· maatriksi korrutamisel arvuga saadakse sama dimensiooniga maatriks, mille kõik elemendid on korrutatud selle arvuga · nullmaatriks · vastandmaatriks · kahe sama dimensiooniga maatriksi summa on vastava dimensiooniga maatriks, mille elemendid võrduvad liidetavate elementide summaga · maatriksi ja sama dimensiooniga nullmaatrik- si summa võrdub liidetava maatriksiga · maatriksi ja tema vastandmaatriksi summa võrdub nullmaatriksiga Korrutada saab kaht maatriksit, millest esimese teguri veergude arv võrdub teise teguri ridade arvuga. Maatriksite korrutise iga element on esimese teguri mingi reavektori skalaarkorrutis teise teguri mingi veeruvektoriga. Tegurite järjekorra muutmisel ei pruugi korrutis eksisteerida või on korrutis erinev. aijT = a ji aijT AT aij A Maatriksi transponeerimisel vahetatakse maatriksi read ja veerud omavahel ära V = ( A1 ;..
36.Ristkülikmaatriks- Maatriks, mille ridade arv erineb veergude arvut m≠ n 37.Ühikmaatriks-Maatriks mille peadiagonaalis on ainult arvud 1( { δ ij= 1, kuii= j 0, kuii≠ j } 38.Nullmaatriks- maatriks on nullmaatriks, kui selle maatriksi kõik elemendid on nullid tähis :Θ 39.Vastandmaatriks- maatriks, mille elementideks on maatriksi elementide vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on –A. (no lihtsalt märgid on vastupidised) 40.transponeeritud maatriks-maatriks, mis saadakse maatriksi ridade ja veergude äravahetamisel. Tähis AT 41. sümmeetriline maatriks- Maatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks, kui AT=A 42.kaldsümmeetriline maatriks- kui AT= -A 43.maatriksite võrdsus-Maatriksid on võrdsed, kui nendel on samad mõõtmed ja ühesugustel kohtadel on võrdsed elemendid 44.maatriksite liitmine-Maatriksite A ja B summat tähistatakse A+B ja
t. m 6= n, nimetatakse ristkülikmaatriksiks. ● ühikmaatriks Maatriks, mille peadiagonaalil olevad numbrid on ühed ja ülejäänud nullid. ● nullmaatriks Me nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi kõik elemendid on nullid. Nullmaatriksi tähiseks on Θ. ● vastandmaatriks Maatriksi A vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on −A. Seega (m, n)-maatriks B = (bkl) on (m, n)- maatriksi A = (aij ) vastandmaatriks, kui bij = −aij . 4 ● transponeeritud maatriks Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi tähiseks on A T . ● sümmeetriline maatriks Maatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks, kui AT = A
analoogseid omadusi nagu lineaarsed tehted geomeetriliste vektorite hulgal. Loetleme need omadused. 1° A + B = B + A iga A, B m×n korral (liitmise kommutatiivsus); 2° ( A + B ) + C = A + ( B + C ) iga A, B, C m× n korral (liitmise assotsiatiivsus); 3° leidub selline maatriks m× n , et A + = + A = A iga A m× n korral (nullmaatriksi olemasolu); 4° iga maatriksi A m× n jaoks leidub selline maatriks B m× n , et A+ B = B + A = (vastandmaatriksi olemasolu); 5° ( a + b ) A = aA + bA iga a, b ja A m×n korral; 6° a ( A + B ) = aA + aB iga a ja A, B m× n korral; 7° ( ab ) A = a ( bA) iga a, b ja A m×n korral; 8° 1A = A iga A m× n korral. 8. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks Def. 1. Maatriksi 1
maatriksit, kus ühel pool pea- või kõrvaldiagonaali on kõik elemendid nullid. Diagonaalmaatriks - on ruutmaatriks, kus ainult peadiagonaalil asuvad elemendid, mis ei ole nullid. Ühikmaatriks nim. maatriksit, kus peadiagonaali elemendid on 1-ed ning ülejäänud elemendid on 0-id Nullmaatriks Maatriks, mille kõik elemendid on nullid. Maatriksi tähis on Vastandmaatriks - nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on -A. Transponeeritud maatriks Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi tähiseks on AT. m×n-maatriksi A transponeeritud maatriks AT on n×m-maatriks , kus Omadused: Sümmeetriliseks maatriks - nimetatakse ruutmaatriksit A, mis langeb kokku oma transponeeritud maatriksiga:
2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij = aij + bij. · Maatriksite lahutamine : esimese maatriksi ja teise maatriksi vastandmaatriksi summa. A B = A + (B). Vastand maatriks on maatriksi B vastand A, mille kõik elemendid vahetavad märki. · Maatriksite korrutamine : erimese teguri A veergude arv peab võrduma teise teguri B ridade arvuga. A (m*n) ja B (n*p). A*B = C, mille elemendid c ik leidakse summana: Seega tuleb korrutismaatriksi elemendi cik leidmiseks korrutada maatriksi A i-nda
Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liitmine: (m*n) ma. A, (p*q) ma. B ja m=p, n=q. A+B=C (m*n-järku); cij = aij + bij, iga i ja j korral. Omadused: A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C); A+=+A=A; A+(-A)=(-A)+A=0;k(A+B)=kA+kB. 3) Maatriksite vahe: B, (-1)B =täh B (vastandmaatriks). A-B = A+(-B) e. esimese ma. ja teise ma. vastandmaatriksi summa. 4) Maatriksite korrutamine: m*n ma. A=(aij), n*q ma. B(bjk), kus i=1,...,m; j=1,...,n; k=1,...q). A(aij)*B(bjk) = (m*q ma.) C(cik), kus cik = n j=1 aijbjk = ai1b1k + ai2b2k + ... ainbnk. Omadused: A(BC)=(AB)C; A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA; kui A=B, siis CA=CB; kui A=B, siis AC=BC;k(AB)=(kA)B=A(kB). 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. Determinant-lineaaralgebras teatav funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari.
