TUGEVUSÕPETUS KORDAMISKÜSIMUSED (0)

1. Materjali käitumine koormamisel (reoloogilised mudelid, konstruktsioonimaterjalide mudelid,  materjali seisundid).
Konstruktsioonimaterjalide teimimisel saadud ulatuslikku andmestikku üldistab mehaanika haru 
reoloogia, mis tegeleb keskkonna (selle terminiga haaratakse tahkist ja vedelikku) deformeerumise ja 
voolamisega.  Reoloogilised mudelid: Reoloogia on kindlaks teinud, et reaalsete materjalide koormamisel avalduvaid mitmekesiseid omadusi 
saab kirjeldada kolme põhiomaduse kaudu, milleks on elastsus, plastsus ja viskoossus. Elastsuse all 
mõistetakse materjali vastupanu sõltumatust koormamiskiirusest ja võimet täielikult taastada esialgne 
seisund peale koormuse kõrvaldamist. Plastsus on materjali võime piiramatult deformeeruda ja tekkinud 
deformatsiooni säilitada. Viskoossus on materjalis tekkiva pinge sõltuvus deformeerumiskiirusest. 
Põhiomaduste kombinatsioonideks on mitmesugused liitomadused. 
Reoloogia põhineb aksioomil, et igal reaalsel tahkel kehal või vedelikul on kõik reoloogilised 
põhiomadused, mis ainult erinevates tingimustes avalduvad erineval määral. 
Sellist idealiseeritud keskkonda (materjali), millel avaldub ainult üks põhiomadus, nim reoloogiliseks 
mudeliks ehk kehaks. 
a. Hooke’i tahke keha – põhiomadus on lineaarne elastsus, mida kirjeldab sirgjooneline sõltuvus  moonde ja vastava pinge vahel tõmbediagrammil ning nende suuruste üksühene vastavus. Hooke’i 
keha näitlikustatakse tavaliselt keerdvedruga, mille pikenemine on rakendatud koormusega 
võrdeline.  b. Saint-Venanti kehal väljendub elastsus. Väikeste pingete juures jääb Saint-Venanti keha absoluutselt  jäigaks, voolepiiril aga hakkab piiramatult ja pöördumatult deformeeruma, voolama. Pinge 
langemisel deformeerumine lakkab, kuid säilib tekkinud jääkmoone ehk plastne moone. Selliste 
omadustega materjali nim ka jäikplastseks. Keha näitlikustatakse kokkusurutud hõõrdepaariga, 
milles poolte vastastikuse asendi muutumine on võimalik ales peale hõõrdetakistuse ületamist.  c. Newtoni vedeliku omaduseks on lineaarne viskoossus, pinge võrdeline sõltuvus  deformeerumiskiirusest. Sellist ainet näitlikustatakse auto konstruktsioonis tuntud amortisaatoriga, 
milles kolb saab liikuda vaid täitevedeliku ümbervoolamisel silindri ühes poolest teise. Amortisaator 
ei pane vastu aeglasele koormamisele, kuid vastupanu suureneb kolvi liikumiskiiruse kasvamisel.  Konstruktsioonimaterjalide mudelid: Toatemperatuuril enamiku metallide ja kivimaterjalide deformeerumisel avaldub reoloogilistest põhiomadustest 
viskoossus nii vähesel määral, et seda omadust võib hüljata. Elastsuse ja plastsuse ilmnemise järgi jaotatakse 
neid materjale habrasteks ja plastseteks. a. Hapraks loetakse materjali, mis puruneb väikese moone juures, nii et ka plastsust iseloomustav  jääkmoone jääb tühiseks. Haprad materjalid malm, karastunud teras, graniit. Habras materjal jääb nii 
tõmbel kui ka survel ligilähedaselt elastseks kuni purunemisseisundini. Seda käitumist lähendab 
piisavalt Hooke’i keha. Purustava pinge absoluutväärtust nim tugevuspiiriks. Tugevuspiiri tõmbel nim 
ka materjali tõmbetugevuseks, tugevuspiiri survel survetugevuseks. Haprale materjalile on iseloomulik, 
et tõmbetugevus on oluliselt väiksem survetugevusest.  b. Kõiki materjale, mis purunevad olulise moone tekkimise järel, haaratakse sitke materjali mõistega. Neist plastseteks loetakse materjali, millel purunemishetkeks moodustub märgatav jääkmoone. Nt 
madalsüsinikteras, vask, alumiinium. 


