murruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, misavaldub jagatisena a/b. Arvuhulkade omadusi ● Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a>b või a=b või aArvuhulga nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulk arve. Jätk järgmisel slaidil Arvuhulkade omadused ● Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub alati samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus. ● Kui arvuhulga igale arvule vastab üks kindel arvtelje punkt ja vastupidi, igale punktile vastab üks kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse, et see arvuhulk on
kolmest võimalusest, kas a>b või a=b või ab. Arvuhulgas leiab aset vahetu järgnevus, kui igale arvule a järgneb arv a + 1 selliselt, et nende arvude vahele ei jää ühtegi selle hulga teist arvu. Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve. Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub alati samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus. Kui arvuhulga igale arvule vastab üks kindel arvtelje punkt ja vastupidi, igale arvtelje punktile vastab üks kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev.
kolmest võimalusest, kas a on suurem kui b või a võrdub b või a on väiksem kui b. Arvuhulgas leiab aset vahetu järgnevus, kui igale arvule a järgneb a +1 selliselt, et nende arvude vahele ei jää ühtegi selle hulga teist arvu. Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve. Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub alati samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus. Kui arvuhulga igale arvule vastab üks kindel arvtelje punkt ja vastupidi, igale arvtelje punktile vastab üksi kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse et arvuhulk on pidev. NATURAALARVUDE HULK N 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim, kuid pole suurimat arvu. 2) On hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge 3) On hulk, mis on kinnine liitmis- ja korrutamistehete suhtes. TÄISARVUDE HULK Z
Elementaarmatemaatika 1. Teooria Mõistete definitsioonid; selgitavad joonised, tekstid 1. Arvuhulga järjestatus- Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a > b , a = b või aArvuhulga tihedus- Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui tema iga kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve 3. Arvuhulga kinnisus tehte suhtes- Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub alati samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus 4. Arvuhulga pidevus- Kui arvuhulga igale arvule vastab üks kindel arvtelje punkt ja vastupidi, igale arvtelje punktile vastab üks kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev 5
kümnendmurruna. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Reaalarvude hulk R koosneb kõikidest irratsionaal- ja ratsionaalarvudest. Iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. 3. Põhitehted reaalarvudega ja nende omadused Põhiteheteks naturaalarvude hulgas on liitmine, lahutaminr, korrutamine ja jagamine. Iga uus arvuhulga laiendamine eeldab laiendatavas hulgas kasutusel olnud tehete defineerimist uute lisatavate arvude puhul. Irratsionaalarvudega ja lõpmatute perioodiliste arvudega arvutamisel piirdutakse nende ligikaudsete väärtustega ehk lähenditega. Näiteks sajandikebi ümardatult on 3,14; 31,73. Kui arvud on esitatud kujul , 3, 2, siis öeldakse, et on antud irratsionaalarvu täpne väärtus. Kasutatud materjal Lea Lepmann, Tiit Lepmann, Kalle Velsker ,,Matemaatika 10. Klassile" (lk 3-17)
Eeldades, et tegemist on ühtlase liikumisega, saab leida mõlema keha liikumiskiiruse. Joonte lõikepunktis on kehade kiirused võrdsed, õpilastelt võib küsida, kui palju aega kulus selle kiiruse saavutamiseks kummalgi kehal. Joonis 1 1.5. Funktsiooni defineerimine Funktsiooni mõiste määratlus peab olema antud nii, et 7. klassi õpilase jaoks on see mõistetavas keeles. Võrdleme kahte funktsiooni definitsiooni: Eeskiri, mis seab ühe arvuhulga (määramispiirkonna) X igale elemendile x vastavusse teise arvuhulga (muutumispiirkonna) Y kindla elemendi y, s.t. määrab hulga X kujutuse hulka Y. Kui selline eeskiri esitatakse võrduse y = f(x) abil, siis öeldakse, et tegemist on funktsiooniga f, kusjuures f(a) tähendab selle funktsiooni väärtust kohal x = a (Abel, E jt 1998: 42). 3 Eeskirja, mis seab sõltumatu muutuja igale väärtusele vastavusse sõltuva muutuja mingi
Z Z Z 0 , kus Z on positiivsete ja Z negatiivsete täisarvude hulk. Ehk Z 0;1;2;3... . Arve n ja –n nimetatakse teineteise vastandarvudeks. Täisarvude hulk on liitmise, korrutamise ja lahutamise suhtes kinnine. Kuid ei ole endiselt seda jagamise suhtes. Kõik täisarvud, positiivsed ja negatiivsed murdarvud kokku moodustavad arvuhulga, mida nimetatakse m ratsionaalarvude hulgaks Q . Ratsionaalarvuks nimetatakse sellist arvu, mis avaldub jagatisena , n kus m Z , n Z ja n 0.
