ka funktsioon G(x) = x2 + C, kus C võib olla mis tahes reaalarv. Üldiselt, kui funktsioon y = F (x) on funktsiooni y = f (x) algfunktsiooniks piirkonnas X (st F (x) = f (x)), siis on selle funktsiooni algfunktsiooniks ka funktsioon G(x) = F (x) + C, kus C on mingi reaalarv, sest G (x) = F (x) + C = F (x) = f (x). Saab näidata, et funktsioon G(x) = F (x) + C kirjeldab kõiki antud funktsiooni y = f (x) algfunktsioone. Definitsioon 3.2 Funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka F (x) + C nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f (x)dx = F (x) + C. Definitsioonis 3.2 esinevaid sümboleid nimetatakse järgmiselt: - integraali märk x - integreerimismuutuja f (x) - integreeritav funktsioon
sest 1 ( 3 = 3 x x)' 2 3 ja ruutjuurealune x ei tohi olla null, sest vastasel juhul pole funktsioonid määratletavad. 2) MÄÄRAMATA INTEGRAAL Pole raske taibata, et ühel funktsioonil võib olla mitu, kui isegi mitte lõpmata hulk algfunktsioone. Uurime: On antud funktsioonid: Leiame nende kõikide tuletised: Kõikide ühine tulemus: x3 x 3 3 ' f(x) = 3 = x2 2
Avaldist F(x)+C, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶, 𝑘𝑢𝑠 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) Teoreem 1: Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, s.t. F’(x) = f(x), siis on seda ka iga funktsioon F(x) + C, kus C on konstant. Seega on funktsioonil f(x) terve pere (lõpmata palju) algfunktsioone, mis geomeetriliselt saadakse mingi algfunktsiooni graafikust paralleellükkega C võrra y-telje sihis. Teoreem 2: Igal funktsioonil, mis on pidev lõigus [a, b], on olemas algfunktsioon selles lõigus. 31. Kõvertrapetsi pindala leidmise ülesanne. Määratud integraali mõiste. Tähistus. Geomeetriline tähendus. Kõvertrapetsi pindala leidmine: Vaatleme lõigus [a, b] pidevat funktsiooni y = f(x), kusjuures eeldame, et f(x) ≥ 0.
INTEGRAALARVUTUS MÄÄRAMATA INTEGRAAL Def Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Näide: Funktsiooni y = 2 x algfunktsioon on y = x 2 , sest ( x 2 ) = 2 x . Antud funktsioonil on mitu algfunktsiooni, sest kui F ( x ) = f ( x ) , siis [ F ( x ) + C ] = F ( x ) = f ( x ) , kus C on suvaline konstant. Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f ( x ) algfunktsiooniks on kõik funktsioonid y = F ( x ) + C . Teoreem: Antud funktsiooni mistahes kaks algfunktsiooni võivad teineteisest erineda ülimalt konstantse liidetava poolest: Tõestus: Olgu y =F 1 ( x ) ja y =F 2 ( x ) suvalised kaks algfunktsiooni funktsioonile y = f ( x ) . Siis algfunktsiooni definitsiooni kohaselt: F1( x ) = f ( x ) ; F2( x ) = f ( x )
2. Avaldame avaldisest g(x;y)=0 ühe muutuja (see pole aga kahjuks alati võimalik) ja asendame ta z = f(x, y) avaldisse, nii on tagatud , et g(x;y)=0 ja lisaks saime z avaldisest ühe muutuja kõrvaldada ning saame ülesande lahendada. Integraal Algfunktsiooni ja määramata integraali mõiste- Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks nimetatakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks. Integraali seos tuletisega- Integreerimine on tuletise vastandtehe, seega kui tuletis 2x2-2x on 4x-2 , siis integraal 4x-2 on 2x2-2x+c. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava.