Plastse materjali käitumise lähendamisel on levinud 2 mudelit. Ideaalselt elastoplastse materjali mudel, 
Prandtli keha, kirjeldab madalsüsinikteraste omadusi. Materjal käitub väikeste pingete korral nii tõmbel 
kui ka survel Hooke’i kehana. Kui aga edasisel deformeerumisel pinge tõuseb voolepiirini, siis materjal 
muutub plastseks ja muutub ja hakkab käituma Saint-Venanti kehana, mille moone kasvab pidurdamatult
ja pöördumatult. Kui pinge langeb, muutub materjal elastseks ja omandab Hooke’i keha omadused. 
Pinge vähenemisel elastne moone vähehaaval kaob. Pinge täielikul kadumisel ilmneb jääkmoone. 
Plastse metalli teise mudeliga, kalestuva elastoplastse materjali mudeliga, lähendatakse paljude 
kesksüsinikteraste ja legeerteraste käitumist mõõdukate moonete piires. Väikeste moonete puhul on 
tegemist Hooke’i kehaga. Elastse piirkonna lõpu määrab tinglik voolepiir – pinge, mille juures tekib 
küllalt suur jääkmoone. 
Suurte moonete korral, mis väljuvad kirjeldatud mudelite raamidest, hakkavad mõlemad mudelid 
käituma ühesuguselt. Nimelt ka ideaalselt elastoplastne metall kalestub ja tema vastupanu 
deformeerimisele suureneb nagu kalestuval elastoplastsel metallilgi. Proovikeha käitumine tõmbel ja 
survel hakkab erinema. 
Purunemisele vastavat proovikeha keskmist jääkmoonet nimetatakse katkevenivuseks, mida kasutatakse 
materjali plastsuse karakteristikuna.  Konstruktsiooni tugevusprobleemide lahendamisel peab tundma materjali mehaanilisi omadusi, mida 
iseloomustavad: a. Elastsuskonstandid E, v, G, mis iseloomustavad materjali käitumist Hooke’i seaduse kehtivuse piires
b.   Piirpinged ja deformatsioonid, mis iseloomustavad metrjali käitumist väljaspool Hooke’i seaduse  kehtivuspiire. Nende täpseks määramiseks on tähtis jälgida katsemetoodikat, selleks et saadud 
tulemused oleksid omavahel võrreldavad. Standardmeetodiga läbiviidavat materjali karakteristiku 
määramist nimetatakse teimiks. Konstruktsioonimaterjalide mehaaniliste omaduste selgitamisel on 
keskne koht tõmbe- ja surveteimil.  Materjalide teimimise järeldused: 1. Plastse materjali puhul (teras, alumiinium) on voolupiir piirpingeks, mille järgi materjalis tekkivad  suured jääkdeformatsioonid ja konstruktsioonis esineb purunemise oht. 2. Hapra materjali puhul (malm, betoon) ohutu pinge peab olema vahemikus, mida piiravad tõmbetugevus  ja survetugevus. Materjali seisundid: Konstruktsioonimaterjali mehaanikalised omadused ei ole üheselt määratud. Madalsüsinikteras ühtedes 
tingimustes on elastses seisundis, teistes plastses seisundis, kolmandas purunemisseisundis. Põhiliseks seisundit 
määravaks mõjuriks peetakse pingust.  Purunemisele eelnev materjali seisund mõjutab purunemise iseloomu. Kui piirduda ühekordse monotoonselt 
kasvava koormuse käsitlusega, siis eristatakse kaht purunemistüüpi. Habras purunemine toimub materjali 
rebestumisena, et pragu areneb risti suurimate tõmbepingete suunaga. Purunemisprotsessi mingis staadiumis 
muutub prao areng salvestunud deformatsioonienergia toimel pidurdamatuks. Plastne purunemine toimub peale 
keha olulist plastset deformeerumist umbes 45° all suurimate tõmbepingete suunaga. See on vähemohtlik, sest 
areneb aeglasemalt ja nõuab energia juurdevoolu koormuse suurendamise kaudu.  Reoloogia tegeleb keskkonna deformeerimise ja voolamisega.
Kujutatakse kolme põhiomadust:


•    Elastsus - materjali vastupanu sõltumatust koormamiskiirusest ja võime taastada esialgne kuju.
•    Plastsus - võime piiramatult deformeeruda ja säilitada tekkinud kuju
•    Viskoossus - materjalis tekkiva pinge sõltuvus deformeerumiskiirusest.
Reoloogilised mudelid (avaldub 1 põhiomadus) 1.    Hooke´i keha- lineaarne elastsus
2.    Saint-Vernanti keha-voolepiiril hakkab piiramatult ja pöördumatult voolama. Pinge langemisel 
säilitab tekkinud jääkmoonde.
3.    Newtoni vedelik-lineaarne viskoossus Konstruktsioonide mudelid
Materjalid jagatakse : plastsed, haprad Hapra materjali moone- pinge sõltuvuse lähendamine Hooke´i keha abi. 
Habras materjal jääb elastseks kuni purunemisseisundini.
Iseloomulik, et tõmbetugevus on oluliselt väiksem survetugevusest


Prandtli keha mudelid kirjeldavad plastset materjali. a. ideaalset elastoplastset materjali. b. kalestuvat 
elastoplastilist matrjali a.       OA- käitub Hooke´i kehana AB-materjal muutub plastseks
CD-pinge kadumisel moone vähe haaval kaob
OD-pinge täielikul kadumisel ilmunud jääkmoone Materjali seisundid
Materjal võib olla nt ühtedes tingimustes elastses seisundis, teistes plastses seisundis ja kolmandas 
purunemisseisundis.
Seisust määravaks mõjuriks peetakse pingust.   Habras purunemine - pragu areneb risti suurematele tõmbepingetele
 Plastne purunemine - peale olulist deformatsiooni u 45º suurimate tõmbepingete suunaga. 2. Materjali käitumise erisusi (temperatuuri, aja, koormamiskiiruse, vahelduvkoormuse mõju). Temperatuuri mõju: Temperatuuri tõusul metallide tugevuskarakteristikud (voolepiir, tugevuspiir) ja elastsusmoodul vähenevad, 
plastsust iseloomustav katkevenivus aga suureneb. Temperatuuri alanemisel on asi vastupidine. Neid 
protsesse kirjeldavad seaduspärasused võivad konkreetsete materjalide puhul olla üsnagi individuaalsed, 
mistõttu projektarvutuste lähteandmetena on vajalikud kavandatava materjali teimitulemused (temperatuuri 
alanemisel voolpiir ja tugevuspiir tõusevad, kuid ilmneb äärmiselt tülikas külmahaprus, mis seisneb 
plastsuse olulises vähenemises. Külmahaprus võib olla põhjustatud konstruktsiooni purunemise 
pingekonsentratsiooni piirkonnas või dünaamilisel koormamisel.  Aja mõju: Täpsed mõõtmised näitavad paljude konstruktsioonimaterjalide viskoossust: elastne deformatsioon ei teki 
koormamisel hetkeliselt, vaid nõuab arenemiseks teatavat aega. Nähtust, mis seisneb elastse moone 
kasvamises ka peale koormamise lõppu ja kadumises mõni aeg peale koormuse eemaldamise lõppu, nim 
viskoelastsuseks ehk elastseks järelmõjuks.  Materjali kestval töötamisel kõrge temperatuuri juures lisandub viskoossusele plastsus. Viskoplastsuse 
avaldumisvormideks on roome ja pingerelaksatsioon. Roomeks nim plastse deformatsiooni aeglast kasvu 
sellise püsiva pinge juures, mille lühiajaline mõju põhjustab vaid elastset deformeerumist. Roome 
tekkimiseks vajalik temperatuur on süsinikterasel 300°C, betoonidel ja plastidel toatemperatuur. 


