Seda, kuidas konkreetset m¨arki ajalooliselt on lihtsustatud, ei saa reeglina teistele m¨arkidele ¨le kanda. N¨aiteks seosest oleks vale j¨areldada u 103 103 seose kehtivust. Teada on, et , aga seos ei pea paika, kuna `¨oo¨biku' algm¨argiks on hoopis , m¨argib leevikest3 . 2 ~ `Oige kuju' pole staatiline vaid pigem d¨ unaamiline parameeter, eri ajastutel on m¨ arkidel kehtinud erinevad normatiivsed `korrektsed kujud'. 3 Liiginimede t~olkimine on tinglik, Cettia diphone parim eestikeelne vaste oleks v~osalind, Pyrrhula pyrrhula t¨apne vaste aga harilik leevikene. 11 2. Vigane m¨ark , ,
On alust 17 oletada, et vastav rituaal oli seotud ka sugulise l¨abik¨aimisega nagu Kagu-Aasias し veel t¨anap¨aevalgi. Yin 殷 ajastul kasutati aasta m˜oistes 祀, Zhou 周 ajal 年 m¨arki. ねん 〔説文〕seletab kui vilja 穀 valmimist 熱, vastavaks m¨argiks on tegelikult 稔. 年 on foneetiliselt seostatud ka ‘tuhandega’ 千, aga luu- ja pronkskirja 卜文・金文 m¨argikujud seda oletust ei toeta. 源 白川字統 ⇒ 千 ⇒ 人 参考 白川字統 ⇒委 ⇒禾
jaoks seose '(t) = dy /dt . Kasutades neid valemeid arvutame: f'(x) = dy /dx = dy dt/ dx dt = '(t)/ '(t) 22. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema l~oikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P l¨ahenemisel punktile A m¨o¨oda joont y = f(x) Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) . Meie eesm¨argiks on tuletada puutuja s v~orrand. K~oigepealt m¨argime, et valemi (3.9) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a,f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) kus p on s t~ous. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. L~oikaja AP t~ous on ¯ p = tan. T¨aisnurkselt kolmnurgalt APQ n¨aeme, et ¯ p = tan =f(x) - f(a)/x - a . Vaatleme nu¨u¨d piirprotsessi x a. Kui x a, siis P l¨aheneb punktile A m¨o¨oda joont y = f(x)
oi dz z z z z = + u1 + u2 + . . . + u . (6.14) dx x u1 u2 un n 16) Tuletada ilmutamata funktsiooni tuletise arvutamise valem. Ilmutamata funktsiooni tuletise valem. Olgu u ¨hemuutuja funktsioon y = f (x) antud ilmutamata kujul v~orrandiga F (x, y) = 0. Eeldame et tuletis f (x) ja osatuletised Fx , Fy eksisteerivad mingis vaadeldavas punktis. Eesm¨argiks on tuletada valem f (x) jaoks Fx ja Fy kaudu. Selleks leiame k~oigepealt u¨hemuutuja funktsiooni F (x, f (x)) tuletise avaldise. T¨aistuletise arvutamise eeskirja (6.14) p~ohjal kehtib j¨argmine valem: dF (x, f (x)) = Fx (x, f (x)) + Fy (x, f (x))f (x) . (6.15) dx J¨ argmiseks kasutame asjaolu et v~orrand F (x, y) = 0 m¨a¨arab ilmutamata kujul funktsiooni y = f (x). Sellest tulenevalt kehtib samasus
Mida v¨aiksem on ajavahemik x, seda t¨apsemalt iseloomustab see keskmine kiirus objekti lii- kumiskiirust ajahetkel x. Seega piirv¨a¨artus x l¨ahenemisel 0-le, st funkt- siooni tuletis kohal x kujutab endast objekti liikumiskiirust ajahetkel x. See arutlus on u¨le kantav mistahes protsessile. Kui see protsess on kirjeldatav funktsiooniga y = f (x), siis f (x) t¨ahendab selle protsessi muutumiskiirust hetkel x. 2.2 Pidevus ja diferentseeruvus Selle alampunkti eesm¨argiks on n¨aidata, et funktsiooni diferentseeruvusest antud punktis j¨areldub alati pidevus selles punktis ja et vastupidine v¨aide ei kehti. Toome n¨aite funktsioonist, mis antud punktis on pidev, kuid mitte diferentseeruv. Teoreem 2.1. Kui funktsioon y = f (x) on diferentseeruv kohal x, siis on see ka pidev kohal x. T~oestus. Olgu funktsioon y = f (x) diferentseeruv kohal x, st f (x) = y lim . N¨aitame, et kehtib funktsiooni pidevuseks tarvilik ja piisav tingi- x0 x mus
Juhul kui = 2 , on p m¨ aramata (tinglikult v~ordne -ga). Siis on s paralleelne y - a¨ teljega ja tema v~orrand on x = a. Joone puutuja ja selle v~ orrand. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f (x) (st funktsiooni y = f (x) graafik). Joone y = f (x) puutujaks punktis A nimetatakse tema l~oikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P l¨ahenemisel punktile A m¨o¨oda joont y = f (x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal t¨ahistatud s-ga). Meie eesm¨argiks on tuletada puutuja s v~orrand. K~oigepealt m¨argime, et valemi (3.9) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a, f (a)) kujul y - f (a) = p(x - a) , (3.10) kus p on s t~ous. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Selleks vaatleme joonist 3.3. Joonisel on l~oikaja AP t~ousunurk t¨ahistatud -ga. Seega on l~oikaja AP t~ous p¯ = tan . T¨aisnurkselt kolmnurgalt AP Q n¨aeme, et
Juhul kui = 2 , on p m¨a¨aramata (tinglikult v~ordne -ga). Siis on s paralleelne y - teljega ja tema v~orrand on x = a. Joone puutuja ja selle v~ orrand. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f (x) (st funktsiooni y = f (x) graafik). Joone y = f (x) puutujaks punktis A nimetatakse tema l~oikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P l¨ahenemisel punktile A m¨o¨oda joont y = f (x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal t¨ahistatud s-ga). Meie eesm¨argiks on tuletada puutuja s v~orrand. K~oigepealt m¨argime, et valemi (3.9) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a, f (a)) kujul y - f (a) = p(x - a) , (3.10) kus p on s t~ous. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Selleks vaatleme joonist 3.3. Joonisel on l~oikaja AP t~ousunurk t¨ahistatud -ga. Seega on l~oikaja AP t~ous p¯ = tan . T¨aisnurkselt kolmnurgalt AP Q n¨aeme, et
tamiseks napib loengutel aega. Samuti on tunduvalt mahukam n¨aite¨ ulesannete hulk. ¨ Uhtses kontekstis on lisatud ka keskkoolis-g¨ umnaasiumis matemaatilisest anal¨ uu¨sist esi- ~ tatu. Oppevahend pakub t¨ aiendavaid v~oimalusi u ¨li~opilaste iseseisvaks t¨o¨oks. T~oestuseta esitatud oluliste v¨ aidete korral on antud viide ~opikule, millest huviline v~oib leida kor- rektse t~ oestuse. ~ Oppevahendi eesm¨ argiks on tutvustada lugejat matemaatilise anal¨ uu ¨si p~ohit~odedega u ¨he muutuja funktsiooni korral. Matemaatiline anal¨ uu¨s on matemaatika osa, milles funktsioone ja nende u ¨ldistusi uuritakse piirv¨a¨artuste meetodil. Piirv¨a¨artuse m~oiste on tihedalt seotud l~ opmata v¨ aikese suuruse m~oistega. V~oib ka v¨aita, et matemaatiline
annaabi.ee 
