Statistika ülesanned 3. Andmetöötlus. (0)

Binoomjaotuse B(n,p) parameetrid küsimuste arv valikvastustega testis: n= 10 tõenäosus, et vastaja vastab õigesti ühele küsimusele: p= 0.25 õigesti vastatud küsimuste arv k=1,2,…,10 Binoomjaotusele vastav jaotustabel Õigesti vastatud küsimuste arv k 0 tõenäosus P(X=k) =BINOMDIST(k;n;p;FALSE) 5.63135% kumulatiivne tõenäosus P(X<=k) =BINOMDIST(k;n;p;TRUE) 5.63135% Põhilised arvkarakteristikud keskväärtus EX 2.5 =G9*G10 dispersioon DX 1.875 =G9*G10*(1-G10) standardhälve σ 1.369 =SQRT(D22) Kui eeldada, et testi loetakse sooritatuks juhul, kui on õigesti vastatud vähemalt 5-le küsimusele 10-st, siis testi sooritamise tõenäosius P(X>=5) on Insert -> Charts -> 2D Column 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% Binoomjaotus (n=10, p=0,25) õigesti vastatud küsimuste arv tõ e n ä o su s Näide 1 (binoomjaotus). Valikvastustega test koosneb 
kümnest küsimustest, iga küsimus sisaldab neli vastusevarianti, 
nendest ainult üks on õige. Oletame, et vastaja valib vastuseid 
huupi. Olgu juhuslik suurus X – õigesti vastatud küsimuste arv 
testis. Koostada juhusliku suuruse X jaotustabel ja tulpdiagramm, 
leida keskväärtus EX, dispersioon DX ja standardhälve σ. 𝐸𝑋=𝑛⋅𝑝 𝐷𝑋=𝑛⋅𝑝⋅(1−𝑝) 𝜎=√𝐷𝑋


1 2 3 4 5 6 18.77117% 28.15676% 25.02823% 14.59980% 5.83992% 1.62220% 24.40252% 52.55928% 77.58751% 92.18731% 98.02723% 99.64943% Kui eeldada, et testi loetakse sooritatuks juhul, kui on õigesti vastatud vähemalt 5-le küsimusele 10-st, siis testi sooritamise tõenäosius P(X>=5) on 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% Binoomjaotus (n=10, p=0,25) õigesti vastatud küsimuste arv tõ e n ä o su s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Kumulatiivne binoomjaotus (n=10, p=0,25) õigesti vastatud küsimuste arv k u m .t õ e n ä o su s


7 8 9 10 kokku: 0.30899% 0.03862% 0.00286% 0.00010% 100% 99.95842% 99.99704% 99.9999% 100% 7.8% =SUM(L16:Q16)
7.8% =1-K17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Kumulatiivne binoomjaotus (n=10, p=0,25) õigesti vastatud küsimuste arv k u m .t õ e n ä o su s


B(n,p) parameetrid laste arv n= 20 tätarlapse sündimise tõenäosus p= 0.5 Ülesanne 1 (binoomjaotus). Sünnitusmajas sündis 20 last. Olgu juhuslik suurus X – tütarlaste arv nende hulgas. 
Eeldame, et poisi ja tütarlapse sündimise tõenäosus on võrdne. Koostage juhusliku suuruse X jaotustabel ja konstrueerige
jooniseid. Leidke keskväärtus EX, dispersioon DX ja standardhälve σ.


Ülesanne 1 (binoomjaotus). Sünnitusmajas sündis 20 last. Olgu juhuslik suurus X – tütarlaste arv nende hulgas. 
Eeldame, et poisi ja tütarlapse sündimise tõenäosus on võrdne. Koostage juhusliku suuruse X jaotustabel ja konstrueerige
jooniseid. Leidke keskväärtus EX, dispersioon DX ja standardhälve σ.


B(n,p) parameetrid detailide arv n= 25 defektiga detaili tõenöosus p= 0.01 Ülesanne 2 (binoomjaotus). On teada, et kulunud tööpink valmistab 1% detaile defektiga. 
Olgu juhuslik suurus X – defektiga valmistatud detailide arv järgmiste 25 toodete seas.
Koostage juhusliku suuruse X jaotustabel ja konstrueerige joonisei. Leidke keskväärtus EX, dispersioon DX ja standardhälve σ.


Ülesanne 2 (binoomjaotus). On teada, et kulunud tööpink valmistab 1% detaile defektiga. 
Olgu juhuslik suurus X – defektiga valmistatud detailide arv järgmiste 25 toodete seas.
Koostage juhusliku suuruse X jaotustabel ja konstrueerige joonisei. Leidke keskväärtus EX, dispersioon DX ja standardhälve σ.


B(n,p) parameetrid patsientide arv n= 100 paranemise tõenäosus p= 0.35 Ülesanne 3 (binoomjaotus). Uue ravimi testimise käigus 35% patsientidest ilmnesid paranemise märgid.
Olgu juhuslik suurus X – paranemise märgitega patsientide arv järgmiste saja patsientide seas.
Koostage juhusliku suuruse X jaotustabel ja konstrueerige jooniseid. Leidke keskväärtus EX, dispersioon DX ja standardhälve σ.


Ülesanne 3 (binoomjaotus). Uue ravimi testimise käigus 35% patsientidest ilmnesid paranemise märgid.
Olgu juhuslik suurus X – paranemise märgitega patsientide arv järgmiste saja patsientide seas.
Koostage juhusliku suuruse X jaotustabel ja konstrueerige jooniseid. Leidke keskväärtus EX, dispersioon DX ja standardhälve σ.


B(n,p) parameetrid: Laskude arv seerias n= 10 tabamuse tõenäosus p= 0.7 X 0 1 2 3 P(X=k) 0.00059% 0.01378% 0.14467% 0.90017% kumulatiivne P(X<=k) 0.00059% 0.01437% 0.15904% 1.05921% P(X<=6) 35.04% P(7<=X<=9) 62.14% 62.14% P(X=10) 2.82475% 2.82475% Keskväärtus 7 Dispersioon 2.1 Standardhälve 1.45 Ülesanne 4 (binoomjaotus). Märklaua suunas sooritatakse 10 sõltumatu lasku. Igal lasul on tabamise tõenäosus 0,7.
Olgu juhuslik suurus X - tabamuste koguarv seerias. Koostage juhusliku suuruse X jaotustabel ja konstrueerige jooniseid. 
Leida keskväärtus EX, dispersioon DX ja standardhälve σ. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% Tabamuste jaotus tabamuste arv  o sa k a a l 𝐸𝑋=𝑛⋅𝑝 𝐷𝑋=𝑛⋅𝑝⋅(1−𝑝) 𝜎=√𝐷𝑋


k=0,1,2…,10 4 5 6 7 8 9 3.67569% 10.29193% 20.01209% 26.68279% 23.34744% 12.10608%
4.73490% 15.02683% 35.03893% 61.72172% 85.06917% 97.17525% Ülesanne 4 (binoomjaotus). Märklaua suunas sooritatakse 10 sõltumatu lasku. Igal lasul on tabamise tõenäosus 0,7.
Olgu juhuslik suurus X - tabamuste koguarv seerias. Koostage juhusliku suuruse X jaotustabel ja konstrueerige jooniseid. 
Leida keskväärtus EX, dispersioon DX ja standardhälve σ. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% Tabamuste jaotus tabamuste arv  o sa k a a l 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Kumulatiivne polügoon Tabamuste arv  k u m .  o sa k a a l


10 kokku 2.82475% 100% 100% 400% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Kumulatiivne polügoon Tabamuste arv  k u m .  o sa k a a l