Roomel on 2 aspekti. Kõigepealt võib roome põhjustada detaili mõõtmete lubamatut muutumist. Nt võivad 
gaasiturbiini rootori labad sellisel määral pikeneda, et satuvad kontakti töökambri seintega. Vajalik 
roomepiir – suurim pinge, mille rakendamisel roomemoone teatava aja välte ei ületa etteantud suurust. 
Määratakse eksperimentaalselt roomekiiruse registreerimise teel. Teiseks aspektiks materjali purunemise 
võimalus mingi pinge juures, mis lühiajalisel mõjumisel ohtu ei kujuta. Seda nähtust iseloomustab 
kestustugevuse kõver, mis näitab tugevuspiiri muutumist ajas mingi kindla temperatuuri juures. Materjali 
karakteristik kestustugevuse piir – pinge, mille juures materjal mingil temperatuuril ei purune enne etteantud
tähtaega. Kestustugevuse nähtus sunnib registreerima kõrgel temperatuuril töötava seadme tööaega.  Koormamiskiiruse mõju: Deformeerumiskiiruse suurenedes sama materjali käitumine muutub. Elastset deformeerumist väljenduva 
sirgjoone kulg jääb samaks, kuid plastse deformatsiooni arenemine pidurdub ja platse materjali 
tõmbediagramm hakkab lähenema hapra materjali omale. Tõusevad nii voolepiir kui ka tugevuspiir koos 
samaaegse katkevenivuse vähenemisega. Vahelduvkoormuse mõju: Sageli mõjuvad konstruktsioonielementidele (masina – ja sõidukidetailidele) sellised koormused, mis 
tekitavad ajas muutuvaid vahelduvpingeid, millega kaasnevad vastavad vahelduvmoonded. Pinge 
paljukordsel vaheldumisel võib element hapralt puruneda tugevuspiirist märksa madalama pinge juures.  Soodsates tingimustes põhjustab vahelduvpinge materjalidefektidega seotud mikropragude arenemist, mis 
võib viia makroprao tekkele. Kui see on olulise osa detailist läbi lõiganud, siis detail puruneb töötava 
ristlõike vähenemise tõttu. Purunemishetkel tekkiv pinge on madal ainult näiliselt, kui arvutus toimub detaili
kogu ristlõike järgi. Sellist kahjustuste järkjärgulist arenemist nim väsimuseks, tekkivat makropragu 
väsimuspraoks ja materjali võimet väsimusele vastu panna väsimustugevuseks. Väsimust saab ära hoida 
madala tööpinge tekitamisega. Perioodilise vahelduvpinge väärtuste hulka tema muutumise ühe perioodi 
vältel nim pingetsükliks, mille iseloomustamiseks kasutatakse suurusi – maksimumpinge, miinimumpinge, 
keskpinge, amplituudpinge, asümmeetriategur R. Võrdse asümmeetriateguriga pingetsükleid loetakse 
sarnasteks. Sarnaste tsüklite iseloomulikuks jooneks on see, et amplituudpinge moodustab kindla osa 
keskpingest. Kõik nullist erineva keskpingega tsüklid on asümmeetrilised. Asümmeetrilise tsükli erijuhtum 
on pulsatsioonitsükkel, mille R=0. Staatilise, ajas püsiva pinge R=1.  Materjalide ohutu pingetsükli kvantitatiivseks iseloomustamiseks kasutatakse väsimuspiiri mõistet. 
Väsimuspiir on suurim pinge, mida materjal talub purunemata kui tahes paljude tsüklite vältel. Oma loomult
on ta samalaadne tugevuspiiri ja voolepiiriga, mis iseloomustavad materjali vastupanu ühekordsele 
koormamisele. Väsimuspiir määratakse uuritavast materjalist proovikehade sarja teimimisega 
väsimusmasinas. Praktiliselt loetakse väsimuspiiriks suurimat pinget, mida materjal talub purunemata küllalt
suure baasi juures.  Konstruktsioonielement võib aga olla koormatud selliselt, et igas tsüklis lisandub esialgsele elastsele 
deformatsioonile plastne deformatsioon. Sel juhul on purunemistsüklite arv oluliselt väiksem kui ainult 
elastsel deformeerumisel. Metalli purunemist korduval elastsoplastsel  deformeerumisel nim elastoplastseks 
väsimuseks. Metalli purustamiseks piisab kümnekorrast tsüklist. 


