e iφ=1+ iφ+ (iφ)2 + (iφ )3+ (iφ)4 + (iφ)5 +… 1! 2! 3! 4! 5! Teisendades parem pool oleva kompleksarvu algebralisele kujule: 1 2 1 4 1 1 e iφ=(1− φ + φ −…)+i(φ− φ 3+ φ5−…) Euleri valem e iφ=cosφ +isinφ 2! 4! 3! 5! cos φ sin φ Kasutades trigonomeetrilist kuju ja Euleri valemit: z=ρ ( cosφ+isinφ )=ρ e iφ iφ Kompleksarvu eksponentkuju z=ρ e TEHTED EKSPONENTKUJUL Kompleksarvud z 1=ρ 1 ei φ 1 ja z 2=ρ 2 ei φ 2 φ Korrutamine i(¿ 1+ φ2 ) ¿ z 1 z 2=ρ1 ρ2 e¿
Saame nt GPS-iga mõõtes. GPS-is olev geoidimudel arvutab meile absoluutse kõrguse. Kõrguskasv Kõrguskasv on maapinna kahe punkti kõrguste vahe, mida nimetatakse ka suhteliseks kõrguseks. Kõrguskasv on tõusu suunas positiivne ja languse suunas negatiivne. Kõrguskasvu võib arvutada maastikul tehtud mõõtmiste või kõrgusarvude järgi. Kõrguskasvu mõõdetakse nivelleerimise teel. Eristatakse geomeetrilist ja trigonomeetrilist nivelleerimist Geomeetriline nivelleerimine Geomeetriline nivelleerimine on horisontaalkiirega nivelleerimine. Lattidelt saadakse lugemid, millest lahutamise teel saadakse kõrguskasv hAB=i-e hAB kõrguskasv i punkti A lugem ehk horisontaalkiire kõrgus punkti A kohal e punkti B lugem ehk horisontaalkiire kõrgus punkti B kohal Trigonomeetriline nivelleerimine Trigonomeetriline nivelleerimine on kaldkiirega nivelleerimine, kus mõõdetakse kaldenurk ja
2 1 = + i ja 2 = - i , 5 MLF 1121 Geofüüsikaline hüdrodünaamika (Matemaatika ülevaade I) Jüri Elken millele vastavad KKLD erilahendid ~ y1 = ex e i x ja ~ y 2 = ex e -i x . Arvestades kompleksarvu trigonomeetrilist kuju, saame y1 = ex e ix = ex ( cos x + i sin x ) ~ ja ~y = ex e - ix = ex ( cos x - i sin x ) . 2 Minnes üle reaalarvulistele lahenditele, saame lineaarselt sõltumatuteks erilahenditeks y1 = ex cos x ja y 2 = ex sin x . Teist järku homogeense KKLD erikujuks on võrrand, kus esimese tuletise kordaja on null. Sel juhul võrrand kirjutatakse kujul d2y - y = 0 dx 2
26. Trigonomeetrilise nivelleerimise olemus. Trigonomeetriline nivelleerimine on punktidevahelise kõrguskasvu määramine viseerimiskiire vertikaalnurga suuruse ja punktidevahelise kauguse d järgi, arvestades instrumendikõrgust i ja viseerimiskõrgust v. Vertikaalnurk mõõdetakse teodoliidiga, kauguse saamiseks võib kasutada niitkaugusmõõturit ning viseerimiskõrguse fikseerimiseks peab kõrgust määratavas punktis olema vertikaalne latt. Samuti kasutatakse ka keskelt trigonomeetrilist nivelleerimist. 27. Nivelliiride liigid. Nivelliirid jaotatakse täpsusklassi alusel: *Kõrgtäpsed nivelliirid 10'' *Täpsed nivelliirid 15'' *Tehnilised nivelliirid 45'' Konstruktsiooni alusel: *Elevatsioonikruviga e. silindrilise vesiloodiga nivelliiridel on silindriline vesilood kinnitatud pikksilma korpusesse ja viseerimiskiir peab olema paralleelne pikksilma viseerimisteljega. Nivelliiri pikksilma on võimalik väikses ulatuses üles-alla pöörata, et silindrilise vesiloodi
või vähendada? Nivelleerimisvigade vähendamiseks: Kontrolli vesiloodi asendit enne iga lugemi võtmist (kui ei kasuta kompensaatornivelliiri) Kasuta ümarvesiloodiga latte ja hoia latt lugemi tegemise ajal vertikaalselt Hoia edasi- ja tagasivaate pikkused võrdsed Teosta jaamas lugemite kontroll ja lehekülje täitumisel lehekülje kontroll 11. Kõrguskasvu saamise võimalused trigonomeetrilise nivelleerimisega sõltuvalt lähteandmetest? Trigonomeetrilist ehk kaldkiirega nivelleerimist kasutatakse kõrguskasvude määramiseks mägisel maastikul, kui maapinna kalded on suured, ligipääsmatute punktide (mastide, tornide jm) kõrguste määramisel, kõrguskasvude määramiseks suurte vahemaade (mõni km) puhul. Kõrguskasvude määramisel trigonomeetrilise nivelleerimisega kasutatakse põhiliselt kolme viisi: ühest otsast nivelleerimist, kui viseerimiskiire kaldenurk mõõdetakse joone ühest otspunktist
