3)y=(x+1)sinx-x cos x 4)y=2tanx lnx 5)y=xsinx 6) y=cos 2x- sin2x 3 - 2x + x 2 7)y=tanx cosx 8) y = 9) y=sin2x x 2 x -1 2. Leia funktsiooni y= kasvamis ja kahanemispiirkonnad ja 1 - 3x ekstreemumpunktid. Määra ka nende liik. 3. Leia parabooli haripunkti koordinaadid y= 7x2+4x. 4. Leia joone y=(x+1) (x-1) (x-2) puutuja punktis , mille abstsiss on -3. x 5. Leia joone y= puutuja, mis on x -1 2 1) paralleelne sirgega x+y =5 2) risti sirgega 8x-3y=1 6. Punkti liikumisel on läbitud tee ja aja vaheline seos s=4t3-3t2+5t+8.Leia 1)algkiirus
2 5. Arvutada piirv¨aa¨rtus l'Hospitali reeglit kasutades: lim arcsin x cot x . x0 6. Arvutada piirv¨aa¨rtus l'Hospitali reeglit kasutades: x 1 lim - . x1 x - 1 ln x 7. Leida funktsiooni f (x) = 6 + 8x3 - x4 kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ning lokaalsed ekstreemumid. 8. Leida funktsiooni 3 f (x) = (x3 + 8)2 kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ning lokaalsed ekstreemumid. 9. Avaldada m¨aa¨ramata integraal cos(5 - 6x)dx . 10. Avaldada m¨aa¨ramata integraal dx . 2 + 9x2 11
48(x - 12) y = (x - 8)4 3 y = 0 parajasti siis kui x = 0 või x = 12. y (0) < 0 st punktis (0, 0) on lokaalne maksimum. y (12) = 0 st pole teada kas selles punktis on lokaalne ekstreemum. x 4) kasvamis ja kahanemispiirkonnad y 0 (x = 12 või x-8 0) (x > 8või x 0); ] - ; 0] ja ]8; [ - kasvamispiirkonnad. Viimane ütleb, et punktis x = 12 ei ole lokaalset ekstreemumit. 5) kumeruspiirkonnad y 0 x - 12 0(x = 8) x 12(x = 8) Järelikult piirkonnas ] - ; 8] ja ]8; 12[ on funktsioon kumer ja piirkonnas ]12; [ on funkt- sioon nõgus. 7) asümptoodid x2 (x - 9) lim = -
f '(x) < kahanemispiirkond. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse mingis x väärtuste vahemikus kasvavaks, kui argumendi x kasvamisel selles vahemikus kasvavad ka vastavad y väärtused ja kahanevaks, kui x väärtuste kasvamisel selles vahemikus vastavad y väärtused kahanevad. 1 y = x 3 - 2x 2 + 3x - 2 Näide 1: Leida funktsiooni 3 kasvamis- ja kahanemispiirkonnad y = x 2 - 4x + 3 x 2 - 4 x + 3 > 0 ( x - 3 )( x - 1) > 0 . Lahendades viimase võrratuse, saame - < x < 1 ja 3 < x < + , mis annabki kasvamispiirkonna. Lahendades võrratuse y < 0 , saame 1 < x < 3 . 1 y = x 3 - 2 x 2 + 3x - 2 Seega funktsioon 3 kasvab vahemikes - < x < 1 ja 3 < x < + ning kahaneb vahemikus 1 < x < 3 6. Maksimum- ja miinimumpunktid (üldnimetusega ekstreemumpunktid), samuti funktsiooni
Seevastu graafikutel 5 - 8 toodud kriitilistes punktides tuletis m¨arki ei muuda. Graafikutel 5 ja 7 on enne kriitilist punkti f > 0 ja peale kriitilist punkti samuti f > 0. Graafikutel 6 ja 8 on nii enne kui ka peale kriitilist punkti f < 0. Vaatleme n¨ aidet teoreem 4.3 kasutamise kohta. Olgu antud funktsioon f (x) = 3 (x3 - 8)2 . Leiame selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ja lokaalsed ekstree- mumid. Kuna kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ning ekstreemumid peavad asuma funktsiooni m¨a¨ aramispiirkonnas, leiame k~oigepealt antud funktsiooni loomuliku m¨a¨ aramispiirkonna. Vaadeldav funktsioon on m¨a¨aratud suvalise reaalarvu x korral. Seega X = R. Avaldame tuletise. Liitfunktsiooni tuletise arvutamise eeskirja p~ohjal [ ] 2 2
Seevastu graafikutel 5 - 8 toodud kriitilistes punktides tuletis m¨arki ei muuda. Graafikutel 5 ja 7 on enne kriitilist punkti f > 0 ja peale kriitilist punkti samuti f > 0. Graafikutel 6 ja 8 on nii enne kui ka peale kriitilist punkti f < 0. Vaatleme n¨ aidet teoreem 4.3 kasutamise kohta. Olgu antud funktsioon f (x) = 3 (x3 - 8)2 . Leiame selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ja lokaalsed ekstree- mumid. Kuna kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ning ekstreemumid peavad asuma funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnas, leiame k~oigepealt antud funktsiooni loomuliku m¨a¨aramispiirkonna. Vaadeldav funktsioon on m¨a¨aratud suvalise reaalarvu x korral. Seega X = R. Avaldame tuletise. Liitfunktsiooni tuletise arvutamise eeskirja p~ohjal 2 3 2
2. Funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkondade leidmine. 3. Funktsiooni ekstreemumide leidmine. Optimiseerimise ülesanded. 4. Joone käänupunkti, kumerus- ja nõgususpiirkondade leidmine. Eksamiteemad 1. Lagrange'i keskväärtusteoreem. Selle geomeetriline ja füüsikaline sisu. Cauchy teoreemi ei pea teadma. 2. L'Hospital'i reegel piirväärtuse arvutamiseks. 3. Funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkonnad. 4. Funktsiooni lokaalsed ja globaalsed ekstreemumid. Kriitiline punkt. Teoreem 6.7. 5. Kumer ja nõgus joon. Teoreem 6.8. 6. Joone käänupunkt. PEATÜKK 6. FUNKTSIOONI UURIMINE 6.1 Diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoree- mid Definitsioon 6.1 Olgu funktsioon f määratud hulgal D. Me ütleme, et funktsioonil f leidub maksimaalne väärtus hulgal D, punktis c D, kui
umptoodid. x-1 x 2 94. Leida funktsiooni y = + graafiku as¨ umptoodid. 2 x x3 1 95. Leida funktsiooni y = + m¨aa¨ramispiirkond, nullkohad, lokaal- 3 x sed ekstreemumid, kasvamis- ja kahanemispiirkonnad, k¨a¨anupunktid, kumerus- ja n~ogususpiirkonnad, graafiku as¨ umptoodid. Kas funktsioon on paaris v~oi paaritu? Joonestada funktsiooni graafik. ¨ Ulesannetes 96. - 127. leida m¨a¨aramata integraal 3 x2 - 4 x 96. dx x (1 + 2x2 )dx 97. x2 (1 + x2 ) 1 + cos2 x 98. dx 1 + cos 2x dx 99. x2 -5 100. 5 - 2xdx
annaabi.ee 