NÄIDE 2. Normaaljaotus (IQ scores) Vaimsete võimete mõõtmisest saab lugeda siin: Normaaljaotus N(10;15) Standardne normaaljaotus N(0;1) tihedusfunktsioon f(x) =NORM.DIST(X; μ; σ; 0) f(x) =NORM.S.DIST(Z; 0) jaotusfunktsioon F(x) =NORM.DIST(X; μ; σ; 1) F(x) =NORM.S.DIST(Z; 1) IQ Score f(x) F(x) Z-score f(x) F(x) 50 0.00010 0.0004 -3.33 0.0015 0.0004 51 0.00013 0.0005 -3.27 0.0019 0.0005 52 0.00016 0.0007 -3.20 0.0024 0.0007 53 0.00020 0.0009 -3.13 0.0029 0.0009 54 0.00024 0.0011 -3.07 0.0036 0.0011 55 0.00030 0.0013 -3.00 0.0044 0.0013 56 0.00036 0.0017 -2.93 0.0054 0.0017 57 0.00044 0.0021 -2.87 0.0066 0.0021 58 0.00053 0.0026 -2.80 0.0079 0.0026 59 0.00063 0.0031 -2.73 0.0095 0.0031 60 0.00076 0.0038 -2.67 0.0114 0.0038 61 0.00091 0.0047 -2.60 0.0136 0.0047 62 0.00107 0.0056 -2.53 0.0161 0.0056 63 0.00127 0.0068 -2.47 0.0190 0.0068 64 0.00149 0.0082 -2.40 0.0224 0.0082 65 0.00175 0.0098 -2.33 0.0262 0.0098 66 0.00204 0.0117 -2.27 0.0306 0.0117 67 0.00236 0.0139 -2.20 0.0355 0.0139 68 0.00273 0.0164 -2.13 0.0410 0.0164 69 0.00314 0.0194 -2.07 0.0471 0.0194 70 0.00360 0.0228 -2.00 0.0540 0.0228 71 0.00410 0.0266 -1.93 0.0616 0.0266 72 0.00466 0.0310 -1.87 0.0699 0.0310 73 0.00526 0.0359 -1.80 0.0790 0.0359 74 0.00592 0.0415 -1.73 0.0888 0.0415 75 0.00663 0.0478 -1.67 0.0995 0.0478 76 0.00739 0.0548 -1.60 0.1109 0.0548 77 0.00821 0.0626 -1.53 0.1231 0.0626 78 0.00907 0.0712 -1.47 0.1361 0.0712 79 0.00998 0.0808 -1.40 0.1497 0.0808 80 0.01093 0.0912 -1.33 0.1640 0.0912 81 0.01192 0.1026 -1.27 0.1789 0.1026 82 0.01295 0.1151 -1.20 0.1942 0.1151 83 0.01399 0.1285 -1.13 0.2099 0.1285 84 0.01506 0.1431 -1.07 0.2259 0.1431 85 0.01613 0.1587 -1.00 0.2420 0.1587 86 0.01721 0.1753 -0.93 0.2581 0.1753 87 0.01827 0.1931 -0.87 0.2740 0.1931 88 0.01931 0.2119 -0.80 0.2897 0.2119 89 0.02033 0.2317 -0.73 0.3049 0.2317 90 0.02130 0.2525 -0.67 0.3194 0.2525


91 0.02221 0.2743 -0.60 0.3332 0.2743 92 0.02307 0.2969 -0.53 0.3461 0.2969 93 0.02385 0.3204 -0.47 0.3578 0.3204 94 0.02455 0.3446 -0.40 0.3683 0.3446 95 0.02516 0.3694 -0.33 0.3774 0.3694 96 0.02567 0.3949 -0.27 0.3850 0.3949 97 0.02607 0.4207 -0.20 0.3910 0.4207 98 0.02636 0.4470 -0.13 0.3954 0.4470 99 0.02654 0.4734 -0.07 0.3981 0.4734 100 0.02660 0.5000 0.00 0.3989 0.5000 101 0.02654 0.5266 0.07 0.3981 0.5266 102 0.02636 0.5530 0.13 0.3954 0.5530 103 0.02607 0.5793 0.20 0.3910 0.5793 104 0.02567 0.6051 0.27 0.3850 0.6051 105 0.02516 0.6306 0.33 0.3774 0.6306 106 0.02455 0.6554 0.40 0.3683 0.6554 107 0.02385 0.6796 0.47 0.3578 0.6796 108 0.02307 0.7031 0.53 0.3461 0.7031 109 0.02221 0.7257 0.60 0.3332 0.7257 110 0.02130 0.7475 0.67 0.3194 0.7475 111 0.02033 0.7683 0.73 0.3049 0.7683 112 0.01931 0.7881 0.80 0.2897 0.7881 113 0.01827 0.8069 0.87 0.2740 0.8069 114 0.01721 0.8247 0.93 0.2581 0.8247 115 0.01613 0.8413 1.00 0.2420 0.8413 116 0.01506 0.8569 1.07 0.2259 0.8569 117 0.01399 0.8715 1.13 0.2099 0.8715 118 0.01295 0.8849 1.20 0.1942 0.8849 119 0.01192 0.8974 1.27 0.1789 0.8974 120 0.01093 0.9088 1.33 0.1640 0.9088 121 0.00998 0.9192 1.40 0.1497 0.9192 122 0.00907 0.9288 1.47 0.1361 0.9288 123 0.00821 0.9374 1.53 0.1231 0.9374 124 0.00739 0.9452 1.60 0.1109 0.9452 125 0.00663 0.9522 1.67 0.0995 0.9522 126 0.00592 0.9585 1.73 0.0888 0.9585 127 0.00526 0.9641 1.80 0.0790 0.9641 128 0.00466 0.9690 1.87 0.0699 0.9690 129 0.00410 0.9734 1.93 0.0616 0.9734 130 0.00360 0.9772 2.00 0.0540 0.9772 131 0.00314 0.9806 2.07 0.0471 0.9806 132 0.00273 0.9836 2.13 0.0410 0.9836 133 0.00236 0.9861 2.20 0.0355 0.9861 134 0.00204 0.9883 2.27 0.0306 0.9883 135 0.00175 0.9902 2.33 0.0262 0.9902 136 0.00149 0.9918 2.40 0.0224 0.9918 137 0.00127 0.9932 2.47 0.0190 0.9932 138 0.00107 0.9944 2.53 0.0161 0.9944


139 0.00091 0.9953 2.60 0.0136 0.9953 140 0.00076 0.9962 2.67 0.0114 0.9962 141 0.00063 0.9969 2.73 0.0095 0.9969 142 0.00053 0.9974 2.80 0.0079 0.9974 143 0.00044 0.9979 2.87 0.0066 0.9979 144 0.00036 0.9983 2.93 0.0054 0.9983 145 0.00030 0.9987 3.00 0.0044 0.9987 146 0.00024 0.9989 3.07 0.0036 0.9989 147 0.00020 0.9991 3.13 0.0029 0.9991 148 0.00016 0.9993 3.20 0.0024 0.9993 149 0.00013 0.9995 3.27 0.0019 0.9995 150 0.00010 0.9996 3.33 0.0015 0.9996


Vaimsete võimete mõõtmisest saab lugeda siin: 0 - cum=FALSE
1 - cum=TRUE Keskmine IQ μ 100 punkti Standardhälve σ 15 punkti Funktsioonide graafikud: Insert -> Charts -> Scatter with Smooth L https://tnk.tartu.ee/0vaimsete.html 𝑍=(𝑋−𝜇)/ 𝜎 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 0.00 0.01 0.01 0.02 0.02 0.03 0.03 Tihedusfunktsioon N(100;15) IQ Score f( x ) 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Jaotusfunktsioon N(100;15) IQ Score F( x ) -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 Tihedusfunktsioon N(0;1) Z-score f( x )


-3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 Tihedusfunktsioon N(0;1) Z-score f( x ) -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Jaotusfunktsioon N(0;1) N(0;1)
alfa=0,01
alfa=0,05
alfa=0,1
alfa=0,9
alfa=0,95
alfa=0,99 Z-score F( x )


