kui
x1
Ühe funktsiooni
tuletise leidmine tuletise mõitsest/definitsioonist lähtudes.
- Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus
argumendi muudu lähenemisel nullile. Funktsiooni tuletise väärtus mingis punktis näitab selle
funktsiooni muutumise kiirust selles punktis.
-
5. Joone puutuja võrrand ja selle tuletamine. Selgitav joonis!
- y-y0=k*(x-x0) k=tan =f'(x0)
6. Funktsiooni kasvamispiirkond, kahanemispiirkond ja ekstreemumid.
Kasvamispiirkonna, kahanemispiirkonna ja ekstreemumite seosed funktsiooni
tuletisega.
- Funktsiooni kasvamispiirkond on selline osa määramispiirkonnast, milles suuremale
argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus. x1
tingimust (vastavalt kahanemisel f x1 f x2 ). y f x X Funktsiooni kasvamispiirkonna moodustavad kõik need argumendi x y 0 väärtused, mis on võrratuse lahendid. y f x X Funktsiooni kahanemispiirkonna
kasvamisel selles vahemikus kasvavad ka vastavad y väärtused ja kahanevaks, kui x väärtuste kasvamisel selles vahemikus vastavad y väärtused kahanevad. 1 y = x 3 - 2x 2 + 3x - 2 Näide 1: Leida funktsiooni 3 kasvamis- ja kahanemispiirkonnad y = x 2 - 4x + 3 x 2 - 4 x + 3 > 0 ( x - 3 )( x - 1) > 0 . Lahendades viimase võrratuse, saame - < x < 1 ja 3 < x < + , mis annabki kasvamispiirkonna. Lahendades võrratuse y < 0 , saame 1 < x < 3 . 1 y = x 3 - 2 x 2 + 3x - 2 Seega funktsioon 3 kasvab vahemikes - < x < 1 ja 3 < x < + ning kahaneb vahemikus 1 < x < 3 6. Maksimum- ja miinimumpunktid (üldnimetusega ekstreemumpunktid), samuti funktsiooni väärtus neis punktides. Ekstreemumi tarvilik tingimus pideva ja diferentseeruva funktsiooni korral f `(x) = 0 (selliseid punkte nimetatakse statsionaarseteks punktideks)
kus puutuja tõus k = f ( x0 ) = tan (nurk on puutuja tõusunurk). 4.8 Funktsiooni uurimine Kui funktsioon y = f ( x ) on antud ilma oma määramispiirkonnata X, tuleb see kõigepealt leida. Funktsiooni y = f ( x ) kasvamispiirkonnaks (kahanemispiirkonnaks) nimetatakse tema määramispiirkonna X seda osa, milles iga x1 < x2 korral funktsiooni väärtused rahuldavad tingimust f ( x1 ) < f ( x2 ) (vastavalt kahanemisel f ( x1 ) > f ( x2 ) ). Funktsiooni y = f ( x ) kasvamispiirkonna X (kahanemispiirkonna X ) moodustavad kõik need argumendi x väärtused, mis on võrratuse y > 0 ( y < 0) lahendid. Funktsiooni graafiku punkte, milles funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi, nimetatakse ekstreemumpunktideks ja vastava punkti abstsissi väärtust xe ekstreemumkohaks ning ordinaadi väärtust ye = f ( xe ) funktsiooni ekstreemumiks. Funktsiooni ekstreemumi olemasolu tarvilikuks tingimuseks on, et oletatav
