7. teine ja eelviimane kordaja on alati n. 8. Astmete liikmete suuma on alati n. 9.Kordajate summa on 2 n 10. a- kasvavad astmed. b- vähenevad astmed 6. Sündmusemõiste. Sündmuseks nim elementaarsündmuste ruumi U iga osahulka. Juhuslikud sündmused- sündmused võivad esile tulla, kuid need võivad ka mitte tulla. Võimatu sündmus- Sõndmus mis ei ole võimalik . NÄIDE : Loeme täringu viskamisel sündmuseks A kolmega jaguva silmade arvu (3 või 6 silma) tuleku. Sündmuse A vastandsündmuseks A on kolmega mitte jaguva silmade arvu tulek, st. 1, 2, 4 või 5 silma tulek. Kindla sündmuse vastandsündmuseks loetakse võimatut sündmust, st. U =V ja võimatu sündmuse vastandsündmuseks kindlat sündmust, st. V =U . 7. Klassikaline tõenäosus. sündmuse A tõenäosuseks P(A) nimetatakse sündmusele A soodsate võimaluste arvu k ja kõigi võimaluste arvu n suhet k/n Sündmuse tõenäosust tähistatakse tähega p või sümboliga P(A).
Elementaarsündmused (E1; E2; E3; ...; En) on katse tulemused, kui kõik kolm tingimust on täidetud. Elementaarsündmuste ruumi (U = { E1; E2; E3; ...; En }) moodustavad kõik elementaarsündmused kokku. Elementaarsüdmuste ruumi kõiki osahulki nimetatakse sündmusteks (A; B; C; ...). Sündmusi liigitatakse juhuslikuks sündmuseks (võib esile tulla, võib ka mitte tulla), võimatuks sündmuseks (ei saa esile tulla; V) ning kindlaks sündmuseks (tuleb esile igal katsel; ). Sündmuse A vastandsündmuseks A nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A ei toimu. Sündmuse A tõenäosuseks P(A) nimetatakse sündmusele A soodsate elementaarsündmuste (võimaluste) arvu k ja kõigi elementaarsündmuste (võimaluste) arvu n suhet. Tõenäosus on arv, mis rahuldab võrratusi 0 P ( A) 1 . Kindla sündmuse tõenäosus on 1, võimatu sündmuse tõenäosus on 0. Sündmuse A ja tema vastandsündmuse A tõenäosuste summa on 1
1. Tõenäosuse mõiste - Sündmuse (klassikaliseks) tõenäosuseks nimetame temas sisalduvate (ehk soodsate) elementaarsündmuste arvu ja kõigi elementaarsündmuste arvu suhet. kindel sündmus, võimatu, juhuslik. Vastandsündmus, selle tõenäosus. - Sündmuse A vastandsündmuseks nimetame sündmust, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A ei toimu. 2. Sündmuste summa - Sündmuste A ja B summa on sündmus, mis toimub kui toimub vähemalt üks sündmustest A või B. korrutis - Sündmuste A ja B korrutis on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui toimuvad sündmused A ja B. (samaaegselt) vahe - Sündmuste A ja B vahe on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A toimub aga sündmus B ei toimu. AB 3. Sõltumatud sündmused
sündmust C, mis toimub siis, kui toimub vähemalt üks sündmustest A või B. Näiteks: A = (2;5) ja B = (1;3;5). Siis C = ( 1;2;3;5) 4. AB = C, sündmuste A ja B korrutiseks ehk ühisosaks nimetatakse sündmust, mis toimub siis, kui toimuvad mõlemad sündmused A ja B. Eelmise näite põhjal C = (5) 5. A B = C, sündmuste A ja B vaheks nimetatakse sündmust C, mi toimub siis, kui sündmus A toimub ja sündmus B ei toimu. 6. A, vastandsündmuseks nimetatakse kindla sündmuse ja juhusliku sündmuse A vahet. 7. AB = , kui sündmuste A ja B korrutiseks on võimatu sündmus, siis neid sündmusi nimetatakse teineteist välistavateks sündmusteks. 8. Sündmused A1, A2, … An moodustavad sündmuste süsteemi, kui nende hulgas ei leidu kaht võrdset sündmust Ai ja Aj, kui i ≠ j. Kui selles süsteemis on kõik sündmused teineteist välistavad, Ai
g. Vesi hakkab keema 100 kraadi juures. h. Täna kutsutakse geograafiatunnis vastama Peeter (Peeter on antud klassi õpilane ning täna ka koolis, geograafiatunnis on ta kohal). i. 100 aasta pärast on 100 m jooksu maailmarekord 8,8 sekundit. j. Korvis on 2 musta ja 4 valget kuulikest. Võetakse üks kuul ning saadakse sinine kuul. 2. Iga sündmuse kohta märkida, mis on tema vastandsündmuseks. a. A täringuviskel saadakse paarisarv silmi b. A nelja vastutulija hulgas on vähemalt üks blondiin c. A 10 viskest tabab korvpallur vähemalt ühel korral d. A kaardipakist tõmmatud 3 kaarti on kõik ässad e. A saja detaili hulgas on vähemalt 80 kvaliteetset detaili 3. Kas sündmused A ja B on sõltumatud või sõltuvad. a. Täringut visatakse kaks korda.