3. Konstruktsiooni tugevusarvutus. Kasutamise käigus konstruktsiooni koormatase. Lihtkoormamine – kõik rakendatavad jõud kasvavad 
samaaegselt ja on võrdelised ühe parameetriga F. Tugevusarvutusega taotletakse koormuse ohutust 
konstruktsioonile. Koormuse ohutuse saab mõõta varuteguriga S, S=Fdam/F (F – konstruktsioonile mõjuv 
koormus, Fdam ohtlik koormus). Varutegur näitab, mitu korda  võiks koormust suurendada, enne kui tekib 
konstruktsiooni ohtlik seisund.  Piisava ohutuse saavutamiseks peab olemas rahuldatud konstruktsiooni tugevustingimus, mis väljendab 
mõtet, et tegelik varutegur ei tohi olla väiksem vajalikust ehk nimivarutegurist. Valitakse kogemuslikult, 
peab tagams nii konstruktsiooni ohutuse kui ka ökonoomsuse. Liiga väikese varuteguri korral pole tagatud 
ohutus, liiga suure puhul sisaldab konstruktsioon liigset materjali.  Konstruktsioonimaterjalidega seotud mõjuritest märgime:  Materjali ühtlust (nt puidu karakteristikud hälbivad märksa rohkem kui terase omad, sp tuleb  kasutada suuremat varutegurit)  Materjali ohtliku seisundi iseloomu (purunemine on ohtlikum kui plastne deformeerumine ja nõuab  suuremat varutegurit) Konstruktsiooni kui tervikuga seotud mõjuritest võib nimetada:  Konstruktsiooni vastutusrikkust (nt lennuki puhul on vajalik suurem varutegur kui laohoone korral)
 Koormuse eelhindamise võimalust (nt vedeliku surve reservuaaris on täpselt teada, samal ajal kui  lainelöögi survet laevale on raske hinnata ja võimalikku viga tuleb kompenseerida varuteguri kaudu)  Arvutusskeemi kvaliteeti (mida ligikaudsemal arvutusskeem lähendab tegelikkust, seda suurem peab  olema varutegur) 2 tugevusarvutuse meetodit – piirkoormusemeetod ja piirpinge meetod. Piirkoormuse meetod peab ohtlikuks
sellist koormust, mis põhjustab konstruktsiooni piirseisundi. Piirseisundis konstruktsioon kaotab 
kandevõime kas purunemise või siis olulise plastse deformeerumise tõttu; vastavat koormust nim 
piirkoormuseks. Meetod taotleb piirseisundi tekke vältimist. Hapra materjali puhul piirkoormust lihtne leida,
plastse materjali puhul raskem. Kasutatakse ehituskonstruktsioonide projekteerimisel, millele mõjuv 
koormus on suhteliselt põsiv või vähekordsete maksimumidega, nii et elastne ega ka elastoplastne väsimus 
ei kujuta ohtu.  4. Piirpinge meetod. Piirpinge on pinge, mis vastab piirseisundi tekkele, kus konstruktsioonimaterjal kas puruneb või omandab 
suuri jääkdeformatsioone. Piirpingeks sitke materjali puhul (teras, alumiinium) on voolupiir  Ϭy: Piirpingeks hapra materjali puhul (malm, betoon) on tugevuspiir: tõmbetugevus või survetugevus:


(Laialdasemalt kasutust leidnud meetod. Piirpinge meetodi kohaselt on konstruktsioonil ohtlik koormus, mis
kasvõi ühesainsas punktis põhjustab materjali ohtliku seisundi. Konstruktsioon on töökindel ainult juhul, kui
ta jääb terves ulatuses elastsesse seisundisse. Üleminekule ohutust elastsest seisundist ohtlikku vastab 
materjali piirseisund. Masinate ja transpordivahendite puhul domineerivad muutuvad koormused; nende 
projekteerimisel kasutatakse piirpingemeetodit.  Piirpinge meetod peab ohtlikuks koormust, mis tekitab mõnes konstruktsiooni punktis piirpinge. Selleks 
võib olla olenevalt materjali tüübist, koormuse iseloomust ja kasutamistingimustest kas tugevuspiir, 
voolepiir, väsimuspiir või ka kestustugevuse piir, roomepiir. Tugevustingimuse rakendamiseks tuleb leida 
seos koormuse ja ohtlikemas punktis tekkiva pinge vahel.  Pannes selle võrduma pinge piirpingega, saab 
leida ohtliku koormuse. )   Tugevusarvutus tõmbel ja survel: Tugevustingimus omab lihtsa kuju, kuna varda igas punktis leiab aset joonpingus: . Joonpinguse korral on vaid üks nullist erinev peapinge, mille suurust tuleb kontrollida.  Piirpingemeetod peab ohtlikuks koormust, mis tekitab mõnes konstruktsiooni punktis piirpinge  σlim. Selleks  võib olla olenevalt materjali tüübist, koormuse iseloomust ja kasutamistingimustest kas tugevuspiir, voolepiir, 
väsimuspiir või ka roomepiir jne.
Tuleb leida seos koormuse ja ohtlikemas punktides tekkiva pinge vahel. Võrrutades selle pinge piirpingega saab
leida ohtliku koormuse Fdam. Inseneripraktikas üldjuhul lineaarselt töötavad konstruktsioonid. Sarnaste kolmnurkade kaudu saab:


Kuna Fdam/F esindab varutegurit S, siis sellest tulenevalt: Need avaldised on praktilises töös tugevustingimuse põhikujudest mugavamad. Mitte-
lineaarsete töötavate konstruktsioonide korral neid kasutada ei saa.  Võrdpinge määramisel on kaks lähenemisviisi: Klassikalised piirseisundikriteeriumid – esitatakse hüpotees piirseisundi tekke peapõhjuse kohta. Valitud 
mõjur väljendatakse peapingete funktsioonina. Teooria õigsust kontrollitakse katseliselt.  Fenomenoloogilised kriteeriumid – teimi tulemuste analüüsi põhjal tehakse selgeks, mis tingimusel tekib 
piirseisund.  5. Lubatava pinge võte. Lubatavate pingete meetod on üks arvutusmeetoditest, mis hindab konstruktsiooni tugevust pingete alusel. 
Tugevuskriteeriumiks on pinge. Tugevustingimus: konstruktsioonis esinevad pinged ei tohi ületada 
lubatavat pinget.   Lubatavaks pingeks on piirpinge, mida on vähendatud nominaal varutegur Sn korda: varutegur on ühest suurem arv, mida tavaliselt annavad ette ehitusnormid. Varutegur  sõltub peamiselt materjali omadustest, konstruktsiooni vastutusrikkusest ja koormuste suuruse ja iseloomu 
prognoosi täpsusest.  (Lubatava pinge võte on piirpingemeetodi erijuhtum lineaarselt töötavate konstruktsioonide arvutamiseks, 
milles põhiliseks karakteristikuks on lubatav pinge. Selle võtte aluseks on tugevustingimuse kuju, mille 
kasutamiseks tuleb määrata materjali piirpinge. Piirpinge leidmine sõltub sellest, kas vaadeldavas punktis on
joonpingus või liitpingus, mille all mõistame nii tasand- kui ka ruumpingust. Joonpinguse eriseisund 
liitpingusega võrreldes on tingitud sellest, et seda pingust on lihtne tekitada tõmbeproovikehas või 
surveproovikehas.  Tugevustingimuses esinevat pinge taset, mida tegelikult esinev pinge ei tohi ületada, nim lubatavaks 
pingeks. Ühekordsel koormamisel on hapra materjali piirpingeks tugevuspiir. Et selle materjalitüübi 


