astmest ( n < m) , siis nim. seda funktsiooni lihtmurdratsionaalfunktsiooniks. 35. Liigmurdratsionaalfunktsioon- kui murru lugeja aste on suurem murru nimetaja astmest ( n > m ) on tegu liigmurdratsionaalfunktsiooniga. 36. Riemanni integraal- piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e. Riemanni integraaliks lõigus [ a; b ] . 37. Kahe muutuja funktsioon- kui igale arvupaarile ( x; y) ehk punktile P = ( x; y ) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud kahe muutuja funktsioon z = f (x , y ). 38. n-muutuja funktsioon- kui igale elemendile ehk punktile P = ( x1, x2, ..., xn ) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud n muutuja funktsioon z = f (x1, x2, ..., xn ) 39. lahtine piirkond- ainult seesmistest punktidest koosnev piirkond
f (x) g(x) iga x[a; b] , siis 24. Mis on tarbija ja tootja hinnavaru? Tarbija hinnavaru näitab kui palju on tarbija nõus kauba eest turuhinnast rohkem maksma. Kogukasulikkuse ja ostukulu vahe. Tootja hinnavaru - tootjale makstav hind miinus tootmiskulu 25. Defineerida kahe muutuja funktsioon. Mis on selles sõltumatud muutujad ja sõltuv muutuja? Def. - Kui igale arvupaarile (x; y) ehk punktile P = (x; y) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud kahe muutuja funktsioon z = f (x, y) Sõltumatud ehk argumendid x,y Sõltuv muutuja - z 26. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik? Määramispiirkond x ja y ühisosa Muutumispiirkond - Z={z|z=f(x,y); (x;y)D} Graafik määramispiirkonnas olev pind ruumis 27
Võib väita,et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks realarv ja vastupidi:igale realarvule vastab üks ja ainult üks avtelje punkt. Olgu tasandil antud kaks arvtelge, mis on ristuvad oma nullpunktides. Need moodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideks nimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi punktile vastab üks ja ainult üks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja vastupidi: igale arvupaarile vastab üks ja ainult üks tasandi punkt. Matemaatikas tähistatakse tavaliselt ühel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy-teljestikuga ja me saame rääkiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest. Reaalarvu absoluutväärtus. Reaalarvu a absoluutvaartuseks nimetatakse jargmist mittenegatiivset reaalarvu: Reaalarvu a absoluutvääartust võib
1. Kahje muutuja funktsioonid(definitsioon, määramis- ja muutumispiirkonna definitsioon ja tähistused, näited, esitusviisid, ilmutamata kujul esituse definitsioon, graafik ja graafiku näiteid) DEF: Kahe muutuja funktsioon f on kujutus, mis seab igale arvupaarile (x,y) ∈ D vastavusse ühe reaalarvu z= f ( x , y ) Nende punktide (x,y) hulka D, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik, nimetatakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtuste z hulka Z nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Esitusviis : z=f (x , y ) z- sõltuv muutja, (x,y)- sõltumatud muutujad Näide:
11. Ühe muutuja ilmutamata funktsiooni tuletis. Vastava teoreemi tõestus (teoreem 10.1). Kahe muutuja ilmutamata funktsioon ja selle osatuletised. Teoreem 10.1.Kui argumendi x pidev funktsioon y on antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y)=0, kus F(x,y), Fx'(x,y), Fy'(x,) on pidevad mingis piirkonnas D, mille punktide koordinaadid rahuldavad võrrandit F(x,y)=0, ja kui vaadeldavas punktis peale selle Fy'(x,y)0, siis on funktsioonil y selles punktis tuletis Kui igale arvupaarile x ja y mingist piirkonnas vastab üks või mitu võrrandit F(x,y,z)=0 rahuldavat z väärtust, siis see võrrand määrab ilmutamata kujul ühe või mitu argumenti x ja y ühest funktsiooni z. Näiteks võrrand x2+y2+z2-R2=0 määrab ilmutamata kujul kaks argumentide x ja y pidevat funktsiooni z, mida võrrandi lahendamisel z suhtes saab anda ka ilmutamata kujul: Leiame võrranditega F(x,y,z)=0 määratud ilmutamata funktsiooni z osatuletised Osatuletise leidmisel loeme y konstantseks
tähistatakse sümboliga HVtarbija. Tarbija hinnavaru näitab kui palju on tarbija n õus kauba eest turuhinnast rohkem maksma. Tootja hinnavaruks nimetatakse tulude ja muutkuude vahet p*Q* - SOCBG , tähistatakse sümboliga HVtootja 4. Milline on päratu integraali tähendus finantsmatemaatikas? Päratu integraali tähendus finantsmatemaatikas on perpetuiteet ehk lõpmatu rent. 5. Defineerida kahe muutuja funktsioon. Mis on selles sõltumatud muutujad ja sõltuv muutuja? Kui igale arvupaarile (x;y) ehk punktile P=(x;y) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z siis öeldakse, et hulgal D on määratud kahe muutuja funktsioon z=f(x;y) ja kirjutatakse: z=f(x;y) (x;y) E D ehk z=f(P) P E D x, y - sõltumatud muutujad ehk argumendid z- sõltuv muutuja 6. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik? D määramispiirkond Z = { z|z = f(x;y); (x;y) E D} - muutumispiirkond Funktsiooni graafik kolmedimentsiooniline
