rühmateooria tundmist. Juba 16. sajandil oli tõestatud, et teise, kolmanda ja neljanda astme algebralised võrrandid on radikaalides lahenduvad. Niels Abel uuris neid ja otsis lahendusi, kas samamoodi lahenduvad ka kõik viienda astme võrrandid. Abel leidis, et mõnda viienda astmelist valemit ei saa niimoodi lahendada, näiteks x 5 x + 1 = 0. Aga mõned valemid saavad olla radikaalidega lahendatud, nagu x 5 x4 x +1 = 0. Tänapäeva moodsas algebras me ütleme, et teise, kolmanda ja neljanda astme polünoomsed võrrandid on alati lahendatavad radikaalidega sest sümmetrilised grupid S2, S3 and S4 on lahendatavad grupid, kuigi Sn ei ole lahendatav kui n5. Niels Abel oli ka üks elliptiliste funktsioonide teooria rajajaid. Aastal 1823 avaldas ta Norra teadusajakirjas mõningaid artikleid, millest üks sisaldas integraalvõrrandite lahendust. Samal aastal kirjutas ta prantsuskeelse töö ,,kõikvõimalike
,,Kalevipoega", mille ta tõstis endale reaalkooli IV klassis. Maailmakirjandusest oli ta vangistatud Cervantese ,,Don Quijote'st" ja Rabelais ,,Gargantua'st". Suure huviga luges Luts ka Dickensi, Kiplingi, Maupassant'i ja Hamsuni teoseid, kuivõrd need olid talle kättesaadavad saksa- ja venekeelses tõlkes. Kirjandus, keeled, ajalugu, loodusteadus - need olid reaalkoolis Lutsu lemmikained, milles ta osutas kõigis klassides häid teadmisi. Kuid matemaatikas, eriti algebras, ei tahtnud ta vedu võtta. Neljanda klassi lõpetamisel määrati talle eksam algebras, mille õiendamine sügisel ebaõnnestus. Härra Rastorgujevi eestkostel sai ta reaalkooli neljanda klassi lõputunnistuse. Nii lahkus 1902. a. sügisel Luts lõplikult koolist ja hakkas eratundidel ladina keelt tuupima, et pääseda apteekriametisse. Loomingu algusaastad Õiendanud eksternina ladina keele eksami Aleksandri gümnaasiumi juures ümmargusele viiele, võeti ta Tartu
tõene. e.iii. Tõestus. https://moodle.ut.ee/mod/url/view.php?id=78717 lk 14. 4) a. Valemeid ja nimetatakse samaväärseteks, kui nende tõeväärtused on võrdsed igal neis valemeis esinevate muutujate väärtustusel. b. Põhisamaväärsused. https://moodle.ut.ee/mod/url/view.php?id=78717 lk 22. c. Samaväärsuste kasutamine teisendustes seisneb valemi mingi osavalemi asendamises temaga samaväärsega. Nagu algebras, säilitab selline osavalemi asendamine ka siin samaväärsuse ka terve valemi jaoks. d. Teoreem. Iga lausearvutuse valemi jaoks leidub temaga samaväärne valem, mis ei sisalda muid tehtemärke, kui d.i. ¬, &; d.ii. ¬, ; d.iii. ¬, . e. Tõestus. Kolm ülejäänud tehet saab avaldada antud komplekti kaudu. 5) a. Ütleme, et valemitest 1, 2,..., n järeldub valem , kui igal neis valemeis
(muutuja võib omada erinevaid väärtusi), konstant on sümbol, mis on mõeldud mingi kindla objekti märkimiseks, avaldis on eeskiri, mis määrab konstantide ja muutujatega sooritatavad tehted ning tehete järjekorra. Lauseloogikas on kasutusel kaks algebrat, mis kuuluvad Boole'i algebrate klassi: tõeväärtuste algebra ja lausearvutuse algebra. Boole'i algebra lihtsat erijuhtu, mida esindab kahe tõeväärtusega Boole'i algebra, nimetatakse ka loogikaalgebraks. Tõeväärtuste Boole'i algebras (loogikaalgebras) on kandvaks hulgaks tõeväärtuste hulk {tõene, väär} ehk {1,0}, lausearvutuse algebras on kandvaks hulgaks lausete hulk. Loogikaalgebras on tehete operandideks tõeväärtused ja tehete tulemiteks on samuti mingid tõeväärtused, teisiti öeldes: loogikaalgebra tehted on defineeritud tõeväärtuste hulgal. D7.2.1. Loogikaalgebra tehe on tõeväärtuste hulgal {tõene, väär} defineeritud tehe. 3