tõmbetugevus on üldiselt survetugevusest väiksem, siis ka lubatav tõmbepinge on väiksem lubatavast 
survepingest. Plastse materjali piirpingeks on voolepiir, mis tõmbel ja survel ligilähedaselt ühtib. ) 6. Tugevuskriteeriumid. 1. Suurima nihkepinge kriteerium (III tugevuskriteerium) – kriteerium põhineb hüpoteesil, et  piirseisund tekib sõltumatult pingusest siis, kui suurim pinge saavutab teatud iseloomuliku 
väärtuse. Katseline kontroll on näidanud, et suurima nihkepinge kriteerium kirjeldab hästi 
plastsuse sellise materjali piirseisundina, mille käitumine tõmbel ja survel on ühesugune (nt 
süsinikteras). Seda kriteeriumi ei saa kasutada habraste materjalide jaoks, sest teatavasti 
tõmbeproovikeha puruneb ristlõiget mööda, surveproovikeha aga kaldpragude moodustumisega.  Liitpinguse korral suurimad nihkepinged leitakse valemiga: Tõmbel suurimad nihkepinge leitakse valemiga: Püstitatud hüpoteesi kohaselt on joonpingus võrdohtlik liitpingusega siis, kui mõlema  pinguse suurimad nihkepinged on võrdsed.  Võrdpinge leidmiseks tuleb võrdsustada kahe pinguse nihkepinged: III teooria võrdpinge: katseline kontroll on näidanud, et suurima nihkepinge kriteerium kirjeldab hästi  plastsuse teket materjalides, mille käitumine tõmbel ja survel on ühesugune (teras). Ei sobi habrastele 
materjalide puhul (malm). 2. Kujumuutuse energia kriteerium – piirseisund tekib sõltumatult pingusest siis, kui  kujumuutusega seotud deformatsioonienergia tihedus saavutab mingi iseloomuliku väärtuse. 
Katseline kontroll on näidanud, et ka kujumuutuse energia kriteerium sobib hästi plastsuse tekke 
kirjeldamiseks materjalis, mille käitumine tõmbel ja survel on ühesugune. Kujumuutumisnähtus 
on seotud materjalis toimuvate nihetega. 
Hüpotees: piirseisund tekib siis, kui kujumuutusega seotud deformatsioonienergia saavutab 
teatud piirväärtuse. 


IV teooria võrdpinge  Võtame näiteks risttahuka. Selleks, et risttahuka kuju ei muutuks, peavad tema küljed võrdselt 
deformeeruma. Siis kui kuubi kuju jääb kuubiks, kuigi tema ruumala muutub. Kui on antud peapinged  1,  2 ja  3, siis ruumala muutust põhjustab keskmine peapinge: Ϭ Ϭ Ϭ mida nimetatakse hüdrostaatiliseks pingeks. Peapinged hüdrostaatilise pinge ja hälbe summana: saadud avaldistest selgub, et mistahes pingus võib olla alati esitatud kahe  pinguse summana: hüdrostaatiline pinge põhjustab ainult mahumuutust (kuju jääb samaks), hälve 
põhjustab ainult kujumuutust (maht jääb samaks) 3. Mohr’i tugevuskriteerium – katselised tulemused näitasid, et hapra materjali piirseisundi tekkel  on peamine roll äärmistel peapingetel  1 ja  3, millele vastab piirring  Ϭ Ϭ Mohr’i teooria võrdpinge: Plastsel materjalil on võrdne voolupiir tõmbel ja survel, siis n=1 ning saame III  teooria võrdpinge. Seega tegemist on III teooria üldistusega habrastele materjalidele.


7. Varda tugevusarvutus lubatav pinge võttega:  Üldmetoodika – varrast võib pidada tugevaks, kui kõigis punktides on küllaldase varuga  välistatud materjali piirseisundi teke. Selleks peab kõigis punktides olema rahuldatud 
tugevustingimus. Tugevustingimuse rahuldamist punktide lõpmatus hulga võimaldab saavutada 
metoodika, mille kohaselt piirdutakse ainult üksikute ristlõigete ja nendes mõnede punktide 
uurimisega. Selle metoodika kohaselt tugevusarvutus sooritatakse järgmises järjestuses:
a. Ohtliku ristlõike määramine – selgitatakse varda sisejõud, need esitatakse püüridena.  Sisejõudude kaudu määratakse varda ohtlik ristlõige. Kui ühtlases vardas esineb ainult üks 
sisejõud, siis ilmselt ohtlik on suurima sisejõuga ristlõige. mitme sisejõu samaaegsel 
esinemisel on ohtlik see ristlõige, milles suured on kaks või enam sisejõudu. Vahel pole 
ohtliku lõike asukoht silmnähtav. Sellistel juhtudel valitakse inseneripraktikas enamasti kaks 
või rohkem võimalikku ohtlikku punkti. Ohtlik ristlõige – koht, kus mõjuvad ekstremaalsed 
sisejõud.  b. Ristlõike ohtliku punkti määramine – leitakse üksiksisejõududele vastavad pinged, esitatakse  need püüridena. Valitakse nende põhjal ohtlik punkt. Mitme sisejõu puhul selgitatakse, 
millises punktis tekkiv pingete kombinatsioon võib põhjustada ohtlikema pinguse.  c. Ohtliku punkti tugevusarvutus – selgitatakse pinguse iseloom valitud punktis, seejärel  taotletakse punkti tugevustingimuse rahuldamist. Nulljoonest kaugemates kihtides on 
joonpingus. Varda arvutamisel esineb kolm tugevustingimuse kuju: 1. Joonpingus – konstruktsioonis esinevad peapinged ei tohi ületada lubatavat pinget 2. Tasandpingus – 
3. Nihkepingus – tasandpinguse erijuhtum.   Tugevusarvutus pikijõule – eeldame, et varda ohtlikus ristlõikes esineb ainult pikijõud N, muus  sisejõud kas puuduvad või on väikesed. Selle lõike mis tahes punktis esinev pinge on peapinge ja
seejuures ainus nullist erinev pinge. Seega on ristlõike kõik punktid joonpinguses ja ristlõike 
tugevus tagatud. 
1. Sisejõudude leidmine – arvutusskeem
2. Varraste ristlõigete pinnakarakteristikute leidmine
3. Tugevuskontroll (kui tugevus ei ole tagatud, tuleb varras uuesti dimensioneerida või  vähendada koormust)  Tugevusarvutus väändemomendile – juhtum, kus varda ohtlikus ristlõikes esineb ainult  väändemoment või teised sisejõud on hüljatavalt väikesed. Sel juhul on ristlõike kõigis punktides
nihkepingus. Ohtlikud punktid paiknevad ristlõike servas. 
Tugevusarvutus:  Tugevusarvutus paindemomendile – tugevusarvutus paindemomendile toimub juhul, kui  ristlõikes mõjub kas ainult My või ainult Mz ja ka siis, kui teiste sisejõudude osatähtsus on väike.