siis saame täisarvude hulga Z Z on positiivsete ja Z negatiivsete täisarvude hulk. Ehk Z 0;1;2;3... . Arve n ja –n nimetatakse teineteise vastandarvudeks. Täisarvude hulk on liitmise, korrutamise ja lahutamise suhtes kinnine. Kuid ei ole endiselt seda jagamise suhtes. Kõik täisarvud, positiivsed ja negatiivsed murdarvud kokku moodustavad arvuhulga, mida nimetatakse m ratsionaalarvude hulgaks Q . Ratsionaalarvuks nimetatakse sellist arvu, mis avaldub jagatisena , n kus m Z , n Z ja n 0.
t. kahe täisarvu liitmisel, lahutamisel ja korrutamisel saame alati täisarvu. RATSIONAALARVUD Ratsionaalarvuks nimetatakse hariliku murdu a , kus a Z, b Z ja b 0. b ratsionaalarvu a vastandarvuks nimetatakse ratsionaalarvu _ a = -a = a ning b b b -b ratsionaalarvu a pöördarvuks b b a. Kõik täisarvud, pos ja neg murdarvud kokku moodustavad arvuhulga, mida nimetatakse ratsionaalarvude hulgaks ja seda arvuhulka tähistatakse tähega Q. Z Q N Igale ratsionaalarvule a vastab arvteljel oma kindel punkt. b Pos ratsionaalarvud asuvad punktist 0 paremal ja neg ratsionaalarvud asuvad punktist 0 vasakul. Negatiivsed ratsionaalarvud. Positiivsed ratsionaalarvud. -1 _ 4 _ 3 _ 2 _ 1 0 1 2 3 4 1
a=b või a
Ajalooline ülevaade Ürgaja inimene eraldas üksteisest ainult kahte- kolme eset. Oli esemeid rohkem, siis kandis see kogus nimetust "palju". Inimühiskonna arenguga tuli juurde arve, koos arvuhulga suurenemisega tekkis vajadus neid kuidagi üles märkida. Algul märgiti arve sisselõigetena kepikestesse või koguti kivikesi ja pulgakesi, kuid suuremate arvude puhul polnud selline märkimisviis enam otstarbekas. See asjaolu põhjustaski arvudele vastavate märkide- numbrite kasutuselevõtu. Egiptus Babüloonia Kreeka Vana Rooma I V X L C D M
Vastuv¨aiteliselt eeldame, et A pole sidus. Siis A avaldub kujul A = B ∪ C, B ∩ C = ∅, B = ∅, C = ∅, 8.2 Sidusad hulgad arvteljel 91 ¨ kus B ja C on lahtised hulgad alamruumis A. Uhtlasi on B ja C ka kinnised hulgad alamruumis A, st cl(B) = B ja cl(C) = C (sulundid ruumis A). Valime c ∈ B ja d ∈ C. ¨ Uldsust kitsendamata v˜oib eeldada, et c < d. Moodustame arvuhulga D = { g ∈ A | [c; g] ⊂ B }. Hulk D on u¨lalt t˜okestatud arvuga d ∈ A ning seet˜ottu leidub ¨lemine raja h = sup D, mis samuti kuulub hulka A, h ∈ tal u A. Arvu h igas u ¨mbruses peab leiduma siis nii hulga B kui ka hulga C punkte, st h ∈ cl(B) ∩ cl(C) = B ∩ C. See on vastuolus eeldusega B ∩ C = ∅. J¨arelikult on hulk A sidus. Teoreem 8.40 Mittet¨ uhjadeks sidusateks hulkadeks ruumis R on parajasti l˜oigud, pooll˜oigud ja vahemikud (ka l˜
Vi- ite korral sama punkti piires ei lisata peat¨ uki ja punkti numbrit. Hulga elementide loetelus v~ oi punkti koordinaatide puhul kasutatakse eraldajana tavaliselt koma, n¨aiteks {a, b, c} ja (x, y) . Kui hulga elementideks v~oi punkti koordinaatideks on arvud, siis v¨a¨ararusaamise v¨ altimiseks kasutatakse eraldajana semikoolonit, n¨aiteks {-2; 3; 11} ja (3; 4.5) . K¨ umnendmurrus kasutatakse eraldajana punkti. Kasutusel on j¨ argnevad arvuhulga t¨ahistused: N = {1; 2; 3; . . .} naturaalarvude hulk; k N = {n | n N m N n = k · m} = {k; 2k; 3k; . . .} naturaalarvuga k jaguvate naturaalarvude hulk; Z = {. . . ; -2; -1; 0; 1; 2; . . .} t¨ aisarvude hulk; Q = {x| x = m/n m Z n N } ratsionaalarvude hulk; I irratsionaalarvude hulk, s.o l~ opmatute mitteperioodiliste k¨umnendmurdude hulk; R = Q I reaalarvude hulk; R + positiivsete reaalarvude hulk;
annaabi.ee 