4.8 Funktsiooni uurimine Kui funktsioon y f x on antud ilma oma määramispiirkonnata X, tuleb see kõigepealt leida. Funktsiooni y f x kasvamispiirkonnaks (kahanemispiirkonnaks) nimetatakse tema määramispiirkonna X seda osa, milles iga x1 x2 korral funktsiooni väärtused rahuldavad tingimust f x1 f x2 (vastavalt kahanemisel f x1 f x2 ). Funktsiooni y f x kasvamispiirkonna X (kahanemispiirkonna X ) moodustavad kõik need argumendi x väärtused, mis on võrratuse y 0 y 0 lahendid. Funktsiooni graafiku punkte, milles funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi, nimetatakse ekstreemumpunktideks ja vastava punkti abstsissi väärtust xe ekstreemumkohaks ning ordinaadi väärtust ye f xe funktsiooni ekstreemumiks. Funktsiooni ekstreemumi olemasolu tarvilikuks tingimuseks on, et oletatav
f (3) = = > 0. 3 33 - 8 3 19 Tuletise m¨argi p~ohjal koostame funktsiooni kasvamis-kahanemisdiagrammi t~ous- vate ja langevate noolekestega x-teljel (vt u ¨ lal). Diagrammilt leiame funktsiooni kasvamispiirkonna: X = (2, ) ja kahane- mispiirkonna: X = (-, 2). Punktis x = 2 funktsiooni kahanemine asendub kasvamisega. J¨arelikult on teoreem 5.3 p~ohjal seal lokaalne miiminum. Mii- nimumpunkt on Pmin = (2, 0). Kuna selles punktis tuletis puudub, n¨aeb funkt- siooni graafik punkti Pmin u ¨mbruses v¨alja nagu juht 3 joonisel 4.2. Teine krii- tiline punkt x = 0 asub funktsiooni kahanemispiirkonnas. Kuna selles punktis tuletis = 0, siis n¨aeb funktsiooni graafik punkti P = (0, 4) u
2 · 32 19 f (3) = 3 = 3 > 0. 33 - 8 19 Tuletise m¨argi p~ohjal koostame funktsiooni kasvamis-kahanemisdiagrammi t~ous- vate ja langevate noolekestega x-teljel (vt u ¨lal). Diagrammilt leiame funktsiooni kasvamispiirkonna: X = (2, ) ja kahane- mispiirkonna: X = (-, 2). Punktis x = 2 funktsiooni kahanemine asendub kasvamisega. J¨arelikult on teoreem 5.3 p~ohjal seal lokaalne miiminum. Mii- nimumpunkt on Pmin = (2, 0). Kuna selles punktis tuletis puudub, n¨aeb funkt- siooni graafik punkti Pmin u ¨mbruses v¨alja nagu juht 3 joonisel 4.2. Teine krii- tiline punkt x = 0 asub funktsiooni kahanemispiirkonnas. Kuna selles punktis tuletis = 0, siis n¨aeb funktsiooni graafik punkti P = (0, 4) u
Samal viisil on v~oimalik t~oestada j¨argmine teoreem. Teoreem 4. Kui f (x) on diferentseeruv piirkonnas X ja f (x) < 0 , siis funktsioon f (x) on selles piirkonnas kahanev. Teoreemid 3 ja 4 v~oimaldavad leida vastavalt funktsiooni kasvamispiir- konna X ja kahanemispiirkonna X N¨aide. Leiame funktsiooni y = x2 e-x kasvamis- ja kahanemispiirkonna. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = R. Leiame tuletise y = 2xe-x - x e = xe-x (2 - x). Teoreemi 3 j¨argi saame kasvamispiirkonna tingimu- 2 -x sest xe-x (2 - x) > 0 ja teoreemi 4 p~ohjal kahanemispiirkonna tingimu- sest xe-x (2 - x) < 0. Et iga x R korral e-x > 0, siis esimene v~orratus on samav¨a¨arne v~orratusega x(2 - x) > 0 ja teine samav¨a¨arne v~orratusega x(2 - x) < 0. Esimese v~orratuse lahendihulk on funktsiooni kasvamispiirkon- naks X = (0; 2) ja teise v~orratuse lahendihulk funtksiooni kahanemispiir- konnaks X = (-; 0) (2; ). 3.9 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid ¨
annaabi.ee 