Suurimad paindepinged esinevad ohtliku ristlõike punktides, mis paiknevad nulljoonest suurimal
kaugusel. Et paindepinge on peapinge ja seejuures ainus nullist erinev peapinge, siis on ohtlikes 
punktides peapingus. 
Tugevusarvutus: Erijuhtumid:
1. Ristlõige on nulljoone suhtes sümmeetriline – suurim tõmbepinge ja suurim survepinge on  absoluutväärtuselt võrdse ja neid arvutatakse ristlõike tugevusmomendi abil. Kui materjali 
tõmbetugevus on väiksem kui survetugevus (nt malm), siis tugevustingimusse viiakse neist 
väiksem.  2. Ristlõige on nulljoone suhtes mittesümmeetriline – suurim tõmbepinge ja suurim survepinge  on absoluutväärtuselt erinevad ja nad arvutatakse enamasti paindepinge üldvalemiga.  Liittugevusarvutus
 Tugevusarvutuse üldjuhtum  Pingekontsentraatorite mõju varda tugevusele – järskude ristlõigete muutuste läheduses ilmnevad pingevälja häired, mida nimetatakse pingekontsentratsiooniks, nähtuse põhjust (ava, siseslõiget 
vms)  aga kontsentraatoriks. 
Varda üks otslõige on ühendatud  teisega peapingete kulgjoontega, mille sihis toimub 
intensiivseim jõuülekanne materjaliosakeste vahel. Varda servas toimub see kõige otsemat 
teedpidi ja vastav kulgjoon on sirge. Ava  kohal peavad kulgjooned mööduma avast, mistõttu nad
kuhjuvad ava kõrval ja pinge on suurem. Pingeseisundit kontsentraatorite lähedases piirkonnas 
võib uurida näiteks numbriliste meetodite abil, milles kogu konstruktsioon jagatakse 
elementideks ning lahenduse käigus leitakse pinged igas elemendis. Lõplike elementide meetodi 
abil võib määrata pingeseisundit mistahes keerulise kujuga konstruktsioonis, kaasaarvatud 
pingekontsentraatori lähedal. Varda painutamine pingekontsetraatori olemasolu. Väljalõike kohal
on suured pinged, mis kutsuvad esile prao teket. 
Arvuliselt iseloomustatakse pingekontsentratsiooni teoreetilise kontsentratsiooniteguriga


kus max  on kohaliku pinge suurim väärtus ja  Ϭ Ϭn on nimipinge  (nominaalne pinge), mis arvutatakse eeldusel, et pingekontsentratsiooni ei esine. 
Habras materjal, erinevalt plastsest, satub pingekontsentraatori korral purunemise ohtu. Hapra 
materjali puhul iseloomustatakse pingekontsentratsiooni mõju efektiivse 
kontsentratsiooniteguriga, mis määratakse katseliselt ühest ja samast materjalist ilma 
kontsentraatorita ja kontsentraatoriga proovikeha tugevuspiiride võrdlemisel.   Väsimustugevus – sageli mõjuvad konstruktsioonielementidele (eriti masinaelementidele)  sellised koormused, mis tekitavad ajas muutuvaid vahelduvpingeid. Pinge paljukordsel 
vaheldumisel võib element hapralt puruneda tugevuspiirist märksa madalama pinge juures. 
Vahelduvpinge soodustab mikropragude arenemist, mis võib viia makroprao tekkele. Kui see on 
olulise osa ristlõikest läbi lõiganud, siis detail puruneb töötava ristlõike vähenemise tõttu. Sellist 
kahjustuse järkjärgulist arenemist nimetatakse väsimuseks ning tekkivat makropragu 
väsimuspraoks. 
Väsimuspiir on suurim pinge, mida materjal talub purunemata kui tahes paljude tsüklite vältel. 
Konkreetse teguriga R väsimuspiir määratakse proovikehade sarja teimimisega spetsiaalses 
katsemasinas. Tulemused Wöhleri diagrammina. 
Väsimustugevuse diagramm – kasutatakse asümmeetrilise tsükli puhul. Iga väsimuskõver annab 
ühe punkti diagrammi.  8. Varda deformatsioonid: Deformatsiooniks nimetatakse varda mõõtmete ja kuju muutust. Igale varda sisejõule vastab 
põhideformatsioon, kitsamas mõttes deformatsiooniks nimetatakse ka moondeid (suhtelisi deformatsioone). 
Deformatsioon kirjeldab materjaliosakeste omavahelise asendi muutumist konstruktsiooni punktis ja annab 
deformatsiooniolukorra pildi varda punktides. Varda deformatsiooni kui tervikut kirjeldatakse tema 
deformeerunud telje asendi kaudu ehk telje siiretega. Seega siirded arvetavad kogu varda deformatsiooni. 