Mott. 9. Funktsiooni sinx/x piirväärtus, kui x 0 sin x Funktsiooni määramispiirkond X koosneb lõpmatuist vahemikest ( -, 0 ) ja ( 0, ) . Seega x punkt x=0 ei kuulu piirkonda X, on aga selle kuhjumispunkt. Näitame, et sin x lim =1 x 0 x Funktsiooni sin x väärtuste saamiseks kasutame trigonomeetrilist ringi, s.o. ringi raadiusega 1. Valime selle ringi tasandil Cartesiuse ristkoordinaadistiku, votes ringi keskpunkti 0 koordinaatide alguseks. Olgu A ringjoone lõikepunkt u-telje, s.o. esimese koordinaattelje positiivse osaga. Mistahes punkt P ringjoonel on määratud, kui on teada nurk, mille moodustab radius OP u-telje positiivse osaga. Seda nurka mõõdetakse kõrgemas matemaatikas tavaliselt nn. Absoluutmõõdus, s.t.
Ristprofiil märgitakse märgitakse mõlemale poole teed välja tee maariba laiuselt ja sellele ristsihile märgitakse kõik maapinna iseloomulikud, mis asuvad sellel ristprofiili joonel, kaugused märgitakse lähtudes tee teljest. Kauguse numbri ette märgitakse täht V või P. Ja need punktid tähistatakse maavaia ja tunnusvaiaga. 5. Trassi nivelleerimine Kõrguste saamiseks nivelleeritakse trass tehnilise nivelleerimise tingimustele vastavalt. Kaasajal kasutatakse trigonomeetrilist nivelleerimist elektrontahhümeetritega. Lühikesi trasse on lubatud nivelleerida rippuva käiguna edasi-tagasi suunas. Mõnikord nivelleeritakse ka kinnise käiguna. Kõige sagedamini nivelleeritakse trass käiguna kahe reeperi vahel (seotud käik). Nivelleerimine toimub keskelt nivelleerimisena ja vaatekiirte pikkuste erinevus jaamas ei tohi olla üle 10m. Kõik piketid ja vajaduse korral ka osa ,,+" punkte nivelleeritakse sidepunktidega. Jaamas mustade ja punaste lugemite järgi arvutatud
40. Ekker-mõõdistamise põhimõte Vajalikud instrumendid: mõõdulint, rulett, vardad, 2-3 tähist, ekker. Situatsiooni mõõdistamise aluseks on teodoliitkäigu küljed ja punktis. Vajaduse korral rajatakse mõõdistamise tarbeks diagonaalkäik. Hoonestatud või osaliselt hoonestatud maatüki mõõdistamisel on sobivaim ekkermõõdistamine. Ekker peab olema hoolikalt justeeritud. 41. Trigonomeetriline nivelleerimine. Trigonomeetrilist ehk kaldkiirtega nivelleerimist kasutatakse kõrguskasvude määramiseks mägisel maastikul, kui maapinna kalded on suured, ligipääsmatute punktide kõrguste määramisel, kõrguskasvude määramiseks suurte vahemaade puhul. Selle täpsus on mitu korda väiksem geomeetrilise nivelleerimise täpsusest. Suuremate kauguste puhul on tarvis arvesse võtta Maa kumeruse ja refraktsiooni mõju. Kõrguskasvude määramisel trigonomeetrilise nivelleerimisega kasutatakse põhiliselt kolme viisi:
Seda saab teha, kui on teada kaugus instrumendist kuni punktini, instrumendi punkti maastikupunktiga ühendava joone suund maastikupunkti kõrguskasv pikksilma pööramistelje suhtes. Kaugus määratakse kaugusmõõturiga, suuna saame horisontaalringilt ning kõrguskasvu saab arvutada maapinna kaldenurga ja kauguse kaudu. Sellist kõrguskasvu määramist nim trigonomeetriliseks nivelleerimiseks. 40. Trigonomeetriline nivelleerimine. Trigonomeetrilist ehk kaldkiirtega nivelleerimist kasutatakse kõrguskasvude määramiseks mägisel maastikul, kui maapinna kalded on suured, ligipääsmatute punktide kõrguste määramisel, kõrguskasvude määramiseks suurte vahemaade puhul. Selle täpsus on mitu korda väiksem geomeetrilise nivelleerimise täpsusest. Suuremate kauguste puhul on tarvis arvesse võtta Maa kumeruse ja refraktsiooni mõju. Kõrguskasvude määramisel trigonomeetrilise nivelleerimisega kasutatakse põhiliselt kolme viisi:
Tahhümeetrilised arvutused 44. Tahhümeetrilise mõõdistamise plaani koostamine 45. Reljeefi kujutamine, samakõrgusjoonte omadused 46. Nivelleerimise liigid. Põhilised nivelleerimisviisid on geomeetriline, trigonomeetriline, hüdrostaatiline, baromeetriline ja GPS vahenditega mõõtmine. Kõige täpsemad ja töömahukamad on geomeetriline ja hüdrostaatiline. Kõrguskasvu määramise keskmine ruutviga on +- 0,5 mm. GPS mõõtmistega on täpsus sentimeeter. Detsimeetri täpsusega saab teha trigonomeetrilist nivelleerimist. Baromeetriline toimib õhurõhu erinevuste kaudu ning täpsus on detsimeeter. 47. Kõrguslike nivoopindade omadused. Maa kuremusest ja refraktsioonist tingitud parand. Rõhtne viseerimiskiir kujutab endast lühemate õlgade puhul(vahekauguste) sirgjoont, mis on paralleelne instrumendi seisupunkti nivoopinna puutujaga AB. Et kõrguskasv on tegelikult kahe punkti nivoopindade vahe, siis suuremate kauguste puhul on vaja lõiku BB suurendada suuruse k võrra, mida nim. Maa
Kontuurmõõdistamise tulemusena saadakse plaan, millel on kõik maastiku kontuurid ja objektid kujutatud topograafiliste leppemärkidega, kuid projekteerijal on tarvis saada ettekujutust ka maapinna reljeefist. Tarvis on määrata maapinna punktide kõrgused. Kõrguste määramiseks on kaks meetodit: Trigonomeetriline nivelleerimine Geomeetriline nivelleerimine Nivelleermisega määratakse maapinna punktide kõrguste erinevused ehk kõrguskasvud. Trigonomeetrilist nivelleerimist kasutatakse just tahhümeetrias. Kõrguskasv määratakse kauguse ja maapinna kaldenurga abil. Geomeetrilistel nivelleerimisel kasutatakse horisontaalset vaatekiirt ja vertikaalseid mõõtelatte, milliste abil määratakse punktide vahelised kõrguskasvud. Tahhümeetriat kasutatakse peamiselt tiheasustusega alade ja trasside suuremõõtkavalistel mõõdistamistel. Tahhümeetria ehk kiirmõõdistamine on topograafilise mõõdistamise meetod, mille puhul
(ainult õppeotstarbel, oleneb töö tähtsusest ja jääb enamasti vahemikku 1:10 000 kuni 1: 30 000 Kõigile mõõdistamise alusvõrgu punktidele tuleb ühtses koordinaatide süsteemis arvutada X ja Y koordinaadid-moodustab nn plaaniline alusvõrk. Situatsiooni- või reljeefipunktide kõrguste saamiseks tuleb mõõdistamise alusvõrgu punktidele määrata kõrgused. Selleks võib kasutada geomeetrilist- või trigonomeetrilist nivelleerimist. 22 Nivelleerimise mõõtmistulemuste põhjal tuleb arvutada mõõdistamise alusvõrgu punktidele kõrgused e. määrata H koordinaat- moodustub nn kõrguslik alusvõrk. X, Y ja H koordinaatide olemasolul moodustub plaaniline ja kõrguslik mõõdistamispõhis. Lihtsamatel juhtudel rajatakse kinnine käik (nii nagu praktikal tegime) Nivelleerimiskäik tuleb projekteerida 3
kirjeldamisel, siis osutub oluliseks ka nende funktsioonide muutumise kiirus ehk tuletis. Näiteks on meil endalgi tarvis see tuletis välja arvutada, kui asume leidma, kuidas ikka veepommi kõige kaugemale visata [lk 333]. Nagu juba mainisime, on trigonomeetriliste funktsioonide tuletiste leidmisel kasulikum kasutada radiaane [lk 234], niisiis seda teemegi. Eelteadmised Siinusfunktsiooni tuletise võtmiseks on (lisaks tuletisest arusaamisele [lk 320]) vaja kasutada kahte juba tuletatud trigonomeetrilist valemit: Lisaks peame kasutama teadmist, et kui on mõõdetud radiaanides, siis väga väi- keste argumendi väärtuste korral on umbes võrdne -iga. Täpsemalt, keh- tib järgmine piirväärtuste [lk 313] abil kirjapandud seos: Miks see nii on, selgitasime intuitiivselt juba ühes eelnevas peatükis [lk 99]. Tuletuskäik Asume nüüd julgelt tuletist leidma, lähtudes täpselt tuletise definitsioonist [lk 321]:
annaabi.ee 
