2 * i = 1... ridu -1 * j = i+1 ... ridu ei sisendi,j > max max = sisendi, j ruut_ri = i ruut_ve = j max, ruut_ri, ruut_ve Üldised parameetrid ja muutujad prk - maatriksi piirkond ridu - maatriksi ridade arv veerge - maatriksi veergude arv i - maatriksi reaindeks j - maatriksi veeruindeks sisend - etteantud maatriksile vastav massiiv valjund ja valjund2 - protseduuride käigus loodavad uued massiivid vektor - etteantud vektorile vastav massiiv Peaprotseduur Massiiv() Loeb maatriksi read ja veerud, deklareerib dünaamilised massiivid ning loeb nendesse töölehelt maat käivitab vastavalt sellele kas protseduurid Max_ül_diag, Liida, Tee_Uus ja Kir_Tab või protseduurid rist_ve - etteantud veeru järjekorranumber ristkülikmaatriksi puhul
Maatriksi rea elemendid on vaadeldavad n-mõõtmelise vektori koordinaatidena(reas asuvad sama vektori koordinaadid); veerud aga m-mõõtmelise vektori koordinaatidena(veerus on samanimelised koordinaadid). m=n ruutmaatriks; mn ristkülikmaatriks. Lisaks veel trapetskuju maatriks, kolmnurkkuju maatriks, diagonaalmaatriks, nullmaatriks, ühikmaatriks. Peadiagonaal ja kõrvaldiagonaal. Parameetrid: a ij- maatriksi elemendid; m-ridade arv; n-veergude arv; reaindeks-i ja veeruindeks-j. 7)Maatriksite liitmine, arvuga korrutamine ja maatriksite korrutamine. Liita saab ainult samade parameetritega maatrikseid elementhaaval ning summaks saame samade parameetritega maatriksi, mille elemendid on liidetavate maatriksite vastavate elementide summad. Maatriksi korrutamisel arvuga saadakse samade parameetritega maatriks, mille elemendid saadakse lähtemaatriksi kõikide elementide korrutamisel antud arvuga. Kahe maatriksi
Maatriks arvutus Def 1 : (mxn) m korda n järku arv maatriks A nim mn arvust moodustatud tabelit, milles on m rida ja n veergu. NT filmilint, male- ja kaberuudud. Maatrikselemendid on elemendid, millest maatriks koosneb. Ai-reaindeksj- veeruindeks I= 1, 2, .....m j= 1, 2, ......n A=( a11 a12 a13 ....a1n) ( a21 a22 a23....a2n) ( a31 a32 a33 ....a3n) m=n (ruutmaatriks) nxn n2- maatriks mn (ristkülikmaatriks) Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a11 ; a22 ; a33 ..... akk nimetatakse maatriksi peadiagonaaliks. Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a1n ; a2n-1 ; a3n-2 .... akn(k-1) nimetatakse maatriksi kõrvaldiagonaaliks. a11 priviligeeritud element. Tehted maatriksiga
Kahe vektori vektorkorrutiseks nim vektorit, mis rahuldab järgmisi tingimusi a) b) c) Moodul võrdub vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga. Omadused: · Vektorkorrutis on antikommutatiivne · Vektorkorrutis on assotsiatiivne arvulise teguri suhtes · Vektorkorrutis on distriutiivne · 2. Maatriksid Maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit. Maatriksis on m rida ja n veergu. Maatriksi reaindeks on ai ja veeruindeks on aj. Maatriksi peadiogonaali elemendid on a11; a22; amn Erikujulised maatriksid: · Kui maatriksi Am*n kõik elemendid aij võrduvad 0ga, siis nim seda nullmaatriksiks. Ridade ja veergude arvu m ja n nim põhiparameetriteks. Kui mn, siis nim maatriksit ristkülikmaatriksiks. Kui m=n, siis ruutmaatriksiks. · Kui ruutmaatriksi peadiogonaali element 0 ja kõik ülejäänud elemendid =0, siis nim maatriksit diagonaalmaatriksiks
Lahend: Qd, Qs, P Qd=Qs=Q lahend järjestatud paar (P;Q) Qs=-c+dP tõusev sirge 2 hüvisega: Qd1-Qs1=0 Qd2-Qs2=0 Qd1=a0+a1P1+a2P2 Qd2=a0+a1P1+a2P2 Qs1=b0+b1P1+b2P2 Qs2=b0+b1P1+b2P2 (a0-b0)+(a1-b1)P1+(a2-b2)P2=0 n hüvisega: kõik hüvised sõltuvad kõigist hindadest. Koefitsendid arvulisedlahend arvuline. 5. Maatriksid ja vektorid, maatriksitehted, vektortehted. Maatriks: Olgu i reaindeks ja j veeruindeks siis x1-1.ve-s, xj- j-ndas veerus, aij i-nda võrrandi j-nda muutuja koef., dj i-nda võrrandi vabaliige. a11 a12 a1n x1 d1 x d a21 a22 a2n [ ] A = ai j = , x= 2 , d = 2 . ... ... i = 1,2,..
Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks. Tabelis paiknevaid arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. i reaindeks; j veeruindeks. reamaatriks (1 x n); veerumaatriks (m x 1); ruutmaatriks m = n Tähistused: maatriksi järk naturaalarvude paar m x n (ridade ja veergude arv). ruutmaatriksi korral järk n (n = ridade arv = veergude arv). maatriksi liigid: nullmaatriks kõik elemendid 0. tähistus teeta ruutmaatriks ridade arv = veergude arv m=n diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille kõik elemendid väljaspool peadiagonaali on 0.
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . (1.1) .................... am1 am2 . . . amn Selles maatriksis element aij asub i-ndas reas ja j-ndas veerus, ele- ment ast asub s-ndas reas ja t-ndas veerus. Kui maatriksi elemendi aij reaindeks i muutub hulgas Nm := {1, 2, ..., m} ja veeruindeks j muutub hulgas Nn := {1, 2, ..., n}, siis me oleme vaadelnud selle maatriksi k~oiki ele- mente. Maatriksit (1.1) t¨ahistame tihti ka l¨uhemalt, juhul kui ei teki kaksi- pidi m~oistmist, niinimetatud u ¨ldelemendi aij abil, saades (aij ). Kui teame, 4 kuidas muutuvad indeksid i ja j, siis saame taastada (aij ) abil kuju (1.1). Veel on u ¨ks v~oimalus t¨ahistada maatriksit (1.1) l¨
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . (1.1) .................... am1 am2 . . . amn Selles maatriksis element aij asub i-ndas reas ja j-ndas veerus, ele- ment ast asub s-ndas reas ja t-ndas veerus. Kui maatriksi elemendi aij reaindeks i muutub hulgas Nm := {1, 2, ..., m} ja veeruindeks j muutub hulgas Nn := {1, 2, ..., n}, siis me oleme vaadelnud selle maatriksi k˜oiki ele- mente. Maatriksit (1.1) t¨ahistame tihti ka l¨uhemalt, juhul kui ei teki kaksi- pidi m˜oistmist, niinimetatud u ¨ldelemendi aij abil, saades (aij ). Kui teame, 4 kuidas muutuvad indeksid i ja j, siis saame taastada (aij ) abil kuju (1.1). Veel on u ¨ks v˜oimalus t¨ahistada maatriksit (1.1) l¨
. . , n. Need arvud paigutame maatriksisse A j¨argmiselt: a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A := . .. := (aij ) .. .. .. . . . ak1 ak2 . . . akn Elemendis aij n¨aitab esimene indeks (i) rida (reaindeks), teine in- deks (j) osutab veergu (veeruindeks), kus element aij asetseb. Ar- vupaari k × n := (k, n) nimetatakse maatriksi A j¨ arguks. Selguse huvides v~oib maatriksi j¨arku n¨aidata ka t¨ahistuses, nt (aij )k × n . Kui k = n, siis ¨oeldakse, et A on ruutmaatriks. Ruutmaatriksi j¨arguks nimetame lihtsalt selle maatriksi ridade (ehk veergude) ar- vu. Elementide j¨arjendit a11 , a22 , . . . nimetatakse (ruut)maatriksi A peadiagonaaliks. K~oigi k × n-j¨arku reaalarvuliste elementidega maatriksite hul-
annaabi.ee 