Deformeerunud konstruktsiooni telje punktid võtavad uue asendi. Varda telje punktide asukohtade muut on 
siire, mida mõõdetakse telje algasendi suhtes. Siire on vektor, mis on suunatud punkti algasukohast 
lõppasukohta.   Pikkedeformatsioon - varda telje sihiline deformatsioon (pikenemine ja/või lühenemine)  a. jõu F väärtuse suurenedes venib varras pikemaks (surve puhul läheb samaväärselt lühemaks)
b. igale jõu F väärtusele vastab teatav pikenemine ehk pikideformatsioon ∆l
c. jõu F vähenedes deformatsioon ∆l väheneb osaliselt või kaob täielikult
d. varda pikkuse muutuse ∆l väärtus vastava koormuse F väärtuse mõjudes sõltub materjali  omadustest ja ristlõike pindalast e. varda pikkuse muutuse ja seda esile kutsunud koormuse väärtuste sõltuvus on lineaarne  (Hooke’i seadus) Pikkedeformatsioon: Pikijõu mõjul toimuv varda deformeerumine väljendub kas varda ristlõigete omavahelises
eemaldumises (tõmbejõud) või lähenemises (survejõud) koos varda samaaegse ahanemise või jämenemisega
(skeem a;b).
Deformeerumise   intensiivsust   vaadeldavas   kohas   saab   iseloomustada   kujuteldava   ühikpikkusega   lõigu
pikenemisega: pikkedeformatsiooni intensiivsus ehk pikkeprinkus.


N – põikjõud
EA – pikkejäikus Ühtlase varda deformatsioon püsivast sisejõust: Astmeliselt muutuv pikijõud või ristlõige: Keerukalt muutuv pikijõud konstantse ristlõikega vardas:     
Pidevalt muutuva ristlõikega varras:       Paindedeformatsioon – Deformatsiooni all mõistetakse keha osakeste nihkumist üksteise suhtes  või nendevahelise keskmise kauguse muutumist. Kui kinnitada elastse varda üks ots liikumatult, 
varda teise otsa aga riputada koormis, tekib paindedeformatsioon.
Painde suurus sõltub materjali o Ristlõike kujust
o Keha mõõtmetest
o Materjali elastsusmoodulist Paindeomadused on eriti tähtsad näiteks: o Kullasulamite
o Roostevabast terasest kinnitusklambrite
o Juurekanali instrumentide
o Süstlanõelte jt. puhul. Näiteks, mida suurem on instrumendi number, seda jäigem ta on. Võrdelisuse e. elastsuse piir on väiksem 
suuremate instrumentide korral ja mittelineaarsus ilmneb juba väiksemate paindenurkade korral. Instrumendile 
jääb jääv deformatsioon, kui ületatakse elastsuspiir.  Varda ülemised kihid venivad välja, alumised aga surutakse kokku.


Mõlema kihi vahel paikneb neutraalne kiht, mille pikkus ei muutu- see kiht kõverdub Paindemomendi mõjul kiud ühel pool neutraalkihti pikenevad ja teisel pool lühenevad. Sellega seoses ristlõiked
pöörduvad üksteise suhtes ümber nulljoone ja varda telg kõverdub. Vaadeldava paindedeformatsiooni mõõduks 
võtame paindenurga Ψy  - varda otspindade vastastikuse pöördenurga (radiaanmõõdus) (skeem e)
Paindedeformatsiooni intensiivsus ehk paindeprinkus vaadeldava lõike vahetus läheduses:   Väändedeformatsioon  Lõikedeformatsioon 9. Varda telje siirded:
a. Siire telje sihis - Teljesihilisi siirdeid põhjustab ainult pikijõud. Suvalise punkti siire u(x) võrdub toe ja  vaadeldava punkti vahelise varda lõigu pikkuse muuduga: valem lk 18 Siire avaldub summana, kus liidetavateks on algsiire u(0) (mis võib olla  b. Pööre ümber varda telje c. Pööre ümber ristlõike peatelje - Pöördeid ümber varda telje põhjustab ainult väändemoment.  Kinnistoega varda korral suvalise ristlõike pöörde võrdub toe ja vaadeldava lõike vahelise varda lõigu 
väändenurgaga.


d. Siire risti varda teljele
e. Elastse joone võrrandid 10. Siirete määramine Mohr’i integraaliga. 1. Leitakse konstruktsioonile rakendatud koormusest tekkivad sisejõud 2. Sellesse punkti mille siiret otsitakse rakendatakse otsitavale siirdele vastav ühikjõud,  ühikmoment või nende grupp. Joonsiirde leidmiseks rakendatakse ühikjõud, pöörde leidmiseks 
ühikmoment. Telje kahe punkti vastastikuse pöörde leidmiseks rakendatakse nendesse 
punktidesse kaks vastupidist jõupaari momendiga 1 ja kahe punkti omavahelise eemaldumise või
lähenemise leidmiseks kaks vastupidist ühikjõudu. 3. Leitakse rakendatud jõududele vastavad sisejõud. 4. Arvutatakse Mohr’i integraal, mis võrdub otsitava üldistatud siirdega. Kui integraal on  positiivne, siis siire rakendatud ühikjõu suunas, kui aga negatiivne, siis vastassuunas. 11. Lihtsamaid staatikaga määramatuid konstruktsioone:


