1 , 2 , ..., n n¨ uu¨d P (1 , 2 , ..., n ) abil. N¨aiteks P (4, 7) koosneb permu- tatsioonidest 4 7 ja 7 4. Definitsioon 3.1. Me nimetame n-j¨ arku ruutmaatriksi x11 x12 . . . x1n x x22 . . . x2n X = 21 ................... xn1 xn2 . . . xnn n-j¨ arku determinandiks reaalarvu, mida t¨ ahistatame x11 x12 . . . x1n x x22 . . . x2n |X| = 21 ................... xn1 xn2 . . . xnn abil ja anname valemiga |X| := (-1)I(1 ,2 ,...,i ,...,n ) x11 x22 . . . xii . . . xnn . (3.1) P (1,2,..
.., αn ) abil. N¨aiteks P (4, 7) koosneb permu- tatsioonidest 4 7 ja 7 4. Definitsioon 3.1. Me nimetame n-j¨ arku ruutmaatriksi x11 x12 . . . x1n x x22 . . . x2n X = 21 ................... xn1 xn2 . . . xnn n-j¨ arku determinandiks reaalarvu, mida t¨ ahistatame x11 x12 . . . x1n x x22 . . . x2n |X| = 21 ................... xn1 xn2 . . . xnn abil ja anname valemiga |X| := (−1)I(α1 ,α2 ,...,αi ,...,αn ) x1α1 x2α2 . . . xiαi . . . xnαn . (3.1)
majandussüsteemidele, mis on samaaegselt nii tootjad, kui ka tarbijad. Majandusmudeli koostamiseks on vajalik järgmine info: Tootjad Tarbijad Lõpptoodang Kogutoodang T1 T2 Tn T1 x11 x12 . x1n y1 x1 T2 y2 x2 Tn yn xn x21 x22 . x2n ... ... . ... xn1 xn2 . xnn Lisatud väärtus z1 z2 zn y = z i k Kogu toodang x1 x2 xn x = x i k Bilansi read näitavad, kuidas tarbitakse erinevate tootjate toodangut, veerud aga näitavad, kuidas erinevates harudes toodetakse. Tabelis kirjeldatut on võimalik esitada maatrikskujul: (xik) + (yi) = (xi).
majandussüsteemidele, mis on samaaegselt nii tootjad, kui ka tarbijad. Majandusmudeli koostamiseks on vajalik järgmine info: Tootjad Tarbijad Lõpptoodang Kogutoodang T1 T2 Tn T1 x11 x12 . x1n y1 x1 T2 x21 x22 . x2n y2 x2 ... ... . ... yn Tn xn1 xn2 . xnn xn Lisatud väärtus z1 z2 zn y i = z k Kogu toodang x1 x2 xn x i = x k Bilansi read näitavad, kuidas tarbitakse erinevate tootjate toodangut, veerud aga näitavad, kuidas erinevates harudes toodetakse. Tabelis kirjeldatut on võimalik esitada maatrikskujul: (xik) + (yi) = (xi). Lisatud väärtuste hulka kuuluvad näiteks töötajate palk, amortisatsioon, maksud.
Reaalarvu x R korral sobib normiks absoluutva¨ artus ¨ x, x 0 |x| := -x, x < 0 n-mo~ otmelise ~ ruuumi Rn vektori x = (x1 , . . . , xn ) normi x 2 ehk vektori ~ pikkuse voime defineerida kujul |x| := x 2 = x12 + . . . + xn2 ~ Vottes n = 1 saame absoluutva¨ artuse ¨ esitada kujul |x| = x 2 = x 2. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 10 / 25 Reaalarvud ¨
Loogikafunktsioonide täielik süsteem Eelnevast on teada, et suvaline loogikafunktsioon on esitatav DNK ja KNK kujul. Järelikult on suvaline funktsioon kujutatav läbi funktsioonide &, V ja . Loogikafunktsioonide süsteemi, mille abil on võimalik kujutada suvalise keerukusega loogikafunktsiooni, nimetatakse täielikuks süsteemiks. Olgu antud loogikafunktsioonide süsteem S: S={ f1(x1 ,x2 ,..... ,xn1 ), f2(x1 ,x2 ,..... ,xn2 ),...., f m(x1 ,x2 ,..... ,xnm )} · Süsteemi S superpositsiooniks nimetatakse funktsiooni f, mis on saadud süsteemi S funktsioonidest järgnevalt: 1. funktsiooni fi S muutujate ümbernimetamisega; 2. funktsiooni fj S mõne muutuja asendamisega funktsiooniga fk S ; 3. eelneva kahe tegevuse korduval rakendamisel. · Süsteemi S nimetatakse täielikuks, kui suvaline funktsioon f(x1 ,x2 ,..... ,xn ) on esitatav läbi süsteemi S superpositsiooni.
