lõpmatusele ja seega kõige pikema osalõigu pikkus (max x) läheneb nullile. Võtame igas osalõigus suvalise i väärtuse. Nii saame koostada ühe konkreetse integraalsumma. Võttes ette järgmise jaotusvariandi ja iga osajaotuse kohta taas suuruse i, saame teise arvutada teise integraalsumma ja sedaviisi saame praktiliselt lõputu hulga integraalsummasid, millest saab kokku panna integraalsummade jada. · Ent hoolega mõtiskledes taipame, et integraalsummade seas on siiski olemas mingi väärtus, milleni jada jõuab lõpmatult lähedale, kuid millega ükski integraalsumma * võrduda ei saa. Järelikult läheneb see integraalsummade jada (tähistame S n ) mingile piirväärtusele s *
kahekordse integraali omadused (vastavad teoreemid tõestuseta)). n Moodustame summa: Vn = f ( P1 )s1 + f ( P2 )s 2 + ... + f ( Pn )s n = f ( Pi )s i i =1 Seda summat nimetatakse funktsiooni f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Teoreem 1. Kui funktsioon f(x,y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade si maksimaalse läbimõõdu nullile lähenemisel ja n lõpmatul kasvamisel piirväärtus, mis on üks ja sama iga jada puhul, s.t. ta ei sõltu piirkonna D osapiirkondadeks si jaotamise viisist ega punkti Pi valikust piirkoonas si. Seda piirväärtust nimetatakse funktsioonif (x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse sümboliga f ( P)ds ehk D
f (P1) × s i Seda summat nimetatakse funktsiooni f(x;y) integraalsummaks i=1 üle piirkonda D o Kui piirkonna D igas punktis f 0; siis saab iga liidetavat f(Pi)si geomeetriliselt tõlgendada väikese silindri ruumalana, kusjuures silindri põhjaks on si ja kõrguseks f(Pi). Summa Vn on nimetatud elementaarsete silindrite ruumalade summa. o Kui funktsioon f(x; y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade si maksimaalse läbimõõdu nullile lähenemisel ja n lõpmatu kasvamisel piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x; y) kahekordseks integraaliks üle piirkonda D ja tähistatakse sümboliga f (x , y)dxdy D Kahekordse integraali rakendusi (tasandilise kujundi mass, massikese, inertsimomendid) o Tasandilise kujundi pindala
korrutiste summa, mille liikmeteks on f(P1)s1: Summat nim. funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Kui piirkonna D igas punktis f0, siis saab iga liidetavat f(Pi)si geomeetriliselt tõlgendada väikese silindri ruumalana, kusjuures silindri põhjaks on si ja kõrguseks f(Pi). Summa Vn on nimetatud elementaarsete silindrite ruumalade summa, s.t. teatud ,,treppkeha" ruumala. Vaatleme funktsiooni z=f(x,y) integraalsummade suvalist jada Vn1, Vn2, Vn3,..., Vnn, mis on saadud antud piirkonna D jaotamisel osadeks si mitmel erineval viisil. Oletame, et osapiirkonna si maksimaalne läbimõõt läheneb nullule, kui nk. Siis ositab õigeks järgmine väide: kui funktsioon z=f(x,y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade s i maksimaalse läbimõõdu nullile lähenemisel ja n lõpmatul kasvamisel piirväärtus, mis on üks ja sama iga jada pihi, s.t
määramispiirkond. Osatuletiste rakendused: Ekstreemumi (min, max) leidmine. Punkt, kus osatuletis on 0, nim. kriitiliseks punktiks. P(xo,yo). Puutujatasandi võrrand: fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y-z+d=0. Punkt Q0(x0,y0,z0) kuulub puutujatasandile.Seal pt.s puutujatasandiga risti olev vektor n on pinna normaal pt.s Q0. 2. Määratud integraal ja selle geomeetrilised rakendused: tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem lubab määratud integraale arvutada määramata integraalide abil. Integreerimise omadusi: 3+2 valemit Rakendused: 1) Tasap. kujundi S=int(ülem-alum) 2) Joone kaare pikkus VALEM 3)Pöördpinna ruumala VALEM 4) Pöördpinna pindala 3. Kahekordse integraali definitsioon ja omadused: aditiivsus, lineaarsus, monotoonsus, absoluutne integreeruvus, keskväärtusteoreem, näide Vaatleme tasapinnal xy joonega L piiratud kinnist piirkonda D
B) PÄRATUD INTEGRAALID KATKEVAST FUNKTSIOONIST Olgu funktsioon f(x) määratud ja pidev, kui a x < b ja määramata või katkev, kui x = b b Sel juhul ei saa rääkida integraalist f ( x ) dx a kui integraalsummade piirväärtusest, sest f(x) ei ole pidev lõigul [a, b ] ja see piirväärtus võib puududa. Punktis b katkeva funktsiooni f(x) integraal defineeritakse järgnevalt: b c f ( x ) dx = lim- f ( x ) dx cb a a Kui piirväärtus eksisteerib, siis nimetatakse antud integaali koonduvaks päratuks integraaliks. Kui piirväärtust ei eksisteeri, siis nimetatakse antud integaali hajuvaks päratuks integraaliks.
- b + a B) PÄRATUD INTEGRAALID KATKEVAST FUNKTSIOONIST Olgu funktsioon f(x) määratud ja pidev, kui a x < b ja määramata või katkev, kui x = b b Sel juhul ei saa rääkida integraalist f ( x ) dx a kui integraalsummade piirväärtusest, sest f(x) ei ole pidev lõigul [a, b ] ja see piirväärtus võib puududa. Punktis b katkeva funktsiooni f(x) integraal defineeritakse järgnevalt: b c f ( x ) dx = lim f ( x ) dx a cb - a Kui piirväärtus eksisteerib, siis nimetatakse antud integaali koonduvaks päratuks integraaliks. Kui piirväärtust ei eksisteeri, siis nimetatakse antud integaali hajuvaks päratuks integraaliks.
eksisteerivad, siis kahekordse integraali definitsioonis esinevad piirväärtused ei sõltu piirkonna D funktsioonid M, N, 𝜕𝑦 , 𝜕𝑥 on pidevad. osapiirkondadeks Di jaotamise viisist ja punkti Pi∈Di valikust.Seega on võimalik nende integraalsummade koostamisel kasutada ühist piirkonna D osapiikondadeks Di jaotamist ja puntki Pi∈Di valikut.Et seose f(P)≤g(P) 8. Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. Lahendamismeetod. Definitsioon. Esimest järku
normaaliks punktis Q 0 . Näide 10. Leida puutujatasand ja normaal pinnale z xy x y punktis Q 0 1, 1, 3 . Leiame osatuletised z x y 1, z y x 1; z x 1, 1 2, z y 1, 1 2 Seega puutujatasand punktis Q 0 2x 2y z d 0 2 1 2 1 3 d 0 d 1 2x 2y z 1 0 Normaal on siis n 2, 2, 1 . 1.2 Määratud integraal ja selle rakendusi Määratud integraaliks nimetati integraalsummade piirväärtust b f x dx lim xi 0 f i xi a Newton-Leibnizi valem lubab määratut integraali arvutada määramata integraali f x dx F x C abil järgmiselt b b f x dx Fb Fa Fx a . a Määramata integraali arvutamiseks kasutame integraalide tabelit
annaabi.ee 