Konstruktsiooni ehk tarindi tugevus- või jäikusarvutuseks tuleb eelnevalt leida sisejõud. Sisejõud 
määratakse lõikemeetodi kohaselt lõikega eraldatud tarindiosa tasakaaluvõrranditest. Sidemete 
(reaktsioonide) arv võrdub tasakaaluvõrrandite arvuga. Konstruktsioone, mille toereaktsioone ja sisejõude 
saab leida kasutades vaid tasakaalutingimusi, nimetatakse staatikaga määratavateks.  Tehnikas kohtame aga palju konstruktsioone, mida ei õnnestu lahendada ainult staatika võrrandite abil. 
Põhjus on selles, et lahendamisel esinevate tundmatute suuruste (toereaktsioonide, sisejõudude) arv ületab 
nende leidmiseks kasutada olevate tasakaaluvõrrandite arvu. Kõiki selliseid tarindeid nim staatikaga 
määramatuteks. Iga konstruktsioon peab olema kujukindel, vastasel juhul on ta geomeetriliselt muutuv.  Kujukindlust tagavaid sidemeid nimetatakse vajalikeks. Varrassüsteemile annavad jäikust näiteks 
liigendkolmnurgad ja jäigad sõlmed.  Staatikaga määramatut konstruktsiooni iseloomustab lisaks vajalikele, liigsidemete olemasolu. Liigsidemed 
põhjustavad tasakaaluvõrranditega mittemääravate sidemereaktsioonide tekke.  Staatikaga määramatute konstruktsioonide lahendamisel on kasutusel kaks erinevat ideed, millel põhineb 
kaks lahendusmeetodit – jõumeetod ja siirdemeetod.     Jõumeetod – võimaldab arvutada staatikaga määramatut konstruktsiooni. Jõumeetodi  kasutamisel lihtsustatakse konstruktsiooni arvutusskeemi eemaldades liigsidemeid. Liigsidemete 
arvu nimetatakse staatikaga määramatuse astmeks. Saadud staatikaga määratavat arvutusskeemi 
nimetatakse põhiskeemiks. Põhiskeemi moodustamine – liigsidemete eemaldamine. Eemaldatud 
sideme mõju põhiskeemis asendame sidemereaktsiooniga, mis on esialgu tundmatu.   Siirdemeetod
 Termo- ja koostepinged – temperatuuri muutumine tekitab staatikaga määramatus  konstruktsioonis termo- ehk temperatuuripinged, kuna tema deformatsiooni on tõkestatud. 
Staatikaga määratavates konstruktsioonides termopinges temperatuuri ühtlasest muutusest ei 
teki, sest nendes süsteemides on konstruktsioonielemendil võimalus vabalt deformeeruda. 
Tavaliselt püütakse termopinge taset alandada mitmesuguste konstruktiivsete võtetega. Näiteks 
torustikes moodustatakse painduvad kompensaatorid. 12. Surutud sale varras (põhiseosed, sirge varda stabiilsus ja kriitiline koormus, tugede mõju sellele;  Euleri valemi kasutatavuse piir; varda arvutus survele). Nõtke ja kriitiline koormus:  Mõlemast otsast liigenditele toetatud vardale mõjub tsentriliselt rakendatud jõud F.  a. Tugevustingimuste rahuldamiseks peab olema tagatud b. Jäikustingimuse rahuldamiseks peab olema tagatud


Isegi siis, kui koormus F on tugevustingimust kohaselt lubatav, võib varras kaotada stabiilsuse ja seega ka 
kandevõime. Seda nimetatakse nõtkeks, mille tagajärjel varras saavutab uue tasakaaluseisundi, kuid sellega 
kaasnevad suured siirded, on võimalik plastsete deformatsioonide teke ja purunemine.  Tasakaaluseisundid: stabiilses tasakaaluasendis väike häiring ei vii kuuli tasakaaluasendist välja, labiilses 
aga viib. Stabiilses tasakaaluasendis kuuli potentsiaalne energia on minimaalne, labiilses aga maksimaalne.  Kriitiline jõud – vähim jõud, mille juures on võimalik stabiilsuse kadu.  Stabiilsustingimus – olgu surutus sale varras konstruktsioonielemendiks. Selle elemendi kandevõime on 
tagatud siis, kui on täidetud tugevus- ja jäikustingimused, ja kui varda koormus ei ületa kriitilist väärtust. kus S on nõtke varutegur Kriitilise jõu sõltuvus toesidemest:  Konsoolvarras nõtkumisel paindub nii nagu kahe liigendotsaga varda ülemine pool. Siis  konsoolikriitiliseks jõuks on 






 Euleri valemi kehtivuspiir: Kuna Euleri tuletamisel lähtuti Hooke’i seaduse kehtivusest, siis arvutatav kriitiline pinge ei tohi ületada 
materjali proportsionaalsuse piiri. 


Väikeste saleduste juures nõtkumise ohtu ei ole. Suurte ja väikeste saleduste vahel on nn keskmised saledused, kus Euleri valemit kasutada ei saa, ning 
arvutusteks kasutatakse teisi meetodeid. Suurem osa konstruktiivseid elemente satub just keskmiste 
saleduste piirkonda.   Nõtketegur: Vardale stabiilsustingimus kriitilise pinge abil Nõtketegur näitab, mitu korda tuleb vähendada lubatavat (surve)pinget selleks, et oleks täidetud 
stabiilsustingimus.  13. Tugevusarvutused kandevõime järgi. Konstruktsiooni tugevusarvutusel lubatava pinge meetodil loetakse, et ohtlik olukord satub siis, kui 
konstruktsiooni materjalis tekib piirseisund. 


Kui tegemist on hapra materjaliga, siis loetakse, et piirseisund tekib siis, kui mistahes konstruktsiooni punktis 
pinge jõuab tugevuspiirini. Hapra materjali puhul tugevuspiiri ületamisega kaasneb pragude teke ja tihti sellega 
on konstruktsiooni kandevõime ammendatud.   Sitke materjali arvutus lubatava pinge meetodil – kui tegemist on sitke materjaliga, siis  loetakse, et  piirseisund tekib siis, kui mistahes konstruktsiooni punktis pinge jõuab voolupiirini. Materjali 
voolamine ühes konstruktsiooni punktis, või isegi väikeses piirkonnas ei tähenda aga konstruktsiooni
kandevõime kohest kadumist, kuna ristlõike ülejäänud punktide pinged on voolupiirist väiksemad. 
Ristlõikel on tugevuse varu, mida saab veel ära kasutada.  Kandevõimemeetod Kandevõimemeetod on üks tugevusõpetuse põhimeetoditest, mis peab ohtlikuks konstruktsiooni piirseisundit 
põhjustavat koormust ja taotleb piirseisundi ärahoidmist.  Hapra materjali puhul annab kandevõimemeetod lubatava pinge meetodiga samase tulemuse. Mõlemal juhul on 
piirkoormuseks selline koormus, mis põhjustab konstruktsiooni ohtlikumas punktis materjali purunemise.  Kandevõimemeetodit kasutatakse enamasti plastse materjali puhul (madalsüsinikuteras, alumiinium). Meetod 
võimaldab konstruktsioone julgemalt koormata. Eriti suur efekt on staatikaga määramatute konstruktsioonide 
puhul.