Loogikafunktsioonide täielik süsteem Eelnevast on teada, et suvaline loogikafunktsioon on esitatav DNK ja KNK kujul. Järelikult on suvaline funktsioon kujutatav läbi funktsioonide &, V ja . 24 Loogikafunktsioonide süsteemi, mille abil on võimalik kujutada suvalise keerukusega loogikafunktsiooni, nimetatakse täielikuks süsteemiks. Olgu antud loogikafunktsioonide süsteem S: S={ f1(x1 ,x2 ,..... ,xn1 ), f2(x1 ,x2 ,..... ,xn2 ),...., f m(x1 ,x2 ,..... ,xnm )} Süsteemi S superpositsiooniks nimetatakse funktsiooni f, mis on saadud süsteemi S funktsioonidest järgnevalt: 1. funktsiooni fi S muutujate ümbernimetamisega; 2. funktsiooni fj S mõne muutuja asendamisega funktsiooniga fk S ; 3. eelneva kahe tegevuse korduval rakendamisel. Süsteemi S nimetatakse täielikuks, kui suvaline funktsioon f(x1 ,x2 ,..... ,xn ) on esitatav läbi süsteemi S superpositsiooni.
xa (x) suurusi ja sama j¨arku l~opmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui lim (x) = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks l~opmatult xa (x) kahanevateks suurusteks m¨arkides seda kujul . 3. Kui lim (x) = 0, siis nimetatakse suurust k~orgemat j¨arku l~opmatult xa (x) kahanevaks suuruseks suhtes. N¨ aited. 1. Vaatleme astmefunktsioone a1 xn1 ja a2 xn2 , kus astmed n1 ja n2 on positiivsed t¨aisarvud ning kordajad a1 ja a2 on nullist erinevad. Tegemist on l~opmatult n1 kahanevate suurustega piirprotsessis x 0. Olgu n1 > n2 . Siis on suhe aa12 xxn2 = aa12 xn1 -n2 samuti positiivse astmega astmefunktsioon. Seega n1 lim aa12 xxn2 = lim aa12 xn1 -n2 = 0, millest j¨areldub, et funktsioon on a1 xn1 on x0 x0 orgemat j¨arku l~opmatult v¨aike suurus funktsiooni a2 xn2 suhtes. k~ 2
xa (x) suurusi ja sama j¨arku l~opmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui lim (x) = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks l~opmatult xa (x) kahanevateks suurusteks m¨arkides seda kujul . 3. Kui lim (x) = 0, siis nimetatakse suurust k~orgemat j¨arku l~opmatult xa (x) kahanevaks suuruseks suhtes. N¨ aited. 1. Vaatleme astmefunktsioone a1 xn1 ja a2 xn2 , kus astmed n1 ja n2 on positiivsed t¨aisarvud ning kordajad a1 ja a2 on nullist erinevad. Tegemist on l~opmatult n1 kahanevate suurustega piirprotsessis x 0. Olgu n1 > n2 . Siis on suhe aa21 xxn2 = aa12 xn1 -n2 samuti positiivse astmega astmefunktsioon. Seega n1 lim aa12 xxn2 = lim aa12 xn1 -n2 = 0, millest j¨areldub, et funktsioon on a1 xn1 on x0 x0 k~orgemat j¨arku l~opmatult v¨aike suurus funktsiooni a2 xn2 suhtes. 2
Seevastu, nagu selgub järgmisest lausest, eksisteerib reaalarvuline ruutjuur igast mittenegatiivsest ar- vust. Lause 1.20 Iga mittenegatiivse reaalarvu b ja iga naturaalarvu n korral leidub üheselt määra- tud mittenegatiivne reaalarv x omadusega xn = b. Tõestus. Kõigepealt märgime, et kui leidub selline arv x ∈ R, et xn = b, siis on see üheselt määratud, sest seostest 0 6 x1 < x2 järeldub võrratus xn1 < xn2 (põhjendada!)z. Väide kehtib ilmselt juhul b = 0, siis x = 0, seega võime piirduda juhuga b > 0. A. Vaatleme esiteks juhtu b > 1. Tähistame X := {z ∈ R | z > 0, z n 6 b} , selge, et 1 ∈ X, järelikult X 6= ∅. Hulk X on ülalt tõkestatud, nimelt on arv b ise hulga X ülemiseks tõkkeks (põhjendada!)z. Pidevuse aksioomi kohaselt eksisteerib x := sup X, kuna 1 ∈ X, siis x > 1, mistõttu xk > x > 1 iga k ∈ {1, . .
annaabi.ee 
