Reaalarvud Reaaalarvud jagunevad naturaalarvudeks, täisarvudeks, ratsionaalarvudeks ja irratsionaalarvudeks. 1. Naturaalarvudeks nimetatakse positiivseid täisarve. Naturaalarvude hulga tähiseks on N. Naturaalarvudeks on N=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; ...; 100; ...; 1000; ...) jne. Kahe naturaalarvu liitmisel (6+7=13) või korrutamisel (5*6=30) on tulemuseks alati naturaalarv. Kahe naturaalarvu lahutamisel võib olla tulemuseks naturaalarv ehk positiivne täisarv (10-2=2) aga ka negatiivne täisarv (10-100=-90). Kahe naturaalarvu jagamisel võib olla tulemuseks
1. Ratsionaalarvud on need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu jagatisena. 2. Irratsionaalarvudeks nimetatakse mitteperioodilisi lõpmatuid kümnendmurde. 3. Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi |x| = x,kui x0 ja |x| = -x,kui x< 0. 4. Reaalarvude hulk koosneb kõikidest ratsionaal- ja irratsionaalarvudest. 5. 6. Samasuseks nimetatakse matemaatikas tõest arvvõrdust sisaldavat võrdust, mis osutub tõeseks muutuja kõigi lubatud väärtuste korral. 7
1 d 2 = m / n, m ja n ühistegurita täisarvud 2 = (m/n)2 2n2 = m2 m2 osutus paarisarvuks, järelikult on paarisarv ka m: m = 2k m2 = (2k)2 2n2 = (2k)2 2n2 = 4k2 n2 = 2k2 Ka n osutus paarisarvuks, seetõttu m ja n ei saa olla ühistegurita täisarvud ning 2 ei saa olla ratsionaalarv. 6 Irratsionaalarvud Mitteperioodilisi lõpmatuid kümnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks. Näiteks: 2 = 1,41421..., = 3,14159265..., e = 2,71828... Iga irratsionaalarv on kuitahes täpselt lähendatav ratsionaalarvudega 1,4 < 2 < 1,5 täpsus 1/10 1,41 < 2 < 1,42 täpsus 1/100 1,414 < 2 < 1,415 täpsus 1/1000 7 Reaalarvud Ratsionaalarve ja irratsionaalarve nimetatakse ühiselt reaalarvudeks. Iga lõpmatut kümnendmurdu, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis,
Paaritud, st. kahega mittejaguvad täisarvud, esituvad aga kujul 2n+1, kus n Z. Täisarvude hulga omadused 1. Täisarvude hulk on järjestatud. 2. Täisarvude hulgas ei ole suurimat (arvu) ega vähimat elementi (arvu). 3. Täisarvude hulk on liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes kinnine arvuhulk (täisarvude summa, vahe ja korrutis on täisarv. 4. Kehtivad samasused: · (a) = a · (+a) = a · a+(a) = 0. Irratsionaalarvud Irratsionaalarvudeks nimetatakse mitteperioodilisi lõpmatuid kümnendmurde. Irratsionaalarvude hulk koos ratsionaalarvude hulgaga moodustavad reaalarvude hulga. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Sinna kuuluvad näiteks arvud: ;; -; jt. Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega, saame reaalarvude hulga R. Reaalarvud
Matemaatilise analüüsi (I) I osaeksami teooriaküsimused (Tallinnas õppivatele kaugõppijatele) 1. Ratsionaalarvud, irratsionaalarvud, reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus ehk moodul. Positiivseid ja negatiivseid täis- ning murdarve koos arvuga null nimetatakse ratsionaalarvudeks. Lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena esitatavaid arve nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud koos moodustavad reaalarvude hulga. x Reaalarvu absoluutväärtuseks ehk mooduliks x nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi x = x, kui x 0, x = -1, kui x < 0. x x. Kehtib seos 2. Muutuv suurus ehk muutuja, jääv suurus ehk konstant. Muutuva suuruse muutumispiirkond. Mõisted: vahemik, lõik, poollõik. Kasvav ja kahanev muutuv suurus, monotoonne suurus
..} ja sümboliga Z kõigi täisarvude hulga, st Z = {...,3,2,1, 0, 1, 2, 3,...}. p Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve kujul q , kus p ja q on täisarvud, q 0. Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q. Ratsionaalarvudeks on parajasti need arvud, mis on esitatavad lõplike või lõpmatute perioodiliste kümnendmurdudena. Arve, mis on esitatavad lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena, nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud moodustavad reaalarvude hulga. Kõigi reaalarvude hulga tähistame sümboliga R. Iga lõplikku kümnendmurdu a= , 12 ...n saab esitada lõpmatu kümnendmurruna kahel viisil: a = , 12 ...n 00... või a = , 12 ...(n -1)99... . Edaspidi välistame kümnendmurru esitamise kujul, mis lõpeb numbriga 9 perioodis. See eeldus võimaldab hõlpsamini defineerida reaalarvude võrdlemise eeskirjad.
