ja tähistataksef(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C konstant Geomeetriline sisu Määramata integraal ei ole ühene funktsioon. Iga x korral on tal lõpmatult palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisest küljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y = F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. Asendusvõte. Vaatleme määramata integraali f(x)dx . Integraali (5.2) avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = (x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi.
Algfunktsiooni tuletis on aga korrutatud argumendi diferentsiaaliga, mis omakorda annab meile vastava funktsiooni diferentsiaali, mille integraal on võrdne algfunktsiooniga: f(x)dx = dF(x) = F(x) + C Sellepärast on funktsiooni integreerimises kui tuletise võtmise pöördtehtes arvestatud ka argumendi diferentsiaaliga, kuna tegelikult ongi tegemist mingi funktsiooni diferentsiaali ja n-ö integraalvastega, sest määramata integraal F(x) + C tähistab funktsioonideparve, mille tuletised on kõik ühesuguse kujuga. Ent funktsioonideparv iseloomustab siiski funktsiooni tuletiste muutu, tuletisteparve, mis näevad matemaatiliselt samasugused välja, kuid mis graafiliselt PAIKNEVAD eri kohtades. Sellepärast tuleb integreerimisel alati arvestada ka vastava funktsiooni diferentsiaaliga...See on õige nii matemaatiliselt kui ka piltlikult. TULEMAS: järeldusi integraali definitsioonist Seniks: CIAO
3 avalduvad kujul 2 4, kus 4 on suvaline konstant. Funktsiooni algfunktsioonide üldavaldist 2 4, kus 4 on konstant, nimetatakse funktsiooni määramata integraaliks ja tähistatakse 5 2 4, kus 4 on konstant. Määramata integraali võib tõlgendada kui üheste funktsioonide parve 2 4, kus konstandi 4 igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil - LIISI KINK 13 MATEMAATILINE ANALÜÜS I
Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks a tähistatakse ∫ f (x)dx . Seega definitsiooni kohaselt ∫ f (x)dx = F(x)+C. Geomeetriline sisu. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). ∫ dx =x+C x a−1 ∫ x a dx = a+1 + C , kus a ≠ -1 dx ∫ x = ln |x| + C x a
Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist , kus C on konstant, nim funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse Iga x korral on määramata integraalil palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitad konstandist C. Teisest küljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y=F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy- koordinaadistikus saame joonteparve, mille joone on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. (JOONIS) 34. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused( sh omadus 3 koos tõestusega). a. Integraalide tabel a.1. a.2. =+1+1+, -1 a.3. a.4. a.5. a.6. a.7
konstant. Viimasest v~ordusest saame seose G = F +C, mis n¨aitab, et G ikkagi avaldub kujul F + C. J~oudsime vastuolule. Teoreem on t~oestatud. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni f algfunktsioonide u¨ldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f m¨a¨aramata integraaliks ja t¨ahistatakse f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C - konstant Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on u¨ksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellu¨kke abil 34. Integraalide tabel. 1. dx = x + C , kuna (x + C)' = 1. 2. xa dx = x a+1 /(a+1) + C, kus a -1, Kuna (x a+1 /a+1 + C)'= (a + 1)* xa /a+1 = xa. 3.dx /x = ln|x| + C. 4. a x dx = a x/ lna + C , kus a > 0,a 1 5. sinx dx = -cosx + C. 6. cosxdx = sinx + C. 7.dx /cos2 x = tanx + C. 8. dx /sin2 x = -cotx + C. 9. dx /k 2+x 2 = 1/k * arctan x/k + C.
Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F( x )+C , kus C on konstant, nim funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f ( x ) dx f ( x ) dx=F ( x ) +C Iga x korral on määramata integraalil palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitad konstandist C. Teisest küljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y=F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille joone on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. (JOONIS) 34. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega). Integraalide tabel 1. dx=x+C 2.=+1+1+, -1 3. dx ax =ln |x|+C 4. a x dx = +C , kus a> 0, a 1 5. sinxdx=-cosx+C x lna
Viimasest võrdusest saame seose G = F +C, mis näitab, et G ikkagi avaldub kujul F + C. Jõudsime vastuolule. Teoreem on tõestatud. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse ʃf(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt ʃ f(x)dx = F(x) + C , C − konstant Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil 34. Integraalide tabel. 1. ʃdx = x + C , kuna (x + C)’ = 1. 2. ʃxa dx = x a+1 /(a+1) + C, kus a −1, Kuna (x a+1 /a+1 + C)’= (a + 1)* xa /a+1 = xa. 3.ʃdx /x = ln|x| + C. 4. ʃa x dx = a x/ lna + C , kus a > 0,a 1 5. ʃsinx dx = −cosx + C. 6. ʃcosxdx = sinx + C. 7.ʃdx /cos2 x = tanx + C. 8.ʃ dx /sin2 x = −cotx + C. 9
integraaliks ja tähistatakse f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C - konstant . Määramata integraal ei ole ühene funktsioon. Iga x korral on tal lõpmatult palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisest k.uljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y = F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil (joonis 5.1). 34. Integraalide tabel. 1. dx = x + C , kuna (x + C) = 1. 2. x^a dx = {(x^a +1)/ a+1} + C, kus a = -1, kuna ({x^a+1/ a+1 }+ C) = (a + 1) *(x^a)/(a+1) = x^a. 3. dx/x = ln |x| + C. 4. a^x dx = {a^x/ ln a} + C , kus a > 0, a = 1, kuna ({a^x/ ln a} + C) ={ a^x/ ln a}* ln a = ax. Erijuht: exdx = ex + C. 5. sin xdx = -cos x + C. 6
1) Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. M¨a¨ aramata integraal ei ole u ¨hene funktsioon. Iga x korral on tal l~opmatult palju erinevaid v¨a¨ artusi, mis s~oltuvad valitud konstandist C. Teisest k¨uljest v~oib m¨a¨ aramata integraali t~olgendada kui u ¨heste funktsioonide parve y = F (x) + C, kus konstandi C igale v¨a¨artusele vastab u ¨ks u ¨hene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on u ¨ksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleell¨ ukke abil (joonis 5.1). yy y = F (x) + C y = F (x) + 1 y = F (x)
M¨a¨aramata integraal ei ole u ¨hene funktsioon. Iga x korral on tal l~opmatult palju erinevaid v¨a¨artusi, mis s~oltuvad valitud konstandist C. Teisest k¨ uljest v~oib m¨a¨aramata integraali t~olgendada kui u ¨heste funktsioonide parve y = F (x) + C, kus konstandi C igale v¨a¨artusele vastab u ¨ks u ¨hene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on u ¨ksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleell¨ ukke abil (joonis 5.1). yy y = F (x) + C y = F (x) + 1 y = F (x)
annaabi.ee 