Milline võre on tõkestatud? 26. Milline võre on distributiivne? 27. Mis on võreelemendi täiend? Kuidas teda tähistatakse? 28. Mitu täiendit saab olla tõkestatud distributiivse võre igal elemendil? 29. Milline võre on täienditega võre? 30. Milline võre on Boole’i algebra? Tuua näiteid Hasse diagrammidena? Boole’i algebrad on tõkestatud, distributiivsed ja täienditega võred. 31. Milliseid osalise järjestussuhte elemente nimetatakse aatomiteks?` 32. Kuidas on Boole’i algebras tema kõik elemendid aatomite kaudu esitatavad? Graafid 1. Mis on graaf? Millest graaf koosneb? Graaf on objektidevaheliste seoste joonismudel. Graaf koosneb kahte tüüpi elementidest: tippudest ja neid ühendavatest kaartest. 2. Mille poolest erinevad orienteeritud graaf ja orienteerimata graaf? Orienteeritud graafi kõik kaared on suunatud ja neid esitatakse graafi joonisel nooltega, orienteerimata graafi kõik kaared on
(muutuja võib omada erinevaid väärtusi), konstant on sümbol, mis on mõeldud mingi kindla objekti märkimiseks, avaldis on eeskiri, mis määrab konstantide ja muutujatega sooritatavad tehted ning tehete järjekorra. Lauseloogikas on kasutusel kaks algebrat, mis kuuluvad Boole'i algebrate klassi: tõeväärtuste algebra ja lausearvutuse algebra. Boole'i algebra lihtsat erijuhtu, mida esindab kahe tõeväärtusega Boole'i algebra, nimetatakse ka loogikaalgebraks. Tõeväärtuste Boole'i algebras (loogikaalgebras) on kandvaks hulgaks tõeväärtuste hulk {tõene, väär} ehk {1,0}, lausearvutuse algebras on kandvaks hulgaks lausete hulk. Loogikaalgebras on tehete operandideks tõeväärtused ja tehete tulemiteks on samuti mingid tõeväärtused, teisiti öeldes: loogikaalgebra tehted on defineeritud tõeväärtuste hulgal. D7.2.1. Loogikaalgebra tehe on tõeväärtuste hulgal {tõene, väär} defineeritud tehe.
8. Distributiivsusseadus (sulgude avamise seadus). Argumentide loogilist summat võib loogiliselt korrutada argumendiga a või korrutada esmalt kõiki argumente a-ga ning seejärel need korrutised loogiliselt liita. Argumentide loogilisele korrutisele võib liita argumendi a või esmalt liita loogiliselt kõikidele argumentidele a ning seejärel need 20 summad loogiliselt korrutada. Kui esimene teisendus vastab sulgude avamisele arvude algebras, siis teine on rakendatav üksnes loogikaalgebras 9. Absorbtsiooni- ehk neelduvusseadused. Kui kahe argumendi loogilist summat, kus üheks argumendiks on a, korrutada sama argumendiga a, siis teine argument neeldub ning tulemiks on samuti a. Sama kehtib ka siis, kui korrutatavaid summasid on rohkem ning kui kõigis neis sisaldub ühe argumendina a. Seadus on rakendatav nii summade korrutiste kui ka korrutiste summade kohta. Kui osasummas või osakorrutises sisaldub
· B7 ={ f6 , f13 } Teisendus sellesse baassüsteemi on eelneva põhjal iseseisvaks tööks. · B8 ={ f1 , f6 , f15 } Read-Mülleri ehk Zhegalkini baasile vastab algebra, kus kehtivad järgnevad seosed: Kommutatiivsus: x1 x2 = x2 x1 Distributiivsus: x1 & (x2 x3 )= x1 x2 x1 x3 x1 (x2 x2 ) = x1 Teisendusel kasulikud abivalemid: x = x 1 x1 x2 = x1 x2 x1 x2 Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 x2 x3 x1 x3 x2 x3 x1 x3 Kui vaadeldavas algebras analoogiliselt eelmise näitega avada sulud, saame normaalkuju sarnase avaldise, kus disjunktsiooni asemel kasutatakse funktsiooni ja puuduvad argumentide inversioonid. See on loogikafunktsiooni Read-Mülleri polünoom. · Iga loogikafunktsiooni jaoks eksisteerib täpselt 1 Read-Mülleri polünoom (analoogiliselt täielike DNK ja KNK-ga). Märgime, et kui fi & fj = 0, siis fi fj = fi fj . See seos annab võimaluse meile tuntud
