0 < x - a < y 0: Lagrange' keskväärtusteoreemi põhjal x (a - ; a) leidub c (x; a) y = f (x) - f (a) = f '(c)(x - a) kuna x - a < 0, siis y 0 kui f '(c) 0 iga c (a - ; a). Analoogiliselt x (a; a + ) korral leidub c (a; x), nii et y = f (x) - f (a) = f '(c)(x - a) kuna x - a > 0, siis y 0 kui f '(c) 0 iga c (a; a + ). Seega on vajalik funktsiooni pidevus punktis a, tuletise olemasolu punktis a ei ole vaja. Analoogilselt on võimalik tõestada lokaalse miinimumi juhtum. 16. Lokaalse ekstreemumi piisavate tingimuste tuletamine. Kõrgemat järku tingimused ( f''(a) või f n+1(a) märk). Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused: Eesmärgiks on tuletada piisavaid tingimusi lokaalsete ekstreemumite olemasoluks. Selleks kasutame Lagrange' keskväärtusteoreemi ja Taylori valemit. *Lause (Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused)
12.Taylori valemi tuletamine, Taylori valem, Maclaurini valem. iga c ϵ(a;a + δ). Olgu y= f (x) mingis punkti a sisaldavas vahemikus n + 1 korda diferentseeruv. Leiame n-astme polünoomi, Seega on vajalik funktsiooni pidevus punktis a, tuletise olemasolu punktis a ei ole vaja. mis rahuldab tingimusi: Analoogilselt on võimalik tõestada lokaalse miinimumi juhtum. Pn(a)=f(a) 16. Lokaalse ekstreemumi piisavate tingimuste tuletamine. Kõrgemat järku tingimused P’n(a)=f’(a), ( f’’(a) või f n+1(a) märk).
rajad inf f(x) = M sup f(x) = M¯. x∈[a,b] x∈[a,b] Võime valida iga n∈N korral xn ∈ [a,b], nii et M¯ − 1/ n ≤ f(xn) ≤ M¯. Kuna xn ∈ [a,b], siis jada{xn}on tõkestatud. Tõkestatud jadast saame eraldada punktiks β koonduva osajada{xnj}. Minnes võrratustes M¯ − 1 / nj ≤ f(xnj) ≤ M¯ piirile, saame M¯ = f(β) = sup f(x). x ∈[a,b] Seega ülemine raja saavutatakse. (Analoogilselt näitame, et saavutatakse ka alumine raja.) 19 Näidata, et funktsioonil f(x) leidub tuletis punktis a parajasti siis, kui punkti a ümbruses f(x) on esitatav kujul (siin A = f' (a)) f(x) = f(a) + A(x−a) +o(x−a), kus lim o(x−a) / x−a = 0. x→a 20 Näidata, et mingis punktis diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis. f(x) ∈ D(x) => f(x) ∈ C(x) Tõestus: Funktsiooni diferentseeruvus punktis x tähendab, et ∃ f ' (x) = lim Δy / Δx
kuna x - a > 0, siis Δy ≤ 0 kui f ’(c) ≤ 0 iga c (a; a + δ). Seega on vajalik funktsiooni pidevus (𝑥 − 𝑎)3 (0 < 𝜃 < 1) muudab märki, sest esimene tegur ei muuda 3! 3! punktis a, tuletise olemasolu punktis a ei ole vaja. Analoogilselt on võimalik tõestada lokaalse märki, ent teine tegur (x-a)3 muudab. Seega on ühel pool punkti a jääkliige positiivne ja teisel miinimumi juhtum. pool negatiivne, st ühel pool punkti a on punktis a konstrueeritud puutuja allpool funktsiooni 16). (Lokaalsete ekstreemumite piisavate tingimuste tuletamine
