S abBA S b Joonisel 1 oleva kõverjoonse trapetsi abBA pindala ehk pindala võrdub xb pindfunktsiooni väärtusega kohal . y f x Eelnevalt punktis (1), näitasime valemiga, et pindfunktsioon on üks funktsiooni algfunktsioonidest. y F x y f x Olgu mingi algfunktsioon funktsioonile . Pindfunktsioon võib temast erineda ülimalt konstantse liidetava poolest: S x F x C xa Pindfunktsiooni väärtus korral on 0, xa S axXA 0
x 0 x Leidsime, et pindfunktsiooni tuletis võrdub pindala piirava kõvera lõppordinaadiga. 1 KÕVERJOONSE TRAPETSI PINDALA Kõverjoonse trapetsi abBA pindala S abBA = P ( b ) ehk pindala võrdub pindfunktsiooni väärtusega kohal x =b. Valem (1) näitab,et pindfunktsioon on üks funktsiooni y = f ( x ) algfunktsioonidest. Olgu y = F ( x ) mingi algfunktsioon funktsioonile y = f ( x ) Pindfunktsioon võib temast erineda ülimalt konstantse liidetava poolest P( x ) = F ( x ) + C Pindfunktsiooni väärtus x = a korral on 0, x=a S axXA = 0 P( a ) = 0 P( a ) = F ( a ) + C F ( a ) + C = 0 C = -F ( a ) Leidsime C väärtuse P( x ) = F ( x ) - F ( a ) (2) Kõverjoonse trapetsi abBA pindala valem S abBA = P( b ) = F ( b ) - F ( a ) (3)
x 0 x Leidsime, et pindfunktsiooni tuletis võrdub pindala piirava kõvera lõppordinaadiga. 1 KÕVERJOONSE TRAPETSI PINDALA Kõverjoonse trapetsi abBA pindala S abBA = S ( b ) ehk pindala võrdub pindfunktsiooni väärtusega kohal x =b. Valem (1) näitab,et pindfunktsioon on üks funktsiooni y = f ( x ) algfunktsioonidest. Olgu y = F ( x ) mingi algfunktsioon funktsioonile y = f ( x ) Pindfunktsioon võib temast erineda ülimalt konstantse liidetava poolest S ( x ) = F ( x ) +C Pindfunktsiooni väärtus x = a korral on 0, x =a S axXA = 0 S ( a) = 0 S ( a) = F ( a) + C F ( a) + C = 0 C = -F ( a ) Leidsime C väärtuse, pannes kokku saame S ( x ) = F ( x ) - F ( a ) (2) Kõverjoonse trapetsi abBA pindala valem S abBA = F ( b ) - F ( a ) (3)
Joonisel 1 oleva kõverjoonse trapetsi abBA pindala võrdub pindfunktsiooniga kohal , ehk S abBA S b . (T. Kraav) (2) y f x Eelnevalt punktis (1), näitasime valemiga, et pindfunktsioon on funktsiooni üks algfunktsioonidest y=F ( x) . Pindfunktsioon võib temast erineda ainuüksi konstantse liidetava C poolest, ehk S ( x ) =F ( x )+C . (3) Vaadeldes joonisel 1 S axXA ning selle pindfunktsiooni väärtus x a korral on 0, seega x=a → S axXA=0 S ( a )=0 S ( a )=F ( a ) +C F ( a )+C=0→ C=−F (a) Tänu sellele mõttekäigule leidsime C väärtuse, pannes kokku (2) valemiga leiame, et
n+1-kohaline f-n f on saadud n-kohalisest f.-nist g ning n+2-kohalisest f.-nist h
rekursioonioperaatori rakendamisel, kui iga xi ja y korral kehtivad võrdused:
f = R[g,h]:
f(x1,..,xn,0) = g(x1,..,xn)
f(x1,..,xn,y+1) = h(x1,..xn,y,f(x1,..,xn,y))
Algfunktsioonid:
On(x1,..,xn) = 0 (n-kohaline konstant)
s(x) = x+1
Inm (x1,..,xn) = xm (0
lim f ( ) Seega x = '(x) lim f ( ) Aga x on see funktsiooni väärtus, mille puhul = x, mis pole midagi muud kui funktsioon kohal x ehk f(x) , sest f(x) on pidev funktsioon. lim Seega '(x) = x f() = f(x) '(x) = f(x) M.O.T.T. Seega on (x) tõesti funktsiooni f(x) algfunktsioon, või õigemini üks paljudest algfunktsioonidest, mis erineb funktsiooonist F(x) kõige rohkem konstandi C võrra: (x) = F(x) + C Niisiis võib funktsiooni (x) definitsiooni põhjal kirjutada nõnda: Kui (x) = F(x) + C , x a siis F(x) + C = f(t) dt , kus, ärme unusta, muutuja t tähistab kõiki neid x väärtusi, mida saab võtta mis iganes lõigu [a; x
ja c ning c ja b, siis on ta integreeruv lõigus [a, b] ja Lause 12.7 - Kui f on lõigus [a, b] pidev funktsioon, siis leidub selline c ∈ (a, b), et Tõestada Newton-Leibnizi valem (järeldus 12.10) eelmise järeldusena Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b], siis (12.3) kus F on funktsiooni f suvaline algfunktsioon. Olgu F funktsiooni f mingi algfunktsioon. Teoreemi 12.8 kohaselt on ka G funktsiooni f üks algfunktsioonidest, seega G(x) = F (x) + C, kus C on mingi constant (vrd. alapunkt 8.1). Seosest G(a) =0 (vrd. kokkulepe (12.1)) järeldub, et C = −F (a) . Tähendab, G(x) = F (x) − F (a) iga x ∈ [a, b] korral, siit tulenebki võrdus (12.3). Teoreem 12.8 - Kui f on lõigus [a, b] pidev funktsioon, siis funktsioon G on lõigus [a, b] diferentseeruv ja G′ (x)=f (x) iga x∈ [a,b] korral.Teisisõnu, G on funktsiooni f algfunktsioon lõigus [a,b] Kokkulepe 12.1 - 8
algfunktsioonid saamegi ühteainsat üles-alla nihutades. 353 integraal ja tuletis Nüüd funktsiooni määramata integraal kogubki kõikvõimalikud vastused ehk teisisõnu algfunktsioonid ühte ja samasse avaldisse . Siin tähistab ühte võimalikest algfunktsioonidest ning suvalist konstanti. Määramata integ- raali tähiseks on integraali kõverik ilma ülemise ja alumise rajata. Seega kirjutak- sime: . Algfunktsioon ja määratud integraal Algfunktsioonide abil võiksime tegelikult defineerida ka määratud integraali.
annaabi.ee 