n detaili hulgas oleva n-m korras detali tuleb võtta N-M korras detaili hulgast, selleks on olemas C Nn --mM . Seega sündmuse A toimumise soodsate elementaarsündmuste arv on C Nn --mM (sõltumatud sündmused) Edasi ise...... · Kui sündmuse A toimumisel toimub ka sündmus B, siis ütleme, et sündmus B järeldub sündmusest A AB (P(A)P(B)) · Sündmusi A ja B nimetame teineteist välistavateks, kui nad ei saa toimuda samaaegselt. · Sündmuse A vastandsündmuseks nimetame sündmust, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A ei toimu. P()=1-P(A). · Sündmuste A ja B summa on sündmus, mis toimub kui toimub vähemalt üks sündmustest A või B. AB · Sündmuste A ja B korrutis on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui toimuvad sündmused A ja B. AB · Tõenäosuste liitmise lause: P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB). Kui sündmused A ja B on teineteist välistavad, siis P(AB)=P(A)+P(B) N3. (J.Gurski)
Jõuamegi binoomilise Seejärel mehed võtavad kotist mütsi ja järel valitud detaili hulgas on vähemalt üks tõenäosuse valemini viskavad. Kui suur on tõenäosus, et defektiga. Paneme tähele, et meid huvitav P(x)= ükski mees ei viska oma mütsi? Leiame sündmus on sündmuse A1A2A3A4 Excelis kasutada kõigepealt tõenäosuse, et vähemalt üks vastandsündmuseks, st (A1A2A3A4)c. funktsiooni BINOMDIST(x;3;0,9;0). Viimane mees viskab oma mütsi. Tähistame Kasutame teoreemis 2 tõestatud valemit, parameeter kumulatiivsus on sündmuse Ei, i = 1, 2, 3, et i-s mees P((A1A2A3A4)c) = 1 P(A1A2A3A4) tõenäosusfunktsiooni korral 0 ja kumulatiivse võtab oma mütsi. Tõenäosuse P(E1 E2 1 0,647 0,353
Olgu tõrgeteta töö garantiiaja jooksul sündmus A. Tõrke tekkimine on tõrgeteta töötamise vastandsündmus . Kasutame vastandsündmuse tõenäosuse leidmise valemit P( ) = 1 P(A) = 1 0,9 = 0,1. Näide 12. Vaatame näites 10 kirjeldatud ülesannet. Leiame tõenäosuse, et nelja huupi üksteise järel valitud detaili hulgas on vähemalt üks defektiga. Paneme tähele, et meid huvitav sündmus on sündmuse A1 A2 A3 A4 vastandsündmuseks, st ( ) . Kasutame teoreemis tõestatud valemit, P( ) = 1 P(A1 A2 A3 A4) = 1 0,647 = 0,353. 2 KOMBINATOORIKA 2.1.1.1 Valemid ja näited katsetulemuste arvu loendamiseks Permutatsioonid Katses osaleb k elementi, katse tulemuseks on nende elementide teatav järjestus. Niisuguse katse võimalike tulemuste arvuks on n elemendi kõikvõimalike erinevate järjestuste arv. Erinevaid järjestusi etteantud
SÜNDMUSE TÕENÄOSUS 1. Mis on sündmus tavaelus? 2. Mis on juhuslik sündmus? 3. Millisest aspektist me tahame sündmusi uurida? 4. Sündmuse matemaatiline definitsioon (elementaarsündmus, elementaarsündmuste ruum, sündmus). Elementaarsündmus on mingi vaadeldava protsessi või läbiviidava katse tulemus. Elementaarsündmuste ruumi moodustavad kõik elementaarsündmused ehk kõikvõimalike tulemuste hulk. Sündmuseks nimetatakse mingit suvalist elementaarsündmuste ruumi alamhulka. 5. Sündmuse toimumise kriteerium. Sündmuse toimumise juures on meile oluline vaid see, kas toimub või mitte. Sündmus toimub, kui toimub sündmust määravatest elementaarsündmustest üks. 6. Mitu erinevat sündmust saab moodustada n-elemendilise elementaarsündmuste ruumi põhjal? Tõesta! N-elemendilise elementaarsündmuste ruumi põhjal saab moodustada 2 n sündmust, mille hulka on arvestatud ka tühihulk. 7. Sündmuste liigitus (kindel, võimatu, vastandsün...
c). Juhuslik sündmus- juhuslik sündmus on sündmus, mis antud vaatluse või katse korral võib toimuda aga võib ka mitte toimuda. *Sündmuse A toimumise tõenäosuseks nimetatakse selle sündmuse esinemiseks soodsate võimaluste arvu m ja kõigi võimaluste n arvu suhet e. p(A) = . *Sündmused on võrdvõimalikud, kui nende toimumise tõenäosused on ühesugused. *Juhuslikke sündmusi nim. üksteist välistavateks, kui nad ei saa korraga toimuda. *Sündmuse A vastandsündmuseks on sündmus , mis ,,toimub" siis, kui sündmus A ei toimu. *Sündmuse A statistiliseks tõenäosuseks nimetatakse piirväärtust p, millele läheneb sündmuste suhteline sagedus s(A) katsete arvu piiramatul kasvamisel. *Bernoulli suurte arvude seadus ütleb, et küllalt pika katseseeria korral on sündmuse suhteline sagedus ligikaudselt võrdne sündmuse tõenäosusega ühel katsel e. s(A) p(A). [20]. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste summa ja korrutis.
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