Proportsioonid normaaljaotuskõvera all (kolme sigma reegel) Intervall alampiir ülempiir osakaal [μ-σ;μ+σ] 85 115 68.27% -keskmise vaimse võimega inimeste osakaal populatsioonis [μ-2σ;μ+2σ] 70 130 95.45% -"normaalse" vaimse võimega inimeste osakaal populatsioonis [μ-3σ;μ+3σ] 55 145 99.73% Kolme sigma reegli alusel moodustatud normid IQ Score osakaal Vaimne võime kuni 69 2.3% alaareng 70 - 84 13.6% madal 85 - 115 68.27% keskmine 116 - 129 13.6% kõrge üle 130 2.3% väga andekas kokku 100.0% Normaljaotuse funktsioonid Excelis osakaal (nivoo) N(100;15) jaotusfunktsiooni pöördfunktsioon N(0;1) jaotusfunktsiooni pöördfunktsioon Standardhälbe alusel (kolme sigma reegel) moodustatud normid 
jagunevad nii:
85 - 115 punkti saanud inimeste tulemused loetakse  keskmisteks; 
116 - 130 IQ punkti saanud inimesed on kõrgete vaimsete 
võimetega;
üle 130-punktise tulemusega inimesed aga vaimselt väga  andekad; 
70 - 84 punkti saanud inimestel on madalad vaimsed võimed;  alla normi e. alla 70 IQ punkti arvestatakse vaimset 
alaarengut. kuni 69 70 - 84 85 - 115 116 - 129 üle 130 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 2.3% 13.6% 68.3% 13.6% 2.3% IQ normid IQ o sa k a a l


N(100;15) tihedusfunktsioon f(x) N(100;15) jaotusfunktsioon F(x) N(0;1) tihedusfunktsioon f(x) N(0;1) jaotusfunktsioon F(x) -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Jaotusfunktsioon N(0;1) N(0;1)
alfa=0,01
alfa=0,05
alfa=0,1
alfa=0,9
alfa=0,95
alfa=0,99 Z-score F( x )


-keskmise vaimse võimega inimeste osakaal populatsioonis
-"normaalse" vaimse võimega inimeste osakaal populatsioonis Normaljaotuse funktsioonid Excelis Pöördfunktsioonid α 0.01 0.05 0.1 0.9 0.95 NORM.INV 65.10478 75.3272 80.77673 119.2233 124.6728 NORM.S.INV -2.326348 -1.644854 -1.281552 1.281552 1.644854 Tihedus- ja jaotusfunktsioonid Standardhälbe alusel (kolme sigma reegel) moodustatud normid 
jagunevad nii:
85 - 115 punkti saanud inimeste tulemused loetakse  keskmisteks; 
116 - 130 IQ punkti saanud inimesed on kõrgete vaimsete 
võimetega;
üle 130-punktise tulemusega inimesed aga vaimselt väga  andekad; 
70 - 84 punkti saanud inimestel on madalad vaimsed võimed;  alla normi e. alla 70 IQ punkti arvestatakse vaimset 
alaarengut. kuni 69 70 - 84 85 - 115 116 - 129 üle 130 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 2.3% 13.6% 68.3% 13.6% 2.3% IQ normid IQ o sa k a a l


x 75.3272 124.6728 Z -1.644854 1.644854 NORM.DIST, cum = FALSE 0.006876 0.006876 NORM.DIST, cum = TRUE 0.05 0.95 NORM.S.DIST, cum = FALSE 0.103136 0.103136 NORM.S.DIST, cum = TRUE 0.05 0.95


0.99 134.8952 IQ score
2.326348 std


tihedusfunktsioon f(x) =NORM.DIST(X; μ; σ; 0) jaotusfunktsioon F(x) =NORM.DIST(X; μ; σ; 1) Pikkus, cm Pikkus, cm f(x) F(x) 155 140 0.000023% 0.000025% 155 141 0.000055% 0.000062% 156 142 0.000128% 0.000148% 156 143 0.000288% 0.000346% 157 144 0.000628% 0.000783% 157 145 0.001329% 0.001721% 158 146 0.002724% 0.003670% 159 147 0.005411% 0.007595% 159 148 0.010417% 0.015257% 160 149 0.019435% 0.029755% 160 150 0.035142% 0.056343% 160 151 0.061582% 0.103598% 160 152 0.104583% 0.185003% 160 153 0.172128% 0.320918% 160 154 0.274556% 0.540861% 160 155 0.424418% 0.885823% 162 156 0.635831% 1.410210% 162 157 0.923156% 2.182808% 162 158 1.298954% 3.286062% 162 159 1.771322% 4.812989% 162 160 2.340920% 6.861231% 162 161 2.998202% 9.524193% 163 162 3.721520% 12.879788% 163 163 4.476773% 16.978001% 163 164 5.219092% 21.829101% 163 165 0.058967148472 27.394634% 163 166 6.456698% 33.583256% 163 167 6.851664% 40.252888% 163 168 7.046393% 47.219642% 163 169 7.023003% 54.272740% 163 170 6.783660% 61.193441% 164 171 6.350246% 67.775185% 164 172 5.761057% 73.841886% 164 173 5.065229% 79.261707% 164 174 4.315997% 83.954572% 164 175 3.564088% 87.892899% Ülesanne 5 (normaaljaotus). Andmeteks on TTK naisüliõpilaste pikkused. Kas pikkuste jaotust võib pidada ligikaudu normaalseks?
Leidke tõenäosused nii pikkustele kui ka nende z-väärtustele (standardiseeritud väärtustele) ning seejärel genereerida diagramme.
Näidake, et tütarlaste pikkused jaotuvad ligilähedaselt normaaljaotusele. Kasutage selleks kolme sigma reeglit ehk kontrollige proportsioone normaaljaotuskõvera all.
Vastake lisaküsimustele. 


164 176 2.852338% 91.096263% 164 177 2.212273% 93.621612% 164 178 1.662883% 95.551167% 164 179 1.211351% 96.980105% 165 180 0.855191% 98.005735% 165 181 0.585116% 98.719225% 165 182 0.387977% 99.200292% 165 183 0.249319% 99.514665% 165 184 0.155271% 99.713779% 165 185 0.093715% 99.836010% 165 186 0.054817% 99.908735% 165 187 0.031074% 99.950672% 165 188 0.017072% 99.974112% 165 189 0.009089% 99.986809% 165 190 0.004690% 99.993475% 165 191 0.002345% 99.996867% 165 192 0.001137% 99.998540% 165 193 0.000534% 99.999340% 166 194 0.000243% 99.999710% 166 195 0.000107% 99.999877% 166 196 0.000046% 99.999949% 166 kokku 99.99995360% 166
166
166
167
167
167
167
167
167
167
167
167
167
168
168
168
168
168
168
168
168
168
168


168
168
168
168
168 168
168 169
169
169
169
169 169
169 170
170
170
170
170
170
170
170
170
170
170
170
170 170 171
171
171
171
171
171
172
172
172
172
172
172
172
172
172
172
173


173
173
173
173
173
173
173
173 173 174
174
174 174 175
175
175
175
176
176
176
176
176
176
176
176
176 176 177
177
177
177
178
178
179
179
179
180
182
182


