ortotsenter - K Huvitavad punktid kolmnurgas II seeria • Gergonne’i punkt • Nagel’i punkt • Isoperimeetriline punkt • Spieker’i punkt • Torricelli punkt • Fermat’ punkt Gergonne’i punkt Joseph Diaz Gergonne [žergon] (19.06.1771 – 04.05.1859) – prantsuse astronoom ja matemaatik. Töötas 1795 – 1815 Niemes’i tsentraalkooli ja aastast 1816 Montpellier’i ülikooli professorina. Matemaatikas töid algebrast (lineaarvõrrandite teooria, kombinatoorika) ja geomeetriast (kolmnurga geomeetria, 1827 andis joonte klassifikatsiooni). Gergonne’i punkt - E Kolmnurga siseringjoone ning külgede puutepunkte vastastippudega ühendavate sirgete lõikepunkt. Nagel’i punkt Christian August Nagel (17.05.1821 – 23.10.1903) – saksa geodeet ja matemaatik. Matemaatilised tööd peamiselt geomeetrias (kolmnurga Nageli punkti defineeris 1836).
põhimõttel, et võimalikult väikese vaevaga ja kulutustega saada selge ülevaade majandusüksuse varadest ja tegevustest. Teadaolevalt oli Luca Pacioli meesterahvas. Ainsad pildiotsingu tulemused temast ei paistnud sugugi selle kirjeldusele sarnased olevat, mis tänapäeva lumpeni maailmavaates võib eksisteerida blond, geelküüned, kontsad... On selge, et tegu oli äärmiselt targa ja auväärse isikuga, kes on koostanud 300 leheküljelise raamatu aritmeetikast, algebrast ja geomeetriast. Ilmselgelt aga polnud selles raamatus sõnagi juttu meie tänapäevaeluks äralihtsustatud ja mugandatud arvelduse viisiks loodud Exceli programmist, kuid ma ei imesta, kui tema teosest võivad pärineda pidepunktid selle loomisel. KASUTATUD KIRJANDUS 1. Alver, L., Alver, J. 2009 Finantsarvestus. Tallinn. Deebet
Lõpuks suudeti valgete hunnide vallutustele vastu hakata ja piir panna, aga riik jäi sajanditeks veel purunenuks. Indias hakkas esinema kaks religiooni, nendeks oli hinduism, mida esines rohkem ja budism, mida esines vähem. Küll aga tekkisid budistlikud kloostrid, kus õpetati peale budistlike tõdede veel astronoomiat, matemaatikat, arhitektuuri ja palju teisi teadusharusi. Esimese aastatuhande teisest veerandist on pärit mõningad tähtteosed ja siis kirjutati ka esimene raamat algebrast (matemaatika haru, mis uurib tehteid ja omadusi). Tänu araablastele, kes tõlkisid India rahvaste tööd araabie keelde, tänu sellele said paljud India teosed tuntuks Euroopas. II aastatuhande algul ründasid Indiat Afganistani muhameedlased, kelle juhiks oli Muhammad Ghuri ja kes 1193. aastal tegi otsustava võidu hindude üle. Tal oli veel ka järeltulija, kes vallutas kogu Põhja-India ja võttis endale sultani tiitli ja otsustas valida pealinnaks parema nime, milleks tuli Delhi
matemaatika osa, mis uurib statistiliste andmete kogumise, süstematiseerimise, töötlemise ja statistiliste järelduste tegemise meetodeid. Matemaatilise statistika eesmärgiks on statistiliste seaduspärasuste avastamine ja kirjeldamine. 2. Defineerige sündmuste algebra. Tooge vähemalt 2 sündmuste algebra mittetriviaalset näidet Sündmuste algebra koos tema määratud tõenäosusmõõduga moodustavad tõenäosusruumi. Mõnikord on kasulik sündmuste sigma-algebrast mõelda ka kui informatsioonist selle kohta, millistesse Ω alamhulkadesse kuulumist suudab vaateleja temale antava (sageli osalise) informatsiooni põhjal kindlaks teha. Mida rohkem informatsiooni vaatelja katsetulemuse kohta saab, seda rohkem hulki sisaldab ka vastav sigma-algebra. Klassi F0 nimetatakse sündmuste algebraks, kui: 1) ∅,Ω ∈ F0 (Ω < ∞; Ω – elementaarsündmuste ruum ehk hulk, mille elementideks on juhusliku katse kõikvõimalikud tulemused)
eakohasemate lõbustustega, siis kolis Pascal 1647 aastal tagasi Pariisi. Parku ei andnud see kolimine tulemusi kuna Pariisis proovitud hasartmängud tekitasid temas hoopis huvi tõenäosusteooria vastu. 1651 aastal suri Blaise`i isa, peale mida asus õde Jaqueline elama kloostrisse. Õde tegi kõik, et ka vend kloostrisse asuks. Kuid Pascal pühendus uuesti teadustööle, kirjutades töid matemaatikast, peamiselt algebrast ja arvuteooriast. 3 Teaduse ja poliitika filosoofia kodutöö 1653 aastal tutvus ta hertsog de Roannez ja tema õe Charlottei`ga. Ilmselt tekkis Blaise`i ja Charlotte vahel armulugu, kuna sel perioodil oli Pascalil plaanis osta amet ja abielluda. Selle plaani rikkus ära hobuõnnetus 1653 aastal kust Pascal pääses napilt eluga. Seda pääsemist
….. 33 3.18 Kõrgema astme võrratus ……………………………………………. 34 3.19 Absoluutväärtusi sisaldavad võrratused ………………………...…… 35 3.20 Näited võrratuste ja võrratussüsteemide lahendamisest …………..… 35 3.21 Logaritmid ………………………………………………………..…. 41 3.22 Summa märk ………………………………………………….……. 44 3.23 Ülesanded aritmeetikast ja algebrast …………...………………..….. 46 1 1. ARVUHULGAD Positiivsed täisarvud ehk naturaalarvud tekkisid vajadusest loendada esemeid. Kõik naturaalarvud moodustavad naturaalarvude hulga ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; ...} . Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. Naturaalarvude hulk muutub kinniseks lahutamise suhtes, kui teda täiendada arvude 1, 2, 3, ... vastandarvudega -1, -2, -3, ... .