Saame Y(Z) = Valime uue muutuja n=m-k, seega m=n+k; Y(z)= Viimases avaldises on moodustunud h[nT] ja u[kT] z-kujutise avaldised. Nüüd defineerime diskreetse impulsskaja z-kujutise diskreetseks ülekandefunktsiooniks Tulemusena saab avaldise 2.3.1 väljendada kujul Y(z)=H(z)U(z). Seega osutub diskreetaja süsteemi ülekandefunktsioon võrdseks väljund-ja sisendmuutujate z- kujutiste suhtega analoogilselt pidevaja süsteemi ülekandefunktsioonile. Et s-kujutistele vastavad avaldise 2.1.4 alusel z-kujutised, saame nullistel algtingimustel kujutisvõrrandid u(s)-+u(z) ja y(s)->y(z), siis peab kehtima ühene vastavus ka ülekandefunktsioonide jaoks Seega on võimalik antud süsteemi ülekandefunktsiooni tundes otseselt arvutada sama süsteemi diskreetne ülekandefunktsioon. Ka mõlema ülekandefunktsiooni poolused on täielikus vastavuses. 2
lähtudes diskreetse konvolutsioonisumma avaldisest. Saame Y(Z) = Valime uue muutuja n=m-k, seega m=n+k; Y(z)= Viimases avaldises on moodustunud h[nT] ja u[kT] z-kujutise avaldised. Nüüd defineerime diskreetse impulsskaja z-kujutise diskreetseks ülekandefunktsiooniks Tulemusena saab avaldise 2.3.1 väljendada kujul Y(z)=H(z)U(z). Seega osutub diskreetaja süsteemi ülekandefunktsioon võrdseks väljund-ja sisendmuutujate kujutiste suhtega analoogilselt pidevaja süsteemi ülekandefunktsioonile. Et s-kujutistele vastavad avaldise 2.1.4 alusel z-kujutised, saame nullistel algtingimustel kujutisvõrrandid u(s)-+u(z) ja y(s)->y(z), siis peab kehtima ühene vastavus ka ülekandefunktsioonide jaoks Seega on võimalik antud süsteemi ülekandefunktsiooni tundes otseselt arvutada sama süsteemi diskreetne ülekandefunktsioon. Ka mõlema ülekandefunktsiooni poolused on täielikus vastavuses.
Diskreetne ülekandefunktsioon: Leiame diskreetaja süsteemi väljundmuutuja z-kujutise, lähtudes diskreetse konvolutsioonisumma avaldisest. Valime uue muutuja n=m-k, seega m=n+k. Moodustusid h(nT)ja u(kT]) z-kujutise avaldised. Nüüd defineerime diskreetse mpulsskaja z- kujutise diskreetseks ülekandefunktsiooniks Tulemusena saame avaldise Y(z)=H(z)U(z). Seega osutub diskreetaja süsteemi ülekandefunktsioon võrdseks väljund-ja sisendmuutujate z-kujutiste suhtega analoogilselt pidevaja süsteemi ülekandefunktsioonile. z-kujutised, saame nullistel algtingimustel kujutisvõrrandid u(s)-+u(z) ja y(s)->y(z), siis peab kehtima ühene astavus ka ülekandefunktsioonide jaoks Seega on võimalik antud süsteemi ülekandefunktsiooni tundes otseselt arvutada sama süsteemi diskreetne ülekandefunktsioon, mõlema ülekandefunktsiooni poolused on täielikus vastavuses. Realiseeritavus ja hilistumine diskreetaja süsteemides: Ülekandefunktsiooni realiseeritavuse
~ ~ Tokestatud jadast saame eraldada punktiks koonduva osajada {xnj }. Minnes vorratustes ~ M - n1j f (xnj ) M piirile, saame M = f () = sup f (x). Seega x[a,b] ulemine ¨ ¨ raja saavutatakse. Analoogilselt naitame, et saavutatakse ka alumine raja. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 24 / 1 ~ Loigul pidevate funktsioonide omadusi Lause (Bolzano-Cauchy teoreem vahepealsetest va¨ artustest) ¨ ~ Loigul pidev funktsioon omab iga va¨ artust,
annaabi.ee 
