Osatuletis kui funktsioon. Osatuletiste tõlgendus ja geomeetriline sisu kahemuutuja funktsiooni korral. 10. Liitfunktsiooni osatuletise valem. Täistuletise mõiste. 11. Olgu ühemuutuja funktsioon y = f(x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f(x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Parameetrilise kahemuutuja funktsiooni osatuletiste leidmine. 12. Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus. 13. Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid. Täisdiferentsiaali kordajate Ci valemid funktsiooni osatuletiste kaudu (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Funktsiooni argumentide diferentsiaalid ja nende kasutamine täisdiferentsiaali valemis. 14. Tõestada liitfunktsiooni osatuletise valem. 15
Contents Contents...................................................................................................................... 1 4.Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus........................................................ 5 7) Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Uks neist tuletada.............................. 6 8) Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. Gradient. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus..................................................................................................................... 9 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon u = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,u)= 0. Tuletada valem funktsiooni f osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Valem tuletada kas kahe muutuja juhul (x = (x, y) R2) või üldjuhul (x Rn)...........11 12
diferentseeruv punktis P(x1(t);…..; xn(t)), siis liitfunktsiooni f (x1(t); … ; xn(t)) = f (x(t)) = u(t) tuletis punktis t avaldub kujul Kui funktsioonid x = x(u; v) ja y = y(u; v) on diferentseeruvad punktis P(u; v) ning funktsioon z = z(x; y) on diferentseeruv punktis (x(P); y(P)), siis liitfunktsiooni z = z(x(P); y(P)) = z(u; v) osatuletised avalduvad kujul zu = zxxu + zyyu; zv = zxxv + zyyv (Tõestus järgmisel lehel…) 8. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. 9. Olgu ühemuutuja funktsioon y = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f (x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon y = f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x1, x2, . . . , xn, y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f (x) osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. TÄIENDATUD ! KAHTLANE, GERDI SLAIDILT 11
punktis P0(x0 , y0) tarviliku ja piisava tingimuse lim z = 0.Vektorite ~u = (u1; u2; : : : ; um) ja ~v = (v1; v2; : : : ; vm) 0 skalaarkorrutiseks nimetatakse summat ~u * ~v = u1v1 + u2v2 + : : : + umvm : Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Gradient. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus. Leiame funktsiooni f(x) tuletise punktis a vektori s suunas. Vektori s suunaline ühikvektor on kujul n := s / s2 = (cos , ... , cos n), kus k on nurgad vastavate koordinaattelgedega
(x))0. seega võrdub teise avaldise vasak pool nulliga. Same F´ (x, (x)) + F` (x, (x)) `(x) = 0. x y Eeldades et F`y(x, (x))0 tuletame viimasest võrdusest järgmise valemi ilmutamata funktsiooni tuletise jaoks: '(x)= F'x(x, (x)) F'y(x, (x)) 17) Defineerida mitmemuutuja funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada valem suunatuletise arvutamiseks osatuletiste ja suunavektori koordinaatide kaudu. Olgu m-muutuja funktsioon argumendiga P = (x 1, x2,. . . , Xm) ja olgu A = ( a1,a2, . . . , am) tema määramispiirkonna punkt. Peale selle olgu s = (s 1, s2,. . . ,sm) vektor ruumis Rm. Paiknegu punkt P vektoriga s määratud sirgel l punkti A suhtes positiivses suunas. Funktsiooni argumendi muutu punktis A iseloomustab punktide P ja A vaheline kaugus |PA|. Funktsiooni muut punktis A võrdub
(x))0. seega võrdub teise avaldise vasak pool nulliga. Same F´ (x, (x)) + F` (x, (x)) `(x) = 0. x y Eeldades et F`y(x, (x))0 tuletame viimasest võrdusest järgmise valemi ilmutamata funktsiooni tuletise jaoks: '(x)= F'x(x, (x)) F'y(x, (x)) 17) Defineerida mitmemuutuja funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada valem suunatuletise arvutamiseks osatuletiste ja suunavektori koordinaatide kaudu. Olgu m-muutuja funktsioon argumendiga P = (x 1, x2,. . . , Xm) ja olgu A = ( a1,a2, . . . , am) tema määramispiirkonna punkt. Peale selle olgu s = (s 1, s2,. . . ,sm) vektor ruumis Rm. Paiknegu punkt P vektoriga s määratud sirgel l punkti A suhtes positiivses suunas. Funktsiooni argumendi muutu punktis A iseloomustab punktide P ja A vaheline kaugus |PA|. Funktsiooni muut punktis A võrdub
15) vasak pool nulliga. Saame Fx (x, f (x)) + Fy (x, f (x))f (x) = 0. Eeldades et Fy (x, f (x)) = 0 tuletame vi- imasest v~ordusest j¨argmise valemi ilmutamata funktsiooni f tuletise jaoks: Fx (x, f (x)) f (x) = - . (6.17) Fy (x, f (x)) 17) Defineerida mitmemuutuja funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada valem suunatuletise arvutamiseks osatuletiste ja suunavektori koordinaatide kaudu. Funktsiooni z = f (x1 , . . . , xm ) osatuletis vektori s suunas n¨aitab selle funk- tsiooni "kasvu kiirust", kui argumendiga P = (x1 , . . . , xm ) liikuda vektori s suunas. Vaatleme piirprotsessi P A, mille k¨aigus punkt P l¨aheneb punktile A m¨o¨oda vektori s suunalist sirget l. Selles protsessis defineeritud piirv¨a¨ artus nim. f (P ) - f (A)
f(x) Fourier’ koosinusteisendiks ja Fourier’ siinusteisendiks ning kujutusi, mis funktsioonile f(x) seavad vastavusse tema 11. Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Gradient. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus. ̃ (x), kusjuures kujutust f 𝒇̂ nimetatakse Fourier’ teisenduseks ja kujutust g 𝒈
Funktsiooni z = f(x,y, u, ..) osatuletis y järgi: 44. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis. Gradientvektori pikkus näitab muutumise maksimaalset kiirust. grad z(P ) = (z' 45. Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Funktsioon F kasvab antud punktis A kõige kiiremini selle funktsiooni gradiendi suunas. Suunatuletise väärtus on maksimaalne, kui argument liigub gradientvektori suunas. 46. Selgitada marginaalsuuruse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Suuruse f marginaalsuuruseks (marginaaliks) majandusnäitaja x(y) suhtes nimetatakse funktsiooni f osatuletist x(y) järgi. 47. Selgitada osaelastsuse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Suuruse f osaelastsuseks majandusnäitaja x suhtes (y suhtes) nimetatakse suurus:
y P x x + x x Joonis 6.12. nimetatakse funktsiooni z tuletisekt punktis P vektori - s suunas ja t¨ahistatakse z . Et - s x y lim 1 + 2 = 0, s0 s s siis saame suunatuletise leidmiseks valemi z z z - = cos + cos (6.25) s x y N¨aide 1. Leiame funktsiooni z = x2 + y 2 tuletised punktis P (1; 1) vek- torite - s1 = (1; 1) ja - s2 = (1; -1) suunas. K~oigepealt arvutame funktsiooni osatuletised punktis P z = 2x =2
annaabi.ee 