sajandi lõpuks. Kaasaegsele loogikale pandi alus seega märgatavalt hiljem kui kaasaegsele matemaatikale. 2.4.1 George Boole ja Augustus de Morgan Inglise matemaatiku George Boole'i (1815-1864) kaks peamist loogika-alast tööd on Loogika matemaatiline analüüs aastast 1847 ja Mõtlemise reeglid aastast 1854. Eriti esimene neist avaldas suurt mõju loogika järgnevale arengule. Nimelt rakendas Boole värskeid ideid matemaatilisest algebrast otse loogikale, ehitades üles loogika algebra, mida sageli nimetataksegi Boole'i algebraks Kaugemaks eesmärgiks pidas Boole nagu Leibnizki loogika keele väljaarendamist ja "mõtlemise aritmeetika" ehitamist. Erinevalt Leibnizist ja teistest varasematest loogikutest andis Boole süsteemse, matemaatilise kuju niisuguse keele baasfragmendile - lausearvutusele. Nagu öeldud, annab Boole' algebra lausearvutusele süstemaatilise, kuid mitte veel rangelt aksiomaatilise kuju. Samuti ei
kontaktivabade lülituste kirjeldamisel ja projekteerimisel kasutatav relee- ehk lülitus- algebra. Et mõlema esituse vahel valitseb tihe analoogiaseos, siis tõlgendatakse piltlikkuse huvides tihti releealgebra seoseid formaalloogikast võetud mõistete ja terminite najal. Seetõttu ei tehta ka Boole´i algebra ja loogikaalgebra vahel sageli selget vahet. Loogikaalgebra matemaatiline aparaat on sisuliselt eriliiki algebra teheteks muutujatega, millel erinevalt reaalarvude algebrast saab olla ainult kaks väärtust. Need on kahendmuutujad ehk Boole´i muutujad ja nende eri väärtusi tähistatakse sümbolitega ,,0" ja ,,1". Kahendmuutujatega Boole´i algebra on universaalne ning rakendatav kõikjal, kui mingid suurused, nähtuste või protsesside parameetrid jms võivad omada ainult kaht üksteisest erinevat väärtust. Releelülituste kirjeldamisel on kahendmuutujaks mingi elektriahela olek (ahel võib olla lahutatud või suletud),
asu, siis lahendeid polegi. Ka seekord saab determinandi abil lahendidki kirja panna, selle jätame aga huvilis- tele nuputada. 162 163 maatriks võrrand 164 võrrand osa 4 VÕRRAND JA VÕRRATUS 165 võrrand 166 võrrand Mees, kes teab kõike algebrast, on sageli siiski loru, kui see ongi kõik, mida ta teab. Frederich Suur 167 VÕRRAND võrrand Võrrand aitab täpselt ja matemaatiliselt kirja panna teatavaid tingimusi. See on looduse ja ümbritseva kirjeldamise esimene etapp – maailma matemaatilistesse seostesse surumine. Oletame näiteks, et tahame ehitada uut lauluväljakut. Kõige olulisem on ehituse
• Õpilasi ergutades võib kasu olla ka sellest, kui tunnustada nende jõupingutusi, heitlusi ja Õpilase tööle märkusi tehes olge ka tundlik asjaolu suhtes, et see on tema töö (vältige edusamme (eriti kui õpilane viriseb: „See on liiga raske ...“): „Jaa, savi vormimine lamedaks kommentaaride või tagasiside kirjutamist üle terve lehe). Pealetükkimatu parandamine näitab, kujundiks võib olla üsna keeruline...“; „Mul võttis hulk aega, enne kui ma algebrast aru et te hoolite õpilase lõpptulemusest (lk 133). hakkasin saama, David. Sellest mõistest pole lihtne sotti saada... “, „Ma mäletan, kuidas sa sellega hädas olid... vaata, kui kaugele sa oled jõudnud...“. • Vanemate õpilaste puhul (teisest kooliastmest alates) võib ilmneda kalduvus tunda end
..." XXII. Hoopis teist laadi mees oli matemaatika-õpetaja Kurlov. Tema ei kaldunud kunagi asjast kõrvale, ei lausunud kunagi asjata sõna. Nagu aurugrammofon võristas ta musta tahvli ees seistes kriiskaval häälel arvusid ja valemeid, kirjutades ja kustutades. Nõnda vältas see tunnist tundi peaaegu kogu poolaasta, ilma et ta kunagi oleks küsinud, kas temast midagi aru ka saadakse või mitte. Alguses imestasid õpilased, kui soravalt võib algebrast ja geomeetriast rääkida, aga siis tülpisid nad kuulamast ja hakkasid elama oma elu. Nõnda poolaasta lõpuni. Siis hakkas õpetaja äkki küsima ja nüüd lendasid kahed, ühed, nullid, eriti just need viimased kaks, sest midagi ei armastanud härra Kurlov nii väga kui just ühte ja nulli. Tema ülesandedki, mis ta luges väikeselt lehekeselt ette, leidsid oma lahenduse ikka kas ühes või nullis. Ja õndsa naeratusega ütles ta õpilastele:
annaabi.ee 
