omaduse 2 põhjal muutub tema märk vastupidiseks. Seega D = - D , 2 D = 0 ja D = 0 . Omadused 4 ja 5 järelduvad summa märgi omadustest. Omadus 4. Determinandi mis tahes rea (või veeru) arvudest võib ühise teguri tuua tegurina determinandi märgi ette. Omadus 5. Kui determinandi D mingi rea, näiteks k-nda rea arvud ak1 , ak 2 , ... , akn avalduvad kahe liidetava summana ak1 = b1 + c1 , ak 2 = b2 + c2 , ... , akn = bn + cn , siis determinant D avaldub kahe determinandi summana: a11 L a1n a11 L a1n a11 L a1n a11 L a1n M O M M O M M O M M O M
rida ja n veergu. NT filmilint, male- ja kaberuudud. Maatrikselemendid on elemendid, millest maatriks koosneb. Ai-reaindeksj- veeruindeks I= 1, 2, .....m j= 1, 2, ......n A=( a11 a12 a13 ....a1n) ( a21 a22 a23....a2n) ( a31 a32 a33 ....a3n) m=n (ruutmaatriks) nxn n2- maatriks mn (ristkülikmaatriks) Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a11 ; a22 ; a33 ..... akk nimetatakse maatriksi peadiagonaaliks. Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a1n ; a2n-1 ; a3n-2 .... akn(k-1) nimetatakse maatriksi kõrvaldiagonaaliks. a11 priviligeeritud element. Tehted maatriksiga Def 2 : maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad on sama järku ( ühepalju ridu ja veerge) ja nende kõik vastavad elemendid on võrdsed . A: (pxq) B: (rxs) p=r q=s Def 3 : (mxn) järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku numbrite A + B, mille elemendiks on lähte maatriksite kõigi vastavate elementide summa. A+B=(aij + bij) A,B; A+B Mmxn
veergude kohta 2. Kui determinandil D = detA vahetada omavahel kaks rida (või veergu), siis saadud determinandi väärtus on -D 3. Kui determinandi kaks rida (või veergu) langevad omavahel kokku, siis selle determinandi väärtus võrdub nulliga 4. Determinandi mis tahes reast või mis tahes veerust võib ühise teguri determinandimärgi ette tuua; |cA| = cn|A| 5. Kui determinandi D mingi rea, näiteks k-nda rea arvud a k1, ak2, ..., akn avalduvad kahe liidetava summana ak1 = b1 + c1, ak2 = b2 + c2, ..., akn = bn + cn, siis determinant D avaldub kahe determinandi summana (kõik avaldises esinevad determinandid erinevad ainult k-nda rea poolest). Analoogiline väide kehtib ka determinandi D veergude jaoks 6. Determinandi väärtus ei muutu, kui selle mis tahes reale (veerule) liita juurde suvalise skalaarikordne mingi teine rida (veerg) 7. Determinandi arendis rea või veeru järgi: A ij = (-1)i+j Mij (elemendile aij
mendid on paigutatud (korrastatud) ridadeks ja veergudeks. Olgu aij R ning i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , n. Need arvud paigutame maatriksisse A j¨argmiselt: a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A := . .. := (aij ) .. .. .. . . . ak1 ak2 . . . akn Elemendis aij n¨aitab esimene indeks (i) rida (reaindeks), teine in- deks (j) osutab veergu (veeruindeks), kus element aij asetseb. Ar- vupaari k × n := (k, n) nimetatakse maatriksi A j¨ arguks. Selguse huvides v~oib maatriksi j¨arku n¨aidata ka t¨ahistuses, nt (aij )k × n . Kui k = n, siis ¨oeldakse, et A on ruutmaatriks. Ruutmaatriksi j¨arguks nimetame lihtsalt selle maatriksi ridade (ehk veergude) ar- vu. Elementide j¨arjendit a11 , a22 , . .