f(x) =NORM.S.DIST(Z; 0) 0 - cum=FALSE F(x) =NORM.S.DIST(Z; 1) 1 - cum=TRUE Z-score f(x) F(x) -5.027347 0.00013% 0.0000249% -4.85029 0.00031% 0.0000616% -4.673233 0.00072% 0.0001482% mediaanpikkus =MEDIAN -4.496176 0.00163% 0.0003459% -4.319119 0.00355% 0.0007833% -4.142062 0.00751% 0.0017210% asümmeetriakordaja =SKEW -3.965005 0.01538% 0.0036697% -3.787948 0.03056% 0.0075948% -3.610891 0.05883% 0.0152574% -3.433834 0.10977% 0.0297555% Funktsioonide graafikud: Insert -> Charts -> Scatter with Smooth Lines -3.256777 0.19848% 0.0563426% -3.07972 0.34781% 0.1035978% -2.902662 0.59067% 0.1850026% -2.725605 0.97216% 0.3209184% -2.548548 1.55066% 0.5408614% -2.371491 2.39707% 0.8858231% -2.194434 3.59111% 1.4102102% -2.017377 5.21389% 2.1828080% -1.84032 7.33636% 3.2860621% -1.663263 10.00424% 4.8129886% -1.486206 13.22128% 6.8612307% -1.309149 16.93354% 9.5241932% -1.132092 21.01876% 12.8797876% -0.955035 25.28435% 16.9780007% -0.777978 29.47690% 21.8291014% -0.600921 33.30404% 27.3946343% -0.423864 36.46677% 33.5832560% -0.246807 38.69749% 40.2528878% -0.06975 39.79730% 47.2196424% 0.107307 39.66520% 54.2727403% 0.284364 38.31342% 61.1934410% 0.461421 35.86553% 67.7751846% 0.638478 32.53786% 73.8418856% 0.815535 28.60789% 79.2617068% 0.992593 24.37631% 83.9545715% 1.16965 20.12960% 87.8928990% keskmine pikkus μ =AVERAGE standardhälve σ =STDEV.S Ülesanne 5 (normaaljaotus). Andmeteks on TTK naisüliõpilaste pikkused. Kas pikkuste jaotust võib pidada ligikaudu normaalseks?
Leidke tõenäosused nii pikkustele kui ka nende z-väärtustele (standardiseeritud väärtustele) ning seejärel genereerida diagramme.
Näidake, et tütarlaste pikkused jaotuvad ligilähedaselt normaaljaotusele. Kasutage selleks kolme sigma reeglit ehk kontrollige proportsioone normaaljaotuskõvera all.
Vastake lisaküsimustele.  𝑍=(𝑋−𝜇)/
𝜎 140 144 148 152 156 160 164 168 172 176 180 184 188 192 196 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% f(x) pikkus, cm  o sa k a a l 140 144 148 152 156 160 164 168 172 176 180 184 188 192 196 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% F(x) pikkus, cm k u m .  o sa k a a l


1.346707 16.10971% 91.0962629% 1.523764 12.49469% 93.6216120% 1.700821 9.39179% 95.5511670% 1.877878 6.84158% 96.9801055% 2.054935 4.83003% 98.0057348% 2.231992 3.30467% 98.7192249% 2.409049 2.19125% 99.2002922% 2.586106 1.40813% 99.5146645% 2.763163 0.87695% 99.7137791% 2.94022 0.52929% 99.8360104% 3.117277 0.30960% 99.9087350% 3.294334 0.17551% 99.9506724% 3.471391 0.09642% 99.9741115% 3.648448 0.05134% 99.9868085% 3.825505 0.02649% 99.9934748% 4.002562 0.01325% 99.9968670% 4.179619 0.00642% 99.9985400% 4.356676 0.00302% 99.9993397% 4.533733 0.00137% 99.9997102% 4.71079 0.00061% 99.9998766% 4.887848 0.00026% 99.9999490% 140 144 148 152 156 160 164 168 172 176 180 184 188 192 196 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% F(x) pikkus, cm k u m .  o sa k a a l -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% N(0;1) f(Z) Z o sa k a a l


Proportsioonid normaaljaotuskõvera all (kolme sigma reegel) Põhilised arvkarakteristikud Intervall alampiir ülempiir valemi suurus n 165 162.7 174.0 168.4 cm 157.1 179.7 mediaanpikkus =MEDIAN 168 cm 151.45 185.3 5.65 cm Järeldus: empiirilised ja teoreetilised osakaalud on lähedased, järelikult tütarlaste pikkused jaotuvad ligilähedaselt normaaljaotusele. asümmeetriakordaja =SKEW -0.02 ekstsess =KURT -0.29 Funktsioonide graafikud: Insert -> Charts -> Scatter with Smooth Lines [μ-σ;μ+σ] keskmine pikkus μ =AVERAGE [μ-2σ;μ+2σ]
[μ-3σ;μ+3σ] standardhälve σ =STDEV.S 𝑍=(𝑋−𝜇)/
𝜎 140 144 148 152 156 160 164 168 172 176 180 184 188 192 196 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% f(x) pikkus, cm  o sa k a a l 140 144 148 152 156 160 164 168 172 176 180 184 188 192 196 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% F(x) pikkus, cm k u m .  o sa k a a l This chart isn't available in your version of Excel. Editing this shape or saving this workbook into a different file format will permanently break the chart.


140 144 148 152 156 160 164 168 172 176 180 184 188 192 196 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% F(x) pikkus, cm k u m .  o sa k a a l -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% N(0;1) f(Z) Z o sa k a a l -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% N(0;1) F(Z) Z k u m .  o sa k a a l


Proportsioonid normaaljaotuskõvera all (kolme sigma reegel) emmpiiriline teoreetiline sagedus osakaal, % osakaal normaaljaotusega, % 117 70.91% 68.27% 156 94.55% 95.45% 165 100.00% 99.73% Järeldus: empiirilised ja teoreetilised osakaalud on lähedased, järelikult tütarlaste pikkused jaotuvad ligilähedaselt normaaljaotusele. Lisaküsimused a) Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud pikkus on väiksem kui 165 cm? b) Kui suur on tõenäosus, et  juhuslikult valitud pikkus on suurem kui 176 cm? c) Kui suure tõenäosusega juhuslikult valitud pikkus on vahemikus 160-170 cm? d) Milline on pikkus, millest lühemaid on 12% tütarlastest? e) Milline on pikkus, millest pikemaid on 1% tütarlastest? This chart isn't available in your version of Excel. Editing this shape or saving this workbook into a different file format will permanently break the chart.


-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% N(0;1) F(Z) Z k u m .  o sa k a a l


Järeldus: empiirilised ja teoreetilised osakaalud on lähedased, järelikult tütarlaste pikkused jaotuvad ligilähedaselt normaaljaotusele. Vastused a) Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud pikkus on väiksem kui 165 cm? 27.4% b) Kui suur on tõenäosus, et  juhuslikult valitud pikkus on suurem kui 176 cm? 8.90% c) Kui suure tõenäosusega juhuslikult valitud pikkus on vahemikus 160-170 cm? 54.3% d) Milline on pikkus, millest lühemaid on 12% tütarlastest? 161.76 e) Milline on pikkus, millest pikemaid on 1% tütarlastest? 181.53


NÄIDE 3 (Studenti t-jaotus) Studenti t-jaotuse tihedusfunktsioon =T.DIST(x;df;cum=FALSE) t(1) t(5) t(10) t(30) t(60) t(100) X \ df 1 5 10 30 60 100 -4 0.01872 0.00512 0.00203 0.00052 0.00029 0.00022 -3.9 0.01964 0.00575 0.00241 0.00069 0.00040 0.00031 -3.8 0.02062 0.00646 0.00285 0.00090 0.00055 0.00044 -3.7 0.02167 0.00727 0.00339 0.00117 0.00075 0.00061 -3.6 0.02280 0.00819 0.00402 0.00151 0.00102 0.00085 -3.5 0.02402 0.00924 0.00478 0.00196 0.00137 0.00116 -3.4 0.02534 0.01045 0.00569 0.00253 0.00184 0.00159 -3.3 0.02677 0.01183 0.00677 0.00326 0.00245 0.00215 -3.2 0.02832 0.01341 0.00805 0.00417 0.00325 0.00290 -3.1 0.03000 0.01522 0.00958 0.00533 0.00428 0.00387 -3 0.03183 0.01729 0.01140 0.00678 0.00560 0.00513 -2.9 0.03383 0.01968 0.01356 0.00859 0.00727 0.00674 -2.8 0.03601 0.02242 0.01612 0.01083 0.00938 0.00880 -2.7 0.03840 0.02556 0.01915 0.01358 0.01203 0.01139 -2.6 0.04102 0.02918 0.02273 0.01696 0.01531 0.01463 -2.5 0.04390 0.03333 0.02694 0.02106 0.01934 0.01863 -2.4 0.04709 0.03809 0.03188 0.02600 0.02426 0.02353 -2.3 0.05061 0.04355 0.03766 0.03192 0.03019 0.02946 -2.2 0.05451 0.04980 0.04438 0.03895 0.03728 0.03658 -2.1 0.05884 0.05695 0.05217 0.04721 0.04567 0.04501 -2 0.06366 0.06509 0.06115 0.05685 0.05549 0.05491 -1.9 0.06905 0.07434 0.07143 0.06798 0.06686 0.06638 -1.8 0.07507 0.08481 0.08312 0.08071 0.07988 0.07952 -1.7 0.08183 0.09661 0.09631 0.09510 0.09462 0.09440 -1.6 0.08941 0.10982 0.11108 0.11119 0.11109 0.11103 -1.5 0.09794 0.12452 0.12744 0.12896 0.12926 0.12937 -1.4 0.10754 0.14074 0.14539 0.14834 0.14904 0.14932 -1.3 0.11833 0.15848 0.16485 0.16919 0.17028 0.17072 -1.2 0.13045 0.17766 0.18566 0.19129 0.19273 0.19331 -1.1 0.14403 0.19814 0.20761 0.21435 0.21609 0.21679 -1 0.15915 0.21968 0.23036 0.23799 0.23997 0.24077 -0.9 0.17586 0.24194 0.25353 0.26179 0.26392 0.26478 -0.8 0.19409 0.26449 0.27663 0.28523 0.28745 0.28834 -0.7 0.21363 0.28677 0.29909 0.30777 0.31000 0.31090 -0.6 0.23405 0.30814 0.32033 0.32885 0.33103 0.33190 -0.5 0.25465 0.32792 0.33970 0.34788 0.34996 0.35080 -0.4 0.27441 0.34538 0.35658 0.36432 0.36629 0.36708 -0.3 0.29203 0.35982 0.37040 0.37768 0.37953 0.38027 -0.2 0.30607 0.37064 0.38066 0.38755 0.38929 0.38999 -0.1 0.31516 0.37734 0.38698 0.39359 0.39527 0.39594 0 0.31831 0.37961 0.38911 0.39563 0.39728 0.39795 eng. Student's T-distribution https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-distribution eng. pdf - probability distribution function