HVtarbija= Tarbija hinnavaru näitab kui palju on tarbija n õus kauba eest turuhinnast rohkem maksma. Tootja hinnavaruks nimetatakse tulude ja muutkuude vahet p*Q* - SOCBG , tähistatakse sümboliga HVtootja HVtootja = p*Q* - 4. Milline on päratu integraali tähendus finantsmatemaatikas? Päratu integraali tähendus finantsmatemaatikas on perpetuiteet ehk lõpmatu rent. 5. Defineerida kahe muutuja funktsioon. Mis on selles sõltumatud muutujad ja sõltuv muutuja? Kui igale arvupaarile (x;y) ehk punktile P=(x;y) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z siis öeldakse, et hulgal D on määratud kahe muutuja funktsioon z=f(x;y) ja kirjutatakse: z=f(x;y) (x;y) e D ehk z=f(P) Pe D x, y - sõltumatud muutujad ehk argumendid z- sõltuv muutuja 6. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik? D -määramispiirkond Z = { z|z = f(x;y); (x;y) e D} - muutumispiirkond
HVtootja=p* Q* - Kogukasulikkuse ja ostukulutuste vahet S - p* Q* nimetatakse tarbja hinnavaruks ja tähistatakse sümboliga HVtarbija, st HVtarbija= - p* Q* 40. Milline on päratu integraali tähendus finantsmatemaatikas? Päratu integraali tähendus finantsmatemaatikas on perpetuiteet ehk lõpmatu rent. 41. Defineerida kahe muutuja funktsioon. Mis on selles sõltumatud muutujad ja sõltuv muutuja? Kui igale arvupaarile (x;y) ehk punktile P= (x; y) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud kahe muutuja funktsioon z = f(x,y) ja kirjutatakse z=f(x,y) (x;y) C D ehk z=f(P) P C D. Sõltumatud muutujad ehk argumendid x, y ; Sõltuv muutuja z 42. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik? Kahe muutuja funktsiooni määramispiirkonda kujutab teatud punktide hulk tasandil. Lihtsamatel
nimetaja astmest ( n < m) , siis nim. seda funktsiooni lihtmurdratsionaalfunktsiooniks. 35. Liigmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste on suurem murru nimetaja astmest ( n > m ) on tegu liigmurdratsionaalfunktsiooniga. 36. Riemanni integraal - piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e. Riemanni integraaliks lõigus [ a; b ] . 37. Kahe muutuja funktsioon - kui igale arvupaarile ( x; y) ehk punktile P = ( x; y ) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud kahe muutuja funktsioon z = f (x , y ). 38. n-muutuja funktsioon - kui igale elemendile ehk punktile P = ( x1, x2, ..., xn ) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud n muutuja funktsioon z = f (x1, x2, ..., xn ) 39. lahtine piirkond - ainult seesmistest punktidest koosnev piirkond
¨ks arvtelje punkt. Oeldu p~ohjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Olgu tasandil antud kaks arvtelge, mis on ristuvad oma nullpunktides. Need moodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideks nimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi punktile vastab u ¨ks ja ainult u¨ks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja vastupidi: igale arvupaarile vastab u ¨ks ja ainult u ¨ks tasandi punkt. Matemaatikas t¨ ahistatakse tavaliselt u ¨hel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy- teljestikuga ja me saame r¨a¨akiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest. Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artuseks nimetatakse j¨arg- mist mittenegatiivset reaalarvu:
¨ks arvtelje punkt. Oeldu p~ohjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Olgu tasandil antud kaks arvtelge, mis on ristuvad oma nullpunktides. Need moodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideks nimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi punktile vastab u ¨ks ja ainult u¨ks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja vastupidi: igale arvupaarile vastab u ¨ks ja ainult u ¨ks tasandi punkt. Matemaatikas t¨ahistatakse tavaliselt u¨hel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy- teljestikuga ja me saame r¨a¨akiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest. Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artuseks nimetatakse j¨arg- mist mittenegatiivset reaalarvu:
annaabi.ee 