N = {1, 2, 3, . . . } ja sümboliga Z kõigi täisarvude hulka Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . }. Definitsioon 0.2 Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve kujul pq , kus p ja q on täisarvud ja q = 0. Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q. Definitsioon 0.3 Arve, mis on esitatavad lõpmatute mitteperioodiliste kümnend- murdudena, nimetatakse irratsionaalarvudeks. Irratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga I. Definitsioon 0.4 Kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud moodustavad reaalarvude hulga. Kõigi reaalarvude hulga tähistame sümboliga R. Reaalarvude hulga kirjapanekuks kasutatakse kirjutusviisi R = { x : - < x < } või R = (-, ). Iga lõplikku kümnendmurdu a = , 1 2 . . . n (näiteks 8.765210448) saab esitada lõpmatu kümnendmurruna kahel erineval viisil: a = , 1 2 . . . n 00 . .
Siiski jäädi matemaatikale truuks ja tänaseks ei nähta sellistes irratsionaalarvudes enam suurt ohtu ei tervisele ega ühiskonnale. Tegelikult lepiti nendega hoopis enne kui negatiivsete arvudega arvuhulgad – nad tundusid küll kummalised, aga neile oli ometi võimalik looduses ja geomeet- rilises ettekujutuses vastet leida. Irratsionaalarvudeks nimetataksegi kõiki arve arvteljel, millel ei ole esitust kujus . Paljud neist on esitatavad täis- või ratsionaalarvude juurtena [lk 111], näiteks ja ka on irratsionaalarvud. Irratsionaalarvudeks on aga veel näiteks ja . Nende faktide tõestamine on aga päris keeruline ja senini on näiteks tead- mata, kas on ratsionaalarv või irratsionaalarv.
. .} ja t¨aisarvude hulk on Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}. T¨aisarvude baasil defineerime ratsionaalarvud. Ratsionaalarvuks nimetatakse kahe t¨aisarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q = 0. Ratsionaalarvude hulga t¨ahis on Q. Seega, l¨ uhidalt kirjutades Q = { pq p, q Z, q = 0}. Iga ratsionaalarvu saab esitada kas l~opliku v~oi l~opmatu perioodilise k¨umnendmurruna. L~opmatuid mitteperioodilisi k¨ umnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks. Irratsionaalarvude hulga t¨ahis on I. Uks ¨ ja sama arv ei saa olla samaaegselt nii 1 ratsionaal- kui ka irratsionaalarav. Seet~ottu ei oma ratsionaalarvude ja irrat- sionaalaarvude hulgad u ¨hisosa, st Q I = . Ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud kokku moodustavad reaalarvude hulga. Reaalarvude hulga t¨ahis on R. Seega R = Q I. Arvtelje m~ oiste
{. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}. T¨aisarvude baasil defineerime ratsionaalarvud. Ratsionaalarvuks nimetatakse kahe t¨aisarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q = 0. Ratsionaalarvude hulga t¨ahis on Q. Seega, l¨ uhidalt kirjutades Q = { pq p, q Z, q = 0}. Iga ratsionaalarvu saab esitada kas l~opliku v~oi l~opmatu perioodilise k¨ umnendmurruna. L~opmatuid mitteperioodilisi k¨ umnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks. ¨ ja sama arv ei saa olla samaaegselt nii Irratsionaalarvude hulga t¨ahis on I. Uks 1 ratsionaal- kui ka irratsionaalarav. Seet~ottu ei oma ratsionaalarvude ja irrat- sionaalaarvude hulgad u ¨hisosa, st Q I = . Ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud kokku moodustavad reaalarvude hulga. Reaalarvude hulga t¨ahis on R. Seega R = Q I. Arvtelje m~ oiste