0.1 0.31516 0.37734 0.38698 0.39359 0.39527 0.39594 0.2 0.30607 0.37064 0.38066 0.38755 0.38929 0.38999 0.3 0.29203 0.35982 0.37040 0.37768 0.37953 0.38027 0.4 0.27441 0.34538 0.35658 0.36432 0.36629 0.36708 0.5 0.25465 0.32792 0.33970 0.34788 0.34996 0.35080 0.6 0.23405 0.30814 0.32033 0.32885 0.33103 0.33190 0.7 0.21363 0.28677 0.29909 0.30777 0.31000 0.31090 0.8 0.19409 0.26449 0.27663 0.28523 0.28745 0.28834 0.9 0.17586 0.24194 0.25353 0.26179 0.26392 0.26478 1 0.15915 0.21968 0.23036 0.23799 0.23997 0.24077 1.1 0.14403 0.19814 0.20761 0.21435 0.21609 0.21679 1.2 0.13045 0.17766 0.18566 0.19129 0.19273 0.19331 1.3 0.11833 0.15848 0.16485 0.16919 0.17028 0.17072 1.4 0.10754 0.14074 0.14539 0.14834 0.14904 0.14932 1.5 0.09794 0.12452 0.12744 0.12896 0.12926 0.12937 1.6 0.08941 0.10982 0.11108 0.11119 0.11109 0.11103 1.7 0.08183 0.09661 0.09631 0.09510 0.09462 0.09440 1.8 0.07507 0.08481 0.08312 0.08071 0.07988 0.07952 1.9 0.06905 0.07434 0.07143 0.06798 0.06686 0.06638 2 0.06366 0.06509 0.06115 0.05685 0.05549 0.05491 2.1 0.05884 0.05695 0.05217 0.04721 0.04567 0.04501 2.2 0.05451 0.04980 0.04438 0.03895 0.03728 0.03658 2.3 0.05061 0.04355 0.03766 0.03192 0.03019 0.02946 2.4 0.04709 0.03809 0.03188 0.02600 0.02426 0.02353 2.5 0.04390 0.03333 0.02694 0.02106 0.01934 0.01863 2.6 0.04102 0.02918 0.02273 0.01696 0.01531 0.01463 2.7 0.03840 0.02556 0.01915 0.01358 0.01203 0.01139 2.8 0.03601 0.02242 0.01612 0.01083 0.00938 0.00880 2.9 0.03383 0.01968 0.01356 0.00859 0.00727 0.00674 3 0.03183 0.01729 0.01140 0.00678 0.00560 0.00513 3.1 0.03000 0.01522 0.00958 0.00533 0.00428 0.00387 3.2 0.02832 0.01341 0.00805 0.00417 0.00325 0.00290 3.3 0.02677 0.01183 0.00677 0.00326 0.00245 0.00215 3.4 0.02534 0.01045 0.00569 0.00253 0.00184 0.00159 3.5 0.02402 0.00924 0.00478 0.00196 0.00137 0.00116 3.6 0.02280 0.00819 0.00402 0.00151 0.00102 0.00085 3.7 0.02167 0.00727 0.00339 0.00117 0.00075 0.00061 3.8 0.02062 0.00646 0.00285 0.00090 0.00055 0.00044 3.9 0.01964 0.00575 0.00241 0.00069 0.00040 0.00031 4 0.01872 0.00512 0.00203 0.00052 0.00029 0.00022


df=n-1 N(0;1) std norm 0.000134
0.000199
0.000292
0.000425
0.000612
0.000873
0.001232
0.001723
0.002384
0.003267
0.004432
0.005953
0.007915
0.010421
0.013583
0.017528
0.022395
0.028327
0.035475
0.043984
0.053991
0.065616
0.07895
0.094049
0.110921
0.129518
0.149727
0.171369
0.194186
0.217852
0.241971
0.266085
0.289692
0.312254
0.333225
0.352065
0.36827
0.381388
0.391043
0.396953
0.398942 https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-distribution df - vabadusastmete arv (eng. degree of freedom) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 T jaotuse tihedusfunktsioon t(1)
t(5)
t(10)
t(30)
t(60)
N(0;1) x f( x ) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 T-jaotuse jaotusfunktsioon t(1)
t(5)
t(10)
t(30)
t(60)
N(0;1) x F( x )


0.396953
0.391043
0.381388
0.36827
0.352065
0.333225
0.312254
0.289692
0.266085
0.241971
0.217852
0.194186
0.171369
0.149727
0.129518
0.110921
0.094049
0.07895
0.065616
0.053991 T-jaotuse funktsioonid Excelis 0.043984
0.035475
0.028327
0.022395 osakaal (nivoo) 0.017528 vabadusastmete arv 0.013583 jaotusfunktsiooni pöördfunktsioon (vasakpoolne) 0.010421 jaotusfunktsiooni pöördfunktsioon (kahepoolne) 0.007915
0.005953 Tihedus- ja jaotusfunktsioonid 0.004432
0.003267
0.002384
0.001723 tihedusfunktsioon f(x) 0.001232 jaotusfunktsioon (vasakpoolne) F(x) 0.000873 jaotusfunktsioon (parempoolne) 0.000612 jaotusfunktsioon (kahepoolne) 0.000425
0.000292
0.000199
0.000134 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 T-jaotuse jaotusfunktsioon t(1)
t(5)
t(10)
t(30)
t(60)
N(0;1) x F( x ) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Jaotusfunktsioon t(5) t(5)
alfa=0,01
alfa=0,05
alfa=0,1
alfa=0,9
alfa=0,95
alfa=0,99 x F( x )


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Jaotusfunktsioon t(5) t(5)
alfa=0,01
alfa=0,05
alfa=0,1
alfa=0,9
alfa=0,95
alfa=0,99 x F( x )


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 T jaotuse tihedusfunktsioon t(1)
t(5)
t(10)
t(30)
t(60)
N(0;1) x f( x ) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 T-jaotuse jaotusfunktsioon t(1)
t(5)
t(10)
t(30)
t(60)
N(0;1) x F( x )


