Muutunud kaubandustingimused avaldavad aga ka mõju väliskaubanudse mahtudele ja suundadele, mis omakorda mõjutavad riigi kui terviku, aga samuti tema tootjate ja tarbijate ning riigisektori heaolu. Euroopa Liidu võimalik laienemine, aga samuti mitmete teiste riikidevaheliste kaubandusplokkide moodustamine on tõstatanud taas päevakorda regionaalse integratsiooni problemaatika. Üldiselt mõistetakse majandusliku integratsiooni all olukorda, kus integreeruvate riikide vahel kaotatakse kõik kaubandustõkked ning kolmandate riikide suhtes rakendatakse diskrimineerivat väliskaubanduspoliitikat. Traditsiooniliselt tuuakse välja kolm regionaalse majandusliku integratsiooni vormi: vabakaubanduspiirkond, tolliliit ja ühtne turg. Tolliliidu all mõistetakse üldiselt riikidegruppi, kus on omavaheliselt kaubavahetuselt kaotatud kõik tollimaksud ja koguselised piirangud ning mitteliikmesriikide suhtes rakendatakse ühis väliskaubanduspoliitikat
Siis selle rea koonduvusraadius avaldub kujul Abeli teoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega. Kui astmerida koondub punktis x0, siis see astmerida koondub absoluutselt iga x korral, kui |x|<|x0| ja koondub ühtlaselt hulgal {q<0). Xq={X : |X|≤q<|x0|} Kui astmerida hajub punktis x0, siis see astmerida hajub iga x korral, kui |x|>|x0| 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi Liikmeti integreerimine: Kui lõigul [a,b] integreeruvate funktsioonide rida (1) koondub sel lõigul ühtlaselt, siis rida (1) võib lõigul [a,b] liikmeti integreerida, st . Liikmeti diferentseerimine: Kui re a (1) korral ja koondub ühtlaselt lõigul [a,b], siis funktsionaalrida võib lõigul [a,b] liikmeti diferentseerida, st
Siis selle rea koonduvusraadius avaldub kujul Abeli teoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega. Kui astmerida koondub punktis x0, siis see astmerida koondub absoluutselt iga x korral, kui |x|<|x0| ja koondub ühtlaselt hulgal {q<0). Xq={X : |X|q<|x0|} Kui astmerida hajub punktis x0, siis see astmerida hajub iga x korral, kui |x|>|x0| 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi Liikmeti integreerimine: Kui lõigul [a,b] integreeruvate funktsioonide rida (1) koondub sel lõigul ühtlaselt, siis rida (1) võib lõigul [a,b] liikmeti integreerida, st . Liikmeti diferentseerimine: Kui re a (1) korral ja koondub ühtlaselt lõigul [a,b], siis funktsionaalrida võib lõigul [a,b] liikmeti diferentseerida, st
Siis selle rea koonduvusraadius avaldub kujul Abeli teoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega. Kui astmerida koondub punktis x0, siis see astmerida koondub absoluutselt iga x korral, kui |x|<|x0| ja koondub ühtlaselt hulgal {q<0). Xq={X : |X|q<|x0|} Kui astmerida hajub punktis x0, siis see astmerida hajub iga x korral, kui |x|>|x0| 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi Liikmeti integreerimine: Kui lõigul [a,b] integreeruvate funktsioonide rida (1) koondub sel lõigul ühtlaselt, siis rida (1) võib lõigul [a,b] liikmeti integreerida, st . Liikmeti diferentseerimine: Kui re a (1) korral ja koondub ühtlaselt lõigul [a,b], siis funktsionaalrida võib lõigul [a,b] liikmeti diferentseerida, st
a k=1 alguspunkti a ning ülemiseks rajaks loetakse lõigu lõpp-punkti b . (L. Pallas) b Seda, et funktsioon f ( x ) on integreeruv lõigul [a ;b] , st ∃∫ f ( x ) dx , tähistame a f ( x ) ∈ I [a ; b ] , kus hulk I [a ; b ] on kõigi lõigul [a ;b] integreeruvate funktsioonide hulk. b a Kui a ≥ b , siis defineeritakse seos ∫ f ( x ) dx=−∫ f ( x ) dx , millest järeldub erijuhu a=b a b a seos järgmisena ∫ f ( x ) dx=¿ 0. (I. Tammeraid) a Määratud integraali omadused Omadus 1.
kõikvimalikud reaalarvulised väärtused. Igal pideval funktsioonil leidub algfunktsioon. Selgitada funktsiooni määramata integraali mõistet: Avaldist F (x)+C, kus F on funktsiooni f : D → R mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks intervallis D ja märgitakse ∫ f (x) dx. Teisisõnu, ∫ f (x) dx = F (x) + C, kus F′ (x) = f (x) iga x ∈ D puhul. Integreerimise põhivalemid: 32. Integreerimisreeglid (*) Tõestada integreeruvate funktsioonide f ja g summa f + g ja kordse λf integreerimise reeglid (lause 8.1 ja 8.2): Kui intervallis D määratud funktsioonidel f ja g eksisteerivad selles intervallis määramata integraalid ∫f (x) dx ning ∫ g (x) dx, siis eksisteerib ka määramata integraal ∫ (f (x) + g (x)) dx ja kehtib seos Eeldatavasti eksisteerivad ∫f (x) dx = F (x)+C1 ning ∫g (x) dx = G(x)+C2, mistõttu (F + G)′ (x) = F′ (x) + G′ (x) = f (x) + g (x) = (f + g) (x) , s.t
Riemanni integraaliks (ehk määratud integraaliks) lõigus [a, b] ja kirjutatakse b I = f ( x )dx . a Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks. Lõiku [a, b] nimetatakse integreerimislõiguks. Kõigi Riemanni mõttes integreeruvate funktsioonide hulka märgime L[a, b]. 29 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Integreeruva funktsiooni tõkestatus Teoreem: Lõigus integreeruv funktsioon on tõkestatud selles lõigus. Tõestus: Oletame, et funktsioon pole lõigus [a, b] tõkestatud. Näitame, et funktsioon pole integreeruv. a < x0 < x1 < ... < x n = b
koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest ∑∞ 1 ≥ 0 (𝑘𝜖𝑵) Võrdleme seda rida [a,b] integreeruvate funktsioonide rida ∑𝒙𝒌=𝟎 𝒖𝒌 (𝒙) (1) koondub sel lõigul ühtlaselt, siis rida (1) võib lõigul [a,b] liikmeti 𝑘=1 (𝑘+1)2𝑘 𝑘=1 (𝑘+1)2𝑘
Järelikult sobib tingimuses (5.2) arvu I rolli c (b − a), mistõttu f (x) dx = c (b − a) a (selgitada!)z. Seega on kõik lõigus [a, b] konstantsed funktsioonid selles lõigus integreeru- vad, kusjuures integraali väärtuseks on funktsiooni graafiku ja sirgete y = 0, x = a ja x = b poolt määratud ristküliku pindala. Integreeruvate funktsioonide kirjeldamist alustame järgmise olulise lausega. Lause 5.1 (tarvilik tingimus integreeruvuseks). Iga lõigus [a, b] integreeruv funktsioon f on selles lõigus tõkestatud. Tõestus. Kui f : [a, b] → R on integreeruv funktsioon, siis integreeruvuse definitsiooni n kohaselt saab leida lõigu [a, b] sellise alajaotuse T [x0 , . . . , xn ], et
annaabi.ee 