Kahe (m × n)-maatriksi A = (aij ) ja B = (bij ) summaks nimetatakse (m × n)-maatriksit A + B = (cij ), kus cij = aij + bij indeksite i ja j kõigi väärtuste korral Maatriksite lahutamine: samamõõtmeliste maatrikside lahutamisel lahutatakse esimese maatrikside elementidest teise vastavad elemendid. (vastandmaatrikside summa on nullmaatriks). Kahe (mxn)-maatriksi A = (aij) ja B = (bij) vaheks nimetatakse maatriksi A ja maatriksi B vastandmaatriksi -B summat. Maatriksite korrutamine: korrutamine on võimalik ainult siis, kui esimese teguri A veergude arv võrdub teise teguri B ridade arvuga A (m*n) ja B (n*p). maatrikside korrutise elemendi leidmiseks tuleb korrutada esimese maatriksi rea ja teise maatriksi veeru vastavad elemendid ning tulemused liita (m x n)-maatriksi A = (aij) ja (n x p)-maatriksi B = (bjk) korrutiseks nimetatakse (m x p)- maatriksit C = (cik), mille elemendid cik leitakse summana:
ei saa aga u¨ldsegi liita, sest liitmise definitsiooni 1.12 valem (1.16) ei lase end rakendada. Maatriksite liitmisel on j¨argmised omadused. 1 Maatriksite liitmine on assotsiatiivne, s.o. mistahes kolme maatriksi X, Y, Z M at(m, n) korral (X + Y ) + Z = X + (Y + Z). (1.19) 2 Iga X M at(m, n) ja nullmaatriksi M at(m, n) korral X + = X, + X = X. 3 Iga X M at(m, n) ja tema vastandmaatriksi -X M at(m, n) korral kehtib X + (-X) = , (-X) + X = . 4 Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.o. mistahes kahe maatriksi X, Y M at(m, n) korral X + Y = Y + X. Enne kui t~oestame need omadused, m¨argime, et t~oestused tuginevad tegelikult reaalarvude omadustele (1.11) - (1.15). T~oestuste l¨abiviimisel kasutame maatriksite liitmise definitsiooni kompaktsel kujul, mis antakse valemitega (1.17) ja (1.18)
12 valem (1.16) ei lase end rakendada. Maatriksite liitmisel on j¨argmised omadused. 1◦ Maatriksite liitmine on assotsiatiivne, s.o. mistahes kolme maatriksi X, Y, Z ∈ M at(m, n) korral (X + Y ) + Z = X + (Y + Z). (1.19) 2◦ Iga X ∈ M at(m, n) ja nullmaatriksi θ ∈ M at(m, n) korral X + θ = X, θ + X = X. 3◦ Iga X ∈ M at(m, n) ja tema vastandmaatriksi −X ∈ M at(m, n) korral kehtib X + (−X) = θ, (−X) + X = θ. 4◦ Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.o. mistahes kahe maatriksi X, Y ∈ M at(m, n) korral X + Y = Y + X. Enne kui t˜oestame need omadused, m¨argime, et t˜oestused tuginevad tegelikult reaalarvude omadustele (1.11) − (1.15). T˜oestuste l¨abiviimisel kasutame maatriksite liitmise definitsiooni kompaktsel kujul, mis antakse valemitega (1
olema u ¨hesugused. Lause 1 (nullmaatriksi neutraalsus). A + 0 = A = 0 + A T~ oestus. T~oepoolest (A + 0)ij = aij + 0ij = aij + 0 = aij = 0 + aij = 0ij + aij = (0 + A)ij 4 II. Maatriksarvutus 1.7 Vastandmaatriks Maatriksi A vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit -A := (-1)A. Teiste s~onadega, vastandmaatriksi elemendid on maatriksi elementide vastandarvud, s.t (-A)ij := -aij . Lause 2. A + (-A) = 0 = -A + A T~ oestus. T~oepoolest [A + (-A)]ij = aij + (-A)ij = aij - aij = 0 = 0ij = -aij + aij = (-A)ij + aij = [-A + A]ij 2 Maatrikstehete omadusi 2.1 Elementaarsed omadused Maatrikstehete lihtsamaid omadusi kirjeldame j¨argmiselt. Teoreem 3. Olgu A, B, C u
annaabi.ee 
