.. Vaatame rida sellised jaotusvariante lõikudeks [xi-1 , xi], kus iga jaotusvariandi on kõige pikema lõigu pikkus järjest väiksem, ehk teisisõnu läheneb max[xi-1 , xi] nullile. Seega loogiliselt järeldades: mida väiksem on pikim lõik, seda rohkem lõike tekib, ehk siis lõikude arv n läheneb LÕPMATUSELE · Valides vastava i väärtuse, võib ju iga jaotusvariandi puhul koostada erinevad integraalsummad: n S n= i =1 f( )xi i · Nii saab moodustada osajaotustest ja ka vastavatest integraalsummadest korrastatud jadasid · Vaatame üht osajaotuste jada, kus iga jaotuse puhul läheneb osalõikude arv n lõpmatusele ja seega kõige pikema osalõigu pikkus (max x) läheneb nullile. Võtame igas osalõigus suvalise i väärtuse. Nii saame koostada ühe konkreetse integraalsumma. Võttes
Jaotame lõigu [a, b ] n võrdseks alamlõiguks pikkusega h = y = f(x) n Tähistame funktsiooni y väärtused punktides xi järgnevalt y0 = f ( x0 ) ; y1 = f ( x1 ) ; yn = f ( xn ) Koostame summad y0 h + y1h + + yn -1h y1h + y2 h + yn h y0 y1 Mõlemad summad on funktsiooni y = f ( x ) integraalsummad lõigul [a, b ] ja kujutavad ligikaudselt integraale b b -a a f ( x ) dx n ( y0 + y1 + + yn -1 ) 0 a x1 x2 b x b x0 xn b -a f ( x ) dx a n ( y1 + y2 + + yn ) Saime ristkülikvalemi. Viga on seda väiksem, mida suurem on n.
n Tähistame funktsiooni y väärtused punktides xi järgnevalt y0 = f ( x0 ) ; y1 = f ( x1 ) ; yn = f ( xn ) Koostame summad y0 h + y1h + + yn -1h y1h + y2 h + yn h y0 y1 Mõlemad summad on funktsiooni y = f ( x ) integraalsummad lõigul [a, b ] ja kujutavad ligikaudselt integraale 0 a x1 x2 b x x0 xn 10 b b -a f ( x ) dx a n ( y0 + y1 + + yn -1 ) b b -a
b Järelikult leidub m µ M , et f ( x)dx = µ (b - a) a Kui f (x) on pidev lõigul [a, b] , siis mistahes µ (m µ M ) korral leidub vähemalt üks punkt, kus f ( ) = µ © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 45 Ülemised ja alumised integraalsummad ning nende omadused (tõestusega). Tähistame, mi = inf f ( x) (29.1) M i = sup f ( x) Määratud integraalsummad n (29.2) S n = mi x i - alumine integraalsumma i =1 n S n = M i x i - ülemine integraalsumma i =1 On selge, et on täidetud võrratused n (29.3) m(b - a ) S n S n = f ( i )x i S n M (b - a) i =1
b Järelikult leidub m µ M , et f ( x)dx = µ (b - a) a Kui f (x) on pidev lõigul [a, b] , siis mistahes µ (m µ M ) korral leidub vähemalt üks punkt, kus f ( ) = µ © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 45 Ülemised ja alumised integraalsummad ning nende omadused (tõestusega). Tähistame, mi = inf f ( x) (29.1) M i = sup f ( x) Määratud integraalsummad n (29.2) S n = mi x i - alumine integraalsumma i =1 n S n = M i x i - ülemine integraalsumma i =1 On selge, et on täidetud võrratused n (29.3) m(b - a ) S n S n = f ( i )x i S n M (b - a) i =1
osapiirkondadeks Di jaotamise viisist ja punkti Pi∈Di valikust.Seega on võimalik nende integraalsummade koostamisel kasutada ühist piirkonna D osapiikondadeks Di jaotamist ja puntki Pi∈Di valikut.Et seose f(P)≤g(P) 8. Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. Lahendamismeetod. Definitsioon. Esimest järku (P∈D) põhjal saame f(Pi) ≤g(Pi), siis rahuldavad integraalsummad võrratust ∑𝑛𝑖=1 𝑓(Pi)∆Si ≤ diferentsioolvõrrandit y’ = f(x, y) nimetatakse eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandiks, kui see on ∑𝑛𝑖=1 𝑔(Pi)∆Si.Võttes viimase võrratuse mõlema poole piirväärtuse lim 𝑛→∞,max 𝑑𝑖→0 ∑𝑛𝑖=1 𝑓(Pi)∆Si ≤ lim 𝑛→∞,max 𝑑𝑖→0
(C 1 0). xy yy 0 1 Olgu pinnal määratud kolme muutuja funktsioon f x, y, z . Nagu osas 3.1 jagame pinna mingil viisil n siledaks osaks 1, 2 , ... n ja valime igas osas i suvaliselt punkti P i . Olgu xy i , xz i , yz i pinnatüki i projektsioonid vastavalt xy , xz yz-tasandil. Tähistame nende projektsioonide pindalad vastavalt S xy i , S xz i , S yz i ja moodustame integraalsummad n n n xy f Pi S xy i , xz f Pi S xz i , yz f Pi S yz i . i 1 i 1 i 1 Tähistame tähega osapiirkondade 1, 2, ... n suurima diameetri.
3) λ(T )→0 k=1 Siiski tuleb olla taolise piirväärtuse omaduste kasutamisel ettevaatlik, kuna tegemist ei ole eelnevates peatükkides vaadeldud jada ega funktsiooni piirväärtusega. Märkus 2. Jada, funktsiooni ja integraalsumma piirväärtuse mõistet üldistatakse topoloogia kursuses pere piirväärtuse mõisteks. Sellisel juhul oleks pere liikmed integraalsummad, indeksid oleks paarid (T, ξ) ning järjestus defineeritud nii, et (T, ξ) 4 (T ′ , ξ ′ ), kui T jaotuspunktid on kõik T ′ jaotuspunktid. Saab näidata, et selline indeksite hulk on suunatud hulk. 108 5 Integreeruvad funktsioonid Märkus 3. Ilmselt toob tingimus λ (T ) → 0 endaga kaasa protsessi n → ∞, vastupidine implikatsioon ei tarvitse olla õige (selgitada!)z. Näide 5.1
annaabi.ee 