2. Avaldame avaldisest g(x;y)=0 ühe muutuja (see pole aga kahjuks alati võimalik) ja asendame ta z = f(x, y) avaldisse, nii on tagatud , et g(x;y)=0 ja lisaks saime z avaldisest ühe muutuja kõrvaldada. Esimest meetodit nimetatakse Lagrange kordajate meetodiks. Integraal Algfunktsiooni ja määramata integraali mõiste. Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatkse niisugust funktsiooni y=F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F´(x)=f(x) Algfunktsioone võib olla palju sest suvalist konstanti C, ei tea. Funktsiooni y=f(x) määramata integraaliks nimetakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsioonif(x) algfunktsioon ja c konstant , mida nimetatakse inegreerimiskonstandiks. Integraali seos tuletisega Integreerimise põhivalemid saadakse tuletiste põhivalemite taguspidi rakkendamisel. Nende kontrollimiseks tuleb leida parema poole tuletis, mis peab võrduma integraalialuse funktsiooniga.
INTEGRAALARVUTUS MÄÄRAMATA INTEGRAAL Def Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Näide: Funktsiooni y = 2 x algfunktsioon on y = x 2 , sest ( x 2 ) = 2 x . Antud funktsioonil on mitu algfunktsiooni, sest kui F ( x ) = f ( x ) , siis [ F ( x ) + C ] = F ( x ) = f ( x ) , kus C on suvaline konstant. Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f ( x ) algfunktsiooniks on kõik funktsioonid y = F ( x ) + C . Teoreem: Antud funktsiooni mistahes kaks algfunktsiooni võivad teineteisest erineda ülimalt konstantse liidetava poolest: Tõestus: Olgu y =F 1 ( x ) ja y =F 2 ( x ) suvalised kaks algfunktsiooni funktsioonile y = f ( x ) . Siis algfunktsiooni definitsiooni kohaselt: F1( x ) = f ( x ) ; F2( x ) = f ( x )
Algfunktsioon ja määramata integraali mõiste Definitsioon: Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks piirkonnas X, kui selles piirkonnas F ( x ) = f ( x ) . Sama tingimuse võib esitada ka kujul F ( x ) = f ( x ) ehk dF ( x ) = f ( x )dx . d dx Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F, siis on tal lõpmata palju algfunktsioone G, mis kõik avalduvad kujul G ( x ) = F ( x ) + C , kus C = const . Definitsioon: Funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka piirkonnas X nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks piirkonnas X ja tähistatakse sümboliga f (x )dx . Seega võime kirjutada: f (x )dx = F (x ) + C , kui F ( x ) = f (x ) .
= |y|. h h Kuna funktsioon f on pidev, siis y 0, kui h 0 ja me saame, et A(x + h) - A(x) R(x) f (x) = lim f (x) = lim - lim = A (x). h0 h0 h h0 h Märkus 10.2 Teoreemist 10.5 ja algfunktsiooni definitsioonist järeldub, et funktsioon x G(x) = f (t) dt on funktsiooni f üks algfunktsioone, mistõttu pideva a funktsiooni f suvaline algfunktsioon F avaldub kujul x F (x) = G(x) + C = f (t) dt + C (10.10) a ning määramata integraali saab kirja panna järgmiselt: x f (x) dx = f (t) dt + C. (10.11)
Algfunktsioon ei ole u ¨heselt m¨a¨aratud, sest n¨aiteks peale funktsiooni sin x on cos x algfunktsioonideks ka sin x + 2, sin x - ja igasugune avaldis kujul sin x + C, kus C on suvaline konstant. ¨ Uldjuhul, kui funktsiooni f (x) algfunktsiooniks on F (x), siis on f (x) algfunktsiooniks ka avaldis kujul F (x) + C, kus C on suvaline konstant. Tekib k¨ usimus, kas funktsioonil f (x) on veel muid algfunktsioone, mis ei avaldu kujul F (x) + C. Sellele annavad vastuse kaks j¨argmist lauset. Lause 1.1. Kui F (x) = 0 piirkonnas X, siis F (x) on selles piirkonnas konstantne. T~oestus. Fikseerime u¨he punkti x X. Kasutades Lagrange'i teoreemi, v~oime suvalise x korral kirjutada (eeldusel, et ka x + x X ), et F (x + x) - F (x) = F ()x, kus X on mingisugune v¨a¨artus x ja x + x vahel. Et eelduse kohaselt funktsiooni F (x)
annaabi.ee 