n n n n Lausest 1.20 selgub muuhulgas tõsiasi, et meie poolt defineeritud √ kõigi √ reaalarvude hulk R on rangelt suurem kui kõigi ratsionaalarvude hulk Q, näiteks 2 := 2 ∈ R Q. 2 Definitsioon. Arve z ∈ R Q nimetatakse irratsionaalarvudeks. 1.5.2 Archimedese printsiip. Ratsionaalarvude hulga tihedus Selles punktis selgitame, kuidas paiknevad naturaalarvud ja ratsionaalarvud korpuses R. Arutelu aluseks on järgmine oluline järeldus pidevuse aksioomist. Lause 1.22 (Archimedese printsiip). Iga reaalarvu a korral leidub selline naturaalarv n, et a < n. Teisisõnu, kõigi naturaalarvude hulk N ei ole tõkestatud korpuses R. Tõestus. Oletame vastuväiteliselt, et hulk N on ülalt tõkestatud, pidevuse aksioomi
divisionis). Liigituse alus (criterion, ld fundamentum divisionis) on tunnus (tunnused), mida ühed liigid omavad ja teised mitte. Alaliigitus on liigituse liikmete edasiliigitamine alaliikideks, kusjuures liike käsitletakse sooterminitena alaliikide suhtes. 17 Taksonoomilise liigituse erijuhtum on dihhotoomiline liigitus, mille käigus jagatakse termin mingi tunnuse alusel kaheks vasturääkivaks terminiks. Liigitus võib olla mitmeastmeline. Nt reaalarve saab liigitada irratsionaalarvudeks ning ratsionaalarvudeks, ratsionaalarve omakorda murdarvudeks ja täisarvudeks, täisarve omakorda naturaalarvudeks ning mittenaturaalarvudeks (kusjuures täisarvude jaotus on kahe-tähenduslik, sest arv null liigitatakse mõnikord naturaalarvude hulka, mõnikord mitte). Liigitada saab ka mittetaksonoomiliselt. Tuntuim mittetaksonoomiline liigitus on mereoloogiline liigitus. Mereoloogilise liigituse korral liigitatakse tavaliselt koguterminit ning
ühed liigid omavad ja teised mitte. Alaliigitus on liigituse liikmete edasiliigitamine alaliikideks, kusjuures liike käsitletakse sooterminitena alaliikide suhtes. 17 Taksonoomilise liigituse erijuhtum on dihhotoomiline liigitus, mille käigus jagatakse termin mingi tunnuse alusel kaheks vasturääkivaks terminiks. Liigitus võib olla mitmeastmeline. Nt reaalarve saab liigitada irratsionaalarvudeks ning ratsionaalarvudeks, ratsionaalarve omakorda murdarvudeks ja täisarvudeks, täisarve omakorda naturaalarvudeks ning mittenaturaalarvudeks (kusjuures täisarvude jaotus on kahe-tähenduslik, sest arv null liigitatakse mõnikord naturaalarvude hulka, mõnikord mitte). Liigitada saab ka mittetaksonoomiliselt. Tuntuim mittetaksonoomiline liigitus on mereoloogiline liigitus. Mereoloogilise liigituse korral liigitatakse tavaliselt koguterminit ning
annaabi.ee 
