=2f/x2=f `'x2= fx2=z''x2=zx2 Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise mõiste Olgu antud m-muutuja funktsioon z=f(x1,x2,...,xm) ja olgu A(a1,a2,...,am) punkt funktsiooni f määramispiirkonnas. Piirväärtust f ( a1 , a 2 ,..., ai -1 , xi , ai +1 ,..., a m ) - f ( a1 , a 2 ,..., ai -1 , ai , ai +1 ,..., a m ) lim
nimele, ning see peab olema täidetud enne funktsiooni töö lõppu. Üldjuhul võib taolisi lauseid olla mitu. Funktsiooni töö lõpetab tavaliselt End Function-lause, kuid selleks saab käsutada ka Exit Function-ja End-lauset. ANDMED Andmete organisatsioon, liigid ja tüübid Organisatsiooni järgi võib andmed jagada skalaarandmeteks ja struktuur-andmeteks. Skalaarandmed esindavad üksikuid suurusi. Programmides käsutatakse neid konstantidena ja lihtmuutujatena, millel saab igal ajahetkel olla ainult üks väärtus. Struktuurandmed ehk struktuurmuutujad on omavahel seotud väärtuste kogumikud. Andmekogumik tähistatakse programmis ühe nimega, viitamisviis üksikutele elementidele sõltub andmekogumiku liigist. Igale andmekogumiku elemendile eraldatakse kõht mälus tema väärtuste salvestamiseks ning nende käsutamine on analoogiline skalaarmuutujate käsutamisega. Neile
Antud töös vaatleme laiemalt formaalset loogikat. Formaalloogika põhimõisteks on mõtlemise loogiline vorm so mõtlemise koostisosade e meie mõtete seostamisviis. Mõtlemise loogilist vormi e struktuuri võib sümboolselt väljendada: S on P S e subjekt - mõtlemise ese, mille kohta väidetakse, P e predikaat tähistab seda, mida väidetakse. Sõna on konstant, mille tähendused jäävad samaks ka muutujate asendamisel mingi konkreetsete tähendustega. Konstantidena kasutatakse veel sõnu kõik ja mõned. Loogikas nim S-i ja P-d muutujateks, mida võib asendada ükskõik milliste konkreetsete tähendustega. Et mõtlemine õige oleks, tuleb traditsioonilises formaalloogikas järgida kindlaid nõudeid: järjepidevus, määratletus, mittevastuolulisus ja põhjendatus e tõestus. Antud nõuetele vastavad neli formaalloogika seadust: · Samasuse seadus - ühte ja sama väljendit tuleb alati kasutada ühes ja samas
Omavaheline seos on väljendatav kujul m 0 = m v (1 + e) (4.4) Kuna sõltuvused e = f() ja = f() on kõverjoonelised, siis nii m0 kui ka mv ei ole konstandid, vaid sõltuvad algpingest 1 ja pingeintervalli = 2 1 suurusest. Piisavalt väikese pingeintervalli piires saab neid aga vaadelda konstantidena. Seega väikese pingemuutuse puhul võib lugeda deformatsiooni lineaarseks pingega nagu see on elastsusteoorias. Sellega sarnasus elastse materjaliga aga piirdubki. Koormise vähenedes elastsest materjalist keha taastab oma endise kuju. Pinnases taastub deformatsioon aga ainult tühisel määral. Kuid ühekordsel koormamisel mõõduka pingega saab pinnase deformeerumise kirjeldamiseks kasutada elastsusteooria seoseid, mida oleks
w y w f (x, y + y, z) - f (x, y, z) = lim = lim y y0 y y0 y ja w z w f (x, y, z + z) - f (x, y, z) = lim = lim z z0 z z0 z Osatuletiste leidmisel kehtib sama reegel, mis kahe muutuja funktsiooni osatuletiste leidmisel: k~oiki muutujaid, va. muutjat, mille j¨argi osatuletist leitakse, vaadeldakse konstantidena. z N¨aide 3. Leiame funktsiooni w = xy osatuletised k~oigi muutujate j¨argi. Osatuletise leidmisel muutja x j¨argi on meil tegemist astmefunktsiooniga konstantse astendajaga y z , seega w z = y z xy -1 . x Osatuletise leidmisel muutuja y j¨argi on tegemist eksponentfunktsiooniga,
annaabi.ee 