T-jaotuse funktsioonid Excelis Pöördfunktsioonid α 0.01 0.05 0.1 0.9 0.95 0.99 df 5 5 5 5 5 5 T.INV -3.36493 -2.015048 -1.475884 1.475884 2.015048 3.36493 T.INV.2T 4.032143 2.570582 2.015048 0.132175 0.065915 0.013172 Tihedus- ja jaotusfunktsioonid x -2.015048 2.015048 df 5 5 T.DIST, cum = FALSE 0.063797 0.063797 T.DIST, cum = TRUE 0.05 0.95 T.DIST.RT 0.95 0.05 T.DIST.2T Err:502 0.1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 T-jaotuse jaotusfunktsioon t(1)
t(5)
t(10)
t(30)
t(60)
N(0;1) x F( x ) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Jaotusfunktsioon t(5) t(5)
alfa=0,01
alfa=0,05
alfa=0,1
alfa=0,9
alfa=0,95
alfa=0,99 x F( x )


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Jaotusfunktsioon t(5) t(5)
alfa=0,01
alfa=0,05
alfa=0,1
alfa=0,9
alfa=0,95
alfa=0,99 x F( x )


Studenti t-jaotuse jaotusfunktsioon =T.DIST(x;df;cum=TRUE) t(1) t(5) t(10) t(30) X \ df 1 5 10 30 -4 0.07798 0.00516 0.00126 0.00019 -3.9 0.07990 0.00570 0.00148 0.00025 -3.8 0.08191 0.00631 0.00174 0.00033 -3.7 0.08402 0.00700 0.00205 0.00043 -3.6 0.08625 0.00777 0.00242 0.00057 -3.5 0.08859 0.00864 0.00286 0.00074 -3.4 0.09105 0.00963 0.00339 0.00096 -3.3 0.09366 0.01074 0.00401 0.00125 -3.2 0.09641 0.01200 0.00475 0.00162 -3.1 0.09933 0.01343 0.00563 0.00209 -3 0.10242 0.01505 0.00667 0.00269 -2.9 0.10570 0.01690 0.00792 0.00346 -2.8 0.10919 0.01900 0.00940 0.00443 -2.7 0.11291 0.02139 0.01116 0.00564 -2.6 0.11688 0.02412 0.01325 0.00716 -2.5 0.12112 0.02725 0.01572 0.00906 -2.4 0.12567 0.03081 0.01866 0.01140 -2.3 0.13055 0.03489 0.02213 0.01429 -2.2 0.13580 0.03955 0.02622 0.01782 -2.1 0.14146 0.04488 0.03104 0.02212 -2 0.14758 0.05097 0.03669 0.02731 -1.9 0.15421 0.05793 0.04331 0.03354 -1.8 0.16141 0.06588 0.05103 0.04096 -1.7 0.16925 0.07494 0.05998 0.04974 -1.6 0.17781 0.08525 0.07034 0.06004 -1.5 0.18717 0.09695 0.08225 0.07203 -1.4 0.19743 0.11020 0.09588 0.08589 -1.3 0.20871 0.12515 0.11138 0.10175 -1.2 0.22114 0.14195 0.12890 0.11977 -1.1 0.23485 0.16073 0.14855 0.14004 -1 0.25000 0.18161 0.17045 0.16265 -0.9 0.26674 0.20469 0.19464 0.18764 -0.8 0.28522 0.23001 0.22115 0.21500 -0.7 0.30560 0.25757 0.24994 0.24466 -0.6 0.32798 0.28733 0.28093 0.27651 -0.5 0.35242 0.31915 0.31395 0.31036 -0.4 0.37888 0.35284 0.34878 0.34600 -0.3 0.40723 0.38812 0.38516 0.38312 -0.2 0.43717 0.42468 0.42274 0.42142 -0.1 0.46827 0.46212 0.46116 0.46050 0 0.50000 0.50000 0.50000 0.50000 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 T jaotuse tihedusfunktsioon t(1)
t(5)
t(10)
t(30)
t(60)
N(0;1) x f( x ) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 T-jaotuse jaotusfunktsioon t(1)
t(5)
t(10)
t(30)
t(60)
N(0;1) x F( x )


0.1 0.53173 0.53788 0.53884 0.53950 0.2 0.56283 0.57532 0.57726 0.57858 0.3 0.59277 0.61188 0.61484 0.61688 0.4 0.62112 0.64716 0.65122 0.65400 0.5 0.64758 0.68085 0.68605 0.68964 0.6 0.67202 0.71267 0.71907 0.72349 0.7 0.69440 0.74243 0.75006 0.75534 0.8 0.71478 0.76999 0.77885 0.78500 0.9 0.73326 0.79531 0.80536 0.81236 1 0.75000 0.81839 0.82955 0.83735 1.1 0.76515 0.83927 0.85145 0.85996 1.2 0.77886 0.85805 0.87110 0.88023 1.3 0.79129 0.87485 0.88862 0.89825 1.4 0.80257 0.88980 0.90412 0.91411 1.5 0.81283 0.90305 0.91775 0.92797 1.6 0.82219 0.91475 0.92966 0.93996 1.7 0.83075 0.92506 0.94002 0.95026 1.8 0.83859 0.93412 0.94897 0.95904 1.9 0.84579 0.94207 0.95669 0.96646 2 0.85242 0.94903 0.96331 0.97269 2.1 0.85854 0.95512 0.96896 0.97788 2.2 0.86420 0.96045 0.97378 0.98218 2.3 0.86945 0.96511 0.97787 0.98571 2.4 0.87433 0.96919 0.98134 0.98860 2.5 0.87888 0.97275 0.98428 0.99094 2.6 0.88312 0.97588 0.98675 0.99284 2.7 0.88709 0.97861 0.98884 0.99436 2.8 0.89081 0.98100 0.99060 0.99557 2.9 0.89430 0.98310 0.99208 0.99654 3 0.89758 0.98495 0.99333 0.99731 3.1 0.90067 0.98657 0.99437 0.99791 3.2 0.90359 0.98800 0.99525 0.99838 3.3 0.90634 0.98926 0.99599 0.99875 3.4 0.90895 0.99037 0.99661 0.99904 3.5 0.91141 0.99136 0.99714 0.99926 3.6 0.91375 0.99223 0.99758 0.99943 3.7 0.91598 0.99300 0.99795 0.99957 3.8 0.91809 0.99369 0.99826 0.99967 3.9 0.92010 0.99430 0.99852 0.99975 4 0.92202 0.99484 0.99874 0.99981 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 T-jaotuse jaotusfunktsioon t(1)
t(5)
t(10)
t(30)
t(60)
N(0;1) x F( x ) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Jaotusfunktsioon t(5) t(5)
alfa=0,01
alfa=0,05
alfa=0,1
alfa=0,9
alfa=0,95
alfa=0,99 x F( x )


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Jaotusfunktsioon t(5) t(5)
alfa=0,01
alfa=0,05
alfa=0,1
alfa=0,9
alfa=0,95
alfa=0,99 x F( x )


Studenti t-jaotuse jaotusfunktsioon =T.DIST(x;df;cum=TRUE) df=n-1 t(60) t(100) N(0;1) 60 100 std norm 0.00009 0.00006 0.00003 0.00012 0.00009 0.00005 0.00017 0.00012 0.00007 0.00024 0.00018 0.00011 0.00032 0.00025 0.00016 0.00044 0.00035 0.00023 0.00060 0.00048 0.00034 0.00082 0.00067 0.00048 0.00110 0.00092 0.00069 0.00147 0.00126 0.00097 0.00196 0.00170 0.00135 0.00260 0.00229 0.00187 0.00343 0.00307 0.00256 0.00450 0.00407 0.00347 0.00586 0.00537 0.00466 0.00759 0.00702 0.00621 0.00976 0.00912 0.00820 0.01247 0.01176 0.01072 0.01583 0.01505 0.01390 0.01997 0.01912 0.01786 0.02502 0.02411 0.02275 0.03112 0.03016 0.02872 0.03844 0.03744 0.03593 0.04715 0.04612 0.04457 0.05743 0.05638 0.05480 0.06943 0.06838 0.06681 0.08333 0.08230 0.08076 0.09929 0.09829 0.09680 0.11743 0.11649 0.11507 0.13786 0.13699 0.13567 0.16066 0.15986 0.15866 0.18586 0.18514 0.18406 0.21343 0.21280 0.21186 0.24332 0.24278 0.24196 0.27538 0.27493 0.27425 0.30945 0.30909 0.30854 0.34529 0.34500 0.34458 0.38261 0.38240 0.38209 0.42108 0.42094 0.42074 0.46034 0.46027 0.46017 0.50000 0.50000 0.50000 df - vabadusastmete arv (eng. degree of freedom)


