Võrrandisüsteemide koostamine
tekstülesannete põhjal
I osa
© T. Lepikult, 2003
Leida kaks arvu, ülesanne 1
Ülesanne 1
Kahe arvu korrutis on 30, nende arvude summa 11. Leida
need arvud.
Lahendus
Seda tüüpi ülesannetes vaadeldakse otsitavaid arve
tundmatutena ja ülesande tingimuste põhjal tuletatakse
võrrandisüsteem tundmatute leidmiseks.
Tähistame esimese arvu sümboliga x ja teise sümboliga y.
Tingimusest, et arvude korrutis on 30, saame esimese
võrrandi:
x y = 30
Ülesanne 1 (2)
Lahendus jätkub ...
Tingimusest, et arvude summa on 11, saame teise
võrrandi:
x + y = 11.
Saadud kaks võrrandit moodustavad võrrandisüsteemi
tundmatute x ja y määramiseks:
ühest võrrandist üks tundmatu ja 3x+3y=48+2x-2y asendada see teise võrrandisse; lahendada x+5y=48 saadud ühe tundmatuga võrrand ühe teisendan II võrrandi normaalkujule tundmatu väärtuse leidmiseks; nn. 2y-2x=132-4x+4y avaldamise reast arvutada teise tundmatu 2x-2y=132 |:2 väärtus x-y=66 võrrandisüsteem normaalkujul x+5y=48 x-y=66 avaldan II võrrandist tundmatu x NB kasutada juhul, kui süsteemi pole x=y+66 võimalik lahendada liitmisvõttega asendan selle I võrrandisse, nii saan y (võrrandites esinevad tundmatute ruudud väärtuse või korrutised) y+66+5y=48
2 Bx Ax a2 b2 ; 34 2 6 0. 1 x1 y1 b a 2 3 ehk teisiti kirjutatult S . 2 x2 y2 Kolmandas näites leitud võrrandisüsteemide lahendid esituvad determinantide abil järgmiselt: Märkus: Saadud valem kolmnurga pindala arvutamiseks kehtib ka siis, kui kolmnurga tipu A juures oleks nürinurk või täisnurk. Sel juhul valemi tuletus- c1 b1 a1 c1 käik erineks mõnevõrra eelnevast, kuid lõpptulemus on sama. c2 b2 a2 c2
Ruutvõrrandi abil lahenduvaid ülesandeid Ülesannete lahendused pärinevad õpikust "Matemaatika IX klassile"(koost. Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust "Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile"* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat, Tln., 1996). * ülesanded tähistatud E-tähega. Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend. Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist: 1. võrrandi koostamine teksti järgi; 2. koostatud võrrandi lahendamine; 3
Ruutvõrrandi abil lahenduvaid ülesandeid Ülesannete lahendused pärinevad õpikust "Matemaatika IX klassile"(koost. Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust "Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile"* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat, Tln., 1996). * ülesanded tähistatud E-tähega. Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend. Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist: 1. võrrandi koostamine teksti järgi; 2. koostatud võrrandi lahendamine; 3
Ruutvõrrandi abil lahenduvaid ülesandeid Ülesannete lahendused pärinevad õpikust "Matemaatika IX klassile"(koost. Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust "Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile"* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat, Tln., 1996). * ülesanded tähistatud E-tähega. Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend. Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist: 1. võrrandi koostamine teksti järgi; 2. koostatud võrrandi lahendamine; 3
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill ……………?
Võrrandisüsteemide koostamine tekstülesannete põhjal III osa © T. Lepikult, 2003 Liikumisülesanded, ülesanne 1 Ülesanne 1 Kahe linna vaheline kaugus on 600 km. Üks rong läbib selle vahemaa 2 tunni võrra kiiremini kui teine, sest ta kiirus on 10 km/h võrra suurem kui teise rongi kiirus. Leida, kui kaua aega kulub kummalgi rongil ühest linnast teise sõitmiseks. Lahendus Liikumisega seotud ülesannetes tuleb teada kiiruse v, läbitud teepikkuse s ja liikumiseks kulunud aja t vahelist seost.
Vastus: x = 1,5. Näide 22 Lahendame võrrandi Kõigepealt leiame vasakul pool ühise nimetaja ja seejärel lihtsustame avaldist: Seega tuleb lahendada võrrand millest võrde põhiomaduse järgi saame, et (x+2)(x–2)=4x–7 ehk x2 – 4 = 4x – 7, x2 – 4x + 3 = 0. Selle võrrandi lahendid on 1 ja 3. Murdvõrrandi puhul tuleb teha lahendite kontroll ! Kontrollimine näitab, et mõlemad lahendid sobivad. Näide 23 Lahendame võrrandi Sellise kujuga võrrandeid tuleb sageli ette tekstülesannete lahendamisel. Ka siin leiame ühise Nimetaja ja lihtsustame avaldist: . Võrde põhiomaduse järgi saame nüüd millest 2x(x–2)=4x–12 ehk 2x2 –8x + 12 = 0, x2 – 4x + 6 = 0. Sellel võrrandil reaalarvulisi lahendeid ei ole, seega puuduvad lahendid ka murdvõrrandil. Näide 24 Lahendame võrrandi Lihtsustame võrduse vasakut ja paremat poolt: ,
Kõik kommentaarid