B8 ={ f1 , f6 , f15 } 27 Read-Mülleri ehk Zhegalkini baasile vastab algebra, kus kehtivad järgnevad seosed: Kommutatiivsus: x1 x2 = x2 x1 Distributiivsus: x1 & (x2 x3 )= x1 x2 x1 x3 x1 (x2 x2 ) = x1 Teisendusel kasulikud abivalemid: x x 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 x2 x3 x1 x3 x2 x3 x1 x3 Kui vaadeldavas algebras analoogiliselt eelmise näitega avada sulud, saame normaalkuju sarnase avaldise, kus disjunktsiooni asemel kasutatakse funktsiooni ja puuduvad argumentide inversioonid. See on loogikafunktsiooni Read-Mülleri polünoom. Iga loogikafunktsiooni jaoks eksisteerib täpselt 1 Read-Mülleri polünoom (analoogiliselt täielike DNK ja KNK-ga). Märgime, et kui fi & fj = 0, siis fi fj = fi fj . See seos annab võimaluse meile tuntud
F → G ≡ ¬(F & ¬G), F → G ≡ ¬F ∨ G. o Konjunktsiooni ja disjunktsiooni avaldis implikatsiooni kaudu: F & G ≡ ¬(F → ¬G), F ∨ G ≡ ¬F → G. o Ekvivalentsi avaldis teiste tehete kaudu: F ↔ G ≡ F & G ∨ ¬F & ¬G, F ↔G ≡ (F → G) & (G → F Valemite teisendamine samaväärsuste abil 6 Samaväärsuste kasutamine teisendustes seisneb valemi mingi osavalemi asendamises temaga samaväärsega. Nagu algebras, säilitab selline osavalemi asendamine ka siin samaväärsuse ka terve valemi jaoks. Peamised kujud, millele teisendatakse, on: ○ esitused kahe tehte kaudu ○ nn normaalkujud Teoreem piisavatest tehete komplektidest Iga lausearvutuse valemi jaoks leidub temaga samaväärne valem, mis ei sisalda muid tehtemärke kui: ○ ¬, & ○ ¬, ∨ ○ ¬, → Tõestus: kolm ülejäänud tehet saab avaldada antud komplekti kaudu 5. Järeldumine
keerukusklasse!) .Kui tõestust ei ole, siis tõestaja enamasti jääbki seda otsima, teadmata, et sellist tõestust ei saa olla. .Tõestajate igaastased võistlused CASC: .http://www.cs.miami.edu/~tptp/CASC/ .Gandalf: .Tammeti tõestaja, mitmelaastalvõitnud mõne CASC kategooria .http://www.ttu.ee/it/gandalf/ ITK 2007, Kalev Pihl Sissejuhatus informaatikasse 19 Näide: masinaga lahendatud matemaatikaprobleem W. McCune 1996: .The Robbins problem---are all Robbins algebras Boolean?-has been solved using his automated theorem prover EQP. .Programm otsis lahendust ca üks nädal, kuni lõpuks leidis .Ülesanne oli matemaatikute poolt lahendamata, kuigi püstitati aastal 1933: .Meil on antud Robbinsi algebra: x + y = y + x. [commutativity] (x + y) + z = x + (y + z). [associativity] n(n(x + y) + n(x + n(y))) = x. [Robbins equation] .Kas järgmised võrdused annava selle algebra jaoks vastuolu: x+y != x. n(x+y) != n(x). ITK 2007, Kalev Pihl
16) 8. Distributiivsusseadus (sulgude avamise seadus). Argumentide loogilist summat võib loogiliselt korrutada argumendiga a või korrutada esmalt kõiki argumente a-ga ning seejärel need korrutised loogiliselt liita. Argumentide loogilisele korrutisele võib liita argumendi a või esmalt liita loogiliselt kõikidele argumentidele a ning seejärel need summad loogiliselt korrutada. Kui esimene teisendus vastab sulgude avamisele arvude algebras, siis teine on rakendatav üksnes loogikaalgebras a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c; 22 a + b ⋅ c = (a + b ) ⋅ (a + c ). (1.17) 23 9. Absorbtsiooni- ehk neelduvusseadused. Kui kahe argumendi loogilist summat, kus üheks argumendiks on a, korrutada sama argumendiga a, siis teine argument neeldub ning tulemiks on samuti a. Sama kehtib ka siis, kui korrutatavaid summasid
annaabi.ee 