0.53966 0.53973 0.53983 0.57892 0.57906 0.57926 0.61739 0.61760 0.61791 0.65471 0.65500 0.65542 0.69055 0.69091 0.69146 0.72462 0.72507 0.72575 0.75668 0.75722 0.75804 0.78657 0.78720 0.78814 0.81414 0.81486 0.81594 0.83934 0.84014 0.84134 0.86214 0.86301 0.86433 0.88257 0.88351 0.88493 0.90071 0.90171 0.90320 0.91667 0.91770 0.91924 0.93057 0.93162 0.93319 0.94257 0.94362 0.94520 0.95285 0.95388 0.95543 0.96156 0.96256 0.96407 0.96888 0.96984 0.97128 0.97498 0.97589 0.97725 0.98003 0.98088 0.98214 0.98417 0.98495 0.98610 0.98753 0.98824 0.98928 0.99024 0.99088 0.99180 0.99241 0.99298 0.99379 0.99414 0.99463 0.99534 0.99550 0.99593 0.99653 0.99657 0.99693 0.99744 0.99740 0.99771 0.99813 0.99804 0.99830 0.99865 0.99853 0.99874 0.99903 0.99890 0.99908 0.99931 0.99918 0.99933 0.99952 0.99940 0.99952 0.99966 0.99956 0.99965 0.99977 0.99968 0.99975 0.99984 0.99976 0.99982 0.99989 0.99983 0.99988 0.99993 0.99988 0.99991 0.99995 0.99991 0.99994 0.99997


NÄIDE 4 (Hii-ruut jaotus) X \ df 1 5 10 15 0.0 0 0 0 0 0.5 0.439391 0.036616 6.338E-05 2.54E-08
1.0 0.241971 0.080657 0.00079 1.791E-06 1.5 0.153866 0.1154 0.003114 1.945E-05 2.0 0.103777 0.138369 0.007664 9.83E-05
2.5 0.072289 0.150602 0.014572 0.000327
3.0 0.051393 0.15418 0.023533 0.000832 3.5 0.037056 0.151313 0.033954 0.001764
4.0 0.026995 0.143976 0.045112 0.003273
4.5 0.019822 0.133797 0.056276 0.005481
5.0 0.014645 0.122042 0.066801 0.008467
5.5 0.010875 0.109654 0.076169 0.012252
6.0 0.008109 0.097304 0.084016 0.016797
6.5 0.006067 0.085448 0.090123 0.02201 7.0 0.004553 0.074371 0.094406 0.027749
7.5 0.003426 0.064236 0.09689 0.03384 8.0 0.002583 0.055112 0.097683 0.040091
8.5 0.001952 0.047007 0.096953 0.046303
9.0 0.001477 0.039887 0.094904 0.052287
9.5 0.00112 0.033688 0.091756 0.057869 10.0 0.00085 0.028335 0.087734 0.062903 10.5 0.000646 0.023743 0.083052 0.067271
11.0 0.000492 0.019827 0.077909 0.070888
11.5 0.000374 0.016506 0.072483 0.073703
12.0 0.000285 0.013702 0.066926 0.075693
12.5 0.000218 0.011345 0.061367 0.076863
13.0 0.000166 0.009371 0.055911 0.077243
13.5 0.000127 0.007723 0.050639 0.076882
14.0 9.723E-05 0.006352 0.045613 0.075843
14.5 7.44E-05 0.005214 0.040877 0.074199
15.0 5.697E-05 0.004273 0.036458 0.072032
15.5 4.365E-05 0.003495 0.032373 0.069425
16.0 3.346E-05 0.002855 0.028626 0.066461
16.5 2.566E-05 0.002329 0.025214 0.063221
17.0 1.969E-05 0.001897 0.022127 0.05978 17.5 1.511E-05 0.001543 0.019351 0.05621 18.0 1.16E-05 0.001253 0.016869 0.052573
18.5 8.915E-06 0.001017 0.014659 0.048925
19.0 6.851E-06 0.000824 0.012702 0.045315
19.5 5.266E-06 0.000668 0.010975 0.041783
20.0 4.05E-06 0.00054 0.009458 0.038361 20.5 3.115E-06 0.000436 0.008131 0.035077 eng. Chi-square distribution https://en.wikipedia.org/wiki/Chi-squared_distribution χ2 -jaotuse tihedusfunktsioon =CHISQ.DIST(x;df;cum=FALSE)
eng. pdf - probability distribution function 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Hii-ruut tihedusfunktsioon df=1
df=5
df=10
df=15 x f( x ) 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Hii-ruut jaotusfunktsioon df=1
df=5
df=10
df=15 x F( x )


21.0 2.397E-06 0.000352 0.006973 0.03195 21.5 1.845E-06 0.000284 0.005967 0.028995
22.0 1.421E-06 0.000229 0.005094 0.026221
22.5 1.094E-06 0.000185 0.004341 0.023633
23.0 8.427E-07 0.000149 0.003691 0.021232
23.5 6.493E-07 0.00012 0.003133 0.019016 24.0 5E-07 9.607E-05 0.002654 0.016982 jaotusfunktsiooni pöördfunktsioon (vasakpoolne) 24.5 3.857E-07 7.717E-05 0.002245 0.015122 jaotusfunktsiooni pöördfunktsioon parempoolne) 25.0 2.973E-07 6.195E-05 0.001895 0.01343 25.5 2.293E-07 4.97E-05 0.001598 0.011896
26.0 1.768E-07 3.985E-05 0.001345 0.010511
26.5 1.364E-07 3.193E-05 0.00113 0.009265 27.0 1.053E-07 2.558E-05 0.000949 0.008148
27.5 8.123E-08 2.048E-05 0.000795 0.007149
28.0 6.269E-08 1.638E-05 0.000666 0.00626 28.5 4.839E-08 1.31E-05 0.000556 0.005469
29.0 3.736E-08 1.047E-05 0.000464 0.004769
29.5 2.885E-08 8.369E-06 0.000387 0.004151
30.0 2.228E-08 6.684E-06 0.000323 0.003606 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Hii-ruut jaotusfunktsioon df=5 df=5
alfa=0,01
alfa=0,05
alfa=0,1
alfa=0,9
alfa=0,95
alfa=0,99 x F( x )


https://en.wikipedia.org/wiki/Chi-squared_distribution df - vabadusastmete arv (eng. degree of freedom) 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Hii-ruut tihedusfunktsioon df=1
df=5
df=10
df=15 x f( x ) 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Hii-ruut jaotusfunktsioon df=1
df=5
df=10
df=15 x F( x )


Hii-ruut jaotuse funktsioonid Excelis Pöördfunktsioonid osakaal (nivoo) α 0.01 vabadusastmete arv df 5 jaotusfunktsiooni pöördfunktsioon (vasakpoolne) CHISQ.INV 0.554298 jaotusfunktsiooni pöördfunktsioon parempoolne) CHISQ.INV.RT 15.08627 Tihedus- ja jaotusfunktsioonid x 1.145476 df 5 tihedusfunktsioon f(x) CHISQ.DIST, cum = FALSE 0.091946 jaotusfunktsioon (vasakpoolne) F(x) CHISQ.DIST, cum = TRUE 0.05 jaotusfunktsioon (parempoolne) CHISQ.DIST.RT 0.95 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Hii-ruut jaotusfunktsioon df=5 df=5
alfa=0,01
alfa=0,05
alfa=0,1
alfa=0,9
alfa=0,95
alfa=0,99 x F( x )


