Taylori valem. Taylori valemi ja¨ akliige. ¨ Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. ~ Joone kumerus ja nogusus. Ka¨ anupunktid. ¨ Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 4 / 25 Integraalarvutus Ma¨ aramata ¨ integraal ja selle omadused. Ma¨ aramata ¨ integraalide tabel. Muutujate vahetus ma¨ aramata ¨ integraalis. Ositi integreerimine ma¨ aramata ¨ integraalis. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahutamine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. Trigonomeetriliste ja huperboolsete
integraal. 22).(Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks). Kui funktsioonide () ja () tuletised on integreeruvad lõigul [, ], siis = 1. Algfunktsiooni definitsioon. M¨a¨aramata integraali definitsioon. M¨a¨aramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali p¨o¨ordoperaator. 2. N¨aidata, et m¨a¨aramata integraal on lineaarne operaator. - 3. Ositi integreerimine m¨a¨aramata integraalis
(G(x) - F(x))' = G'(x) F'(x) = f(x) - f(x) = 0 iga x D korral. Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G - F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest v~ordusest saame seose G = F +C, mis n¨aitab, et G ikkagi avaldub kujul F + C. J~oudsime vastuolule. Teoreem on t~oestatud. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni f algfunktsioonide u¨ldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f m¨a¨aramata integraaliks ja t¨ahistatakse f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C - konstant Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on u¨ksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellu¨kke abil 34. Integraalide tabel. 1. dx = x + C , kuna (x + C)' = 1. 2. xa dx = x a+1 /(a+1) + C, kus a -1, Kuna (x a+1 /a+1 + C)'= (a + 1)* xa /a+1 = xa. 3.dx /x = ln|x| + C. 4
. . . 88 4.3 Funktsiooni suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmine l~oigul. . . . . . 92 4.4 Joone kumerus, n~ogusus ja k¨a¨anupunktid. . . . . . . . . . . . . . 92 4.5 Joone as¨ umptoodid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5 Integraalid 103 5.1 Algfunktsioon ja m¨a¨aramata integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Integraalide tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104 5.3 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aramata integraali aval- damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5
. . . 88 4.3 Funktsiooni suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmine l~oigul. . . . . . 92 4.4 Joone kumerus, n~ogusus ja k¨a¨anupunktid. . . . . . . . . . . . . . 92 4.5 Joone as¨ umptoodid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5 Integraalid 103 5.1 Algfunktsioon ja m¨a¨aramata integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Integraalide tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104 5.3 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aramata integraali aval- damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5
4), saame, et x F (x) - F (a) = f (t)dt a ja v~ottes viimases v~orduses x = b, tekib v~ordus b F (b) - F (a) = f (t)dt. (5.5) a Seega on m¨a¨aramata integraalist tuttav algfunktsioon sobiv vahend m¨a¨aratud integraali arvutamiseks ja saadud reegel on s~onastatav j¨argmiselt. Funkt- siooni f (x) m¨aa¨ratud integraal rajades a-st b-ni on v~ordne algfunktsiooni v¨a¨artuse kohal b ja algfunktsiooni v¨a¨artuse kohal a vahega. Arvutuste h~olbus- tamiseks kasutatakse kirjaviisi b F (b) - F (a) = F (x) .
Eeldame, et ϕ on ¨uks¨uhene ja diferentseeruv. T¨ahistame ϕ p¨o¨ordfunktsiooni ψ-ga. Siis x = ψ(u). Paneme kirja dx funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena: du = ψ’(u). Korrutades seda v˜ordust du-ga saame dx = ψ’(u)du . Kasutades valemeid neid valemeid saame integraali all suurused x ja dx asendada vastavate u-st s˜oltuvate suurustega. Erinevalt m¨a¨aramata integraalist, tuleb m¨a¨aratud integraali korral lisaks suurustele x ja dx asendada ka integreerimisl˜oik koos rajadega. Uus integreerimisl˜oik koosneb funktsiooni u = ϕ(x) v¨a¨artustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel ¨ule kogu esialgse integreerimisl˜oigu [a, b]. Uhtlasi on uue integraali alumine raja v˜ordne ¨ u v¨a¨artusega, mis vastab muutuja x v¨a¨artusele a ja ¨ulemine raja on v˜ordne u v¨a¨artusega, mis vastab muutuja x
Uli~ ¨lalnimetatud aegadel v¨ahemalt 80 punktile, on eksamil u ¨lesannetest vabastatud. Semestri jooksul toimub kolm kollokviumi (osaeksamit). Esimene - funktsioon, piirv¨aa¨rtus, pidevus (punktid 1 - 14) - 12. oktoobril 18.00 v~oi 10. oktoobril 14.00. Teine - funktsiooni tuletis, tuletise rakendusi (punktid 15 - 38) - 23. novembril 18.00 v~oi 28. novembril kell 14.00. Kolmas - m¨a¨aramata ja m¨a¨aratud integraal (punktid 39 - 58) - 21. detsembril kell 18.00. Kollokviumid on kirjalikud ja ei sisalda u ¨lesandeid vaid ainult teooriat. Vajaduse korral toimub kollokviumile j¨argnevas konsultasioonis t¨o¨o kaitsmine. Kui kollokvium on kirjutatud v¨ahemalt kuuele punktile ja u ¨li~opilane on tulemusega rahul, siis vastavaid teemasid eksamil ei ole. Konsultatsioonid toimuvad kolmap¨aeviti 14
annaabi.ee 