kui elemendid tema nullist erinevate elementide a11, . . . , akk all, mis on koondatud maatriksi ülemisse vasakusse nurka, on nullid ja mõned viimased read võivad koosneda nullidest. St kui Am×n jaoks a11a22 . . . akk 0, k min(m, n), siis tema trapetskuju on järgmine: a11 a12 . . . a1k a1 k+1 . . . a1n 0 a22 . . . a2k a2 k+1 . . . a2n ....................... 0 0 . . . akk ak k+1 . . . akn 0 0 ... 0 0 ... 0 ....................... 0 0 ... 0 0 ... 0 8 MÄRKUS. Kolmnurkne maatriks on trapetskujulise erijuhtumiks k = m =n. TEHTEID MAATRIKSITEGA 1) MAATRIKSI TRANSPONEERIMINE. Operatsiooni, mille käigus maatriksi Am×n = || ai j || read ja veerud vahetavad oma osa, nimetatakse maatriksi TRANSPONEERIMISEKS. Tulemuseks
kui elemendid tema nullist erinevate elementide a11, . . . , akk all, mis on koondatud maatriksi ülemisse vasakusse nurka, on nullid ja mõned viimased read võivad koosneda nullidest. St kui Am×n jaoks a11a22 . . . akk 0, k min(m, n), siis tema trapetskuju on järgmine: a11 a12 . . . a1k a1 k+1 . . . a1n 0 a22 . . . a2k a2 k+1 . . . a2n ....................... 0 0 . . . akk ak k+1 . . . akn 0 0 ... 0 0 ... 0 ....................... 0 0 ... 0 0 ... 0 8 MÄRKUS. Kolmnurkne maatriks on trapetskujulise erijuhtumiks k = m =n. TEHTEID MAATRIKSITEGA 1) MAATRIKSI TRANSPONEERIMINE. Operatsiooni, mille käigus maatriksi Am×n = || ai j || read ja veerud vahetavad oma osa, nimetatakse maatriksi TRANSPONEERIMISEKS. Tulemuseks
(1) Siin rea i elemeid korrutatakse sama rea elementide alamdeterminantidega. Vaatleme, mis aga juhtub, kui korrutame mingi teise rea alamdeterminantidega. Lause. Determinandi mingi rea (veeru) elementide korrutiste summa mingi teise rea (veeru) elementide alamdeterminantidega on võrdne nulliga e. ak1 Ai1 + ak 2 Ai 2 + ... + akn Ain = 0, kui k i (2) Tõestus. Eeldame, et k i . Vaatleme maatriksi B, kus reas i paiknevad elemendid ak1 ,K, akn ning ülejäänud ridades maatriksi A elemendid. Rakendame eelmise paragrahvi teoreemi põhjal ja arendame maatriksi B determinandi rea i järgi: a11 a12 ... a1k ... a1n ... ... ... ... ... ... i ak1 a k 2 ... .a kk .. ... a kn
r✐❦s✐st A s❡❧❧❡ k✲♥❞❛❧❡ r❡❛❧❡ ❛r✈✉❣❛ c ❦♦rr✉t❛t✉❞ l✲♥❞❛ r❡❛ ❧✐✐t♠✐s❡❧✱ ❦✉s k = l✳ P❡❛♠❡ ♥ä✐t❛♠❛✱ ❡t |A| = |B|✳ ❊❡❧❞❛♠❡✱ ❡t k < l✳ ▼❛❛tr✐❦s✐ B k ✲s r✐❞❛ ❦♦♦s♥❡❜ ❡❧❡♠❡♥t✐❞❡st ak1 + cal1 , ak2 + cal2 , . . . , akn + caln ❑õ✐❦ ü❧❡❥ää♥✉❞ A ❡❧❡♠❡♥❞✐❞ ♦♥ s❛♠❛❞✱ s❡❡❣❛ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ♦♥ ✈õr❞♥❡ s✉♠✲ ♠❛❣❛✳ |B| = sign(σ)a1σ(1) . . . ak−1,σ(k−1) (akσ(k) + calσ(k) )ak+1,σ(k+1) . . . alσ(l) . . . anσ(n) σ∈Sn
O y Joonis 3.3 Tähistame selle osakese inertsjõu d, see on samuti üliväike kuna ka osakese mass on üliväike. Inertsjõu suund peab alati olema Ok vastupidine akn dm Bk vastava kiirenduse suunaga. Järelikult on osakese djoonist 3.3). Inertsjõu moodul on siis inertsjõud dsuunatud raadiuse sihis tsentrist Ok eemale (vt 2 d = a kn dm = rk dm (3.2) r Siin oleva raadiuse k on mugav esitada rk vardasuunalise koordinaadi kaudu
õli nii karburaator-, kui ka diiselmootoritele. Karburaator- ja diiselmootoriõlide (sobivad ka mootorrattamootoritele) markeeringus on viimasel suurtähel järgmised tähendused: B -- väheforsseeritud mootoritele; B -- forsseeritud mooto- ritele; F -- tugevalt forsseeritud mootoritele. Suurtähe järel võib olla veel tihkendi lisamisele viitav väike s. Karburaatormootorite jaoks toodetakse TOCT 1862-63 alusel järgmisi õlisid (sulgudes on õlide uuem markeering): AKn-10 (M10B), ACn-10 (M10B), ACn-6 (M6E), AKn-6 (M6B) ja TOCT 10541-63 alusel AC-6 (M6B), AC-8 (M8B) ning AC-10 (M l OB). Viimased, väävlistest naftadest toode- tud õlid on märksa paremad kui need, mis vastavad rOCT 1862-63-le. «Uraalidele» soovitab nende valmistaja diisliõlisid fln-l'l (M10B) ja RC-8 (M-8B). Õlisid AKn-10, ACn-10, ^n-11 ja AC-10 käsutatakse nel- jataktilistes mootorites suvel, ACn-6, fln-8 ja AC-6 aga tal- vel
annaabi.ee 