X \ df 1 0.0 0 0.5 0.5205 1.0 0.682689
1.5 0.779329
2.0 0.842701
2.5 0.886154
3.0 0.916735
3.5 0.938631
4.0 0.9545 4.5 0.966105
5.0 0.974653
5.5 0.980984
6.0 0.985694
6.5 0.989213
7.0 0.991849
7.5 0.99383 8.0 0.995322
8.5 0.996449
9.0 0.9973 9.5 0.997945 10.0 0.998435
10.5 0.998806
11.0 0.999089
11.5 0.999304
12.0 0.999468
12.5 0.999593
13.0 0.999689
13.5 0.999761
14.0 0.999817
14.5 0.99986 15.0 0.999892
15.5 0.999917
16.0 0.999937
16.5 0.999951
17.0 0.999963
17.5 0.999971
18.0 0.999978
18.5 0.999983
19.0 0.999987
19.5 0.99999 20.0 0.999992
20.5 0.999994 χ2 -jaotuse jaotusfunktsioon =CHISQ.DIST(x;df;cum=TRUE) 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Hii-ruut tihedusfunktsioon df=1
df=5
df=10
df=15 x f( x ) 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Hii-ruut jaotusfunktsioon df=1
df=5
df=10
df=15 x F( x )


21.0 0.999995
21.5 0.999996
22.0 0.999997
22.5 0.999998 0.05 0.1 0.9 0.95 0.99 23.0 0.999998 5 5 5 5 5 23.5 0.999999 1.145476 1.610308 9.236357 11.0705 15.08627 24.0 0.999999 11.0705 9.236357 1.610308 1.145476 0.554298 24.5 0.999999
25.0 0.999999
25.5 1 26.0 1 26.5 1 11.0705 27.0 1 5 27.5 1 0.019325 28.0 1 0.95 28.5 1 0.05 29.0 1 29.5 1 30.0 1 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Hii-ruut jaotusfunktsioon df=5 df=5
alfa=0,01
alfa=0,05
alfa=0,1
alfa=0,9
alfa=0,95
alfa=0,99 x F( x )


5 10 15 0 0 0 0.007877 6.612E-06 1.745E-09
0.037434 0.000172 2.536E-07 0.08693 0.001065 4.263E-06 0.150855 0.00366 2.965E-05 0.223505 0.009124 0.000127
0.300014 0.018576 0.000402
0.376612 0.032902 0.00103 0.450584 0.052653 0.002263
0.520117 0.078014 0.00442 0.58412 0.108822 0.007874 0.642054 0.144621 0.01302 0.693781 0.184737 0.020252
0.739442 0.228347 0.029929 0.77936 0.274555 0.04235 0.81397 0.322452 0.057737 0.843764 0.371163 0.076217
0.869252 0.419882 0.097822
0.890936 0.467896 0.122483
0.909293 0.514602 0.150042
0.924765 0.559507 0.18026 0.937754 0.602226 0.212833 0.94862 0.642482 0.247406
0.95768 0.680089 0.283588 0.965212 0.714943 0.320971
0.971457 0.747015 0.359144
0.976621 0.776328 0.397702
0.980882 0.802957 0.436263
0.984391 0.827008 0.474471
0.987273 0.848618 0.512005
0.989638 0.867938 0.548583
0.991573 0.885132 0.583964
0.993156 0.900368 0.617948
0.994448 0.913814 0.650379 0.9955 0.925636 0.681136 0.996357 0.935993 0.710137
0.997054 0.945036 0.737334
0.997619 0.952907 0.762708
0.998078 0.959737 0.786266
0.998449 0.965647 0.808037 0.99875 0.970747 0.828067 0.998993 0.975137 0.846421 -jaotuse jaotusfunktsioon =CHISQ.DIST(x;df;cum=TRUE)


0.99919 0.978906 0.863171 0.999349 0.982135 0.8784 0.999476 0.984895 0.892196
0.999579 0.98725 0.904652 0.999662 0.989253 0.91586 0.999729 0.990956 0.925914
0.999783 0.9924 0.934907 0.999826 0.993622 0.942925
0.999861 0.994654 0.950057
0.999888 0.995526 0.956382
0.999911 0.99626 0.961977 0.999929 0.996877 0.966916
0.999943 0.997396 0.971264
0.999954 0.997831 0.975083
0.999964 0.998195 0.978431
0.999971 0.998499 0.981359
0.999977 0.998754 0.983915
0.999982 0.998966 0.986142
0.999985 0.999143 0.988079


NÄIDE 5 (Fisheri F-jaotus) F-jaotuse tihedusfunktsioon =F.DIST(x;df1;df2;cum=FALSE) df1 1 1 2 5 10 X \ df2 1 2 1 1 2 0 #NUM! #NUM! 1 0 0 0.2 0.593135 0.685253 0.603682 0.530516 0.390625
0.4 0.359494 0.425259 0.414087 0.444601 0.548697
0.6 0.256835 0.307939 0.306454 0.344581 0.494385
0.8 0.197712 0.238626 0.238528 0.271624 0.4096 1 0.159155 0.19245 0.19245 0.21968 0.334898 1.2 0.13208 0.159472 0.159508 0.181853 0.275395 1.4 0.112092 0.134809 0.134997 0.15352 0.228977 1.6 0.096787 0.115741 0.116179 0.131734 0.192684
1.8 0.084734 0.100621 0.101359 0.114592 0.164025 2 0.075026 0.088388 0.089443 0.100835 0.141118 2.2 0.067064 0.078328 0.079691 0.089605 0.122581
2.4 0.060432 0.069938 0.071591 0.080303 0.1074 2.6 0.054835 0.06286 0.064776 0.072497 0.09483 2.8 0.05006 0.056828 0.058977 0.065873 0.084315 3 0.045944 0.05164 0.053995 0.060196 0.075437 3.2 0.042367 0.047143 0.049677 0.055287 0.067878
3.4 0.039234 0.043219 0.045905 0.051009 0.06139 3.6 0.03647 0.039771 0.042587 0.047254 0.055784 3.8 0.034019 0.036725 0.039651 0.043937 0.050907 4 0.031831 0.034021 0.037037 0.04099 0.046638 4.2 0.029869 0.031607 0.034698 0.038357 0.042883
4.4 0.028102 0.029444 0.032596 0.035995 0.039561
4.6 0.026502 0.027498 0.030697 0.033865 0.036609
4.8 0.02505 0.02574 0.028976 0.031936 0.033974 5 0.023725 0.024147 0.02741 0.030184 0.031613 F-jaotuse jaotusfunktsioon =F.DIST(x;df1;df2;cum=TRUE) df1 1 1 2 5 10 X \ df2 1 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0.5 0.391827 0.447214 0.292893 0.216437 0.185934 1 0.5 0.57735 0.42265 0.363217 0.401878 1.5 0.564094 0.654654 0.5 0.451349 0.534825 2 0.608173 0.707107 0.552786 0.511084 0.620921 2.5 0.640983 0.745356 0.591752 0.554878 0.680583 3 0.666667 0.774597 0.622036 0.588724 0.724196 3.5 0.687494 0.797724 0.646447 0.615884 0.757411 4 0.704833 0.816497 0.666667 0.638299 0.783526 4.5 0.719562 0.83205 0.683772 0.657204 0.804587 eng. Fisher F-distribution https://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution eng. pdf - probability distribution function 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 F-jaotusfunktsioon df1=1, df2=1
df1=1, df2=2
df1=2, df2=1
df1=5, df2=1
df1=10, df2=2 x F( x )


5 0.73228 0.845154 0.698489 0.673428 0.821927 5.5 0.743406 0.856349 0.711325 0.68755 0.836448 6 0.753248 0.866025 0.72265 0.699987 0.848785 6.5 0.762037 0.874475 0.732739 0.711048 0.859395 7 0.769947 0.881917 0.741801 0.720971 0.868616 7.5 0.777116 0.888523 0.75 0.729938 0.876703 8 0.783653 0.894427 0.757464 0.738093 0.883854 8.5 0.789646 0.899735 0.764298 0.745551 0.890222 9 0.795167 0.904534 0.770584 0.752407 0.895929 9.5 0.800275 0.908893 0.776393 0.758737 0.901072 10 0.805018 0.912871 0.781782 0.764605 0.905731


https://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution df - vabadusastmete arv (eng. degree of freedom) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 F-tihedusfunktsioon df1=1, df2=1
df1=1, df2=2
df1=2, df2=1
df1=5, df2=1
df1=10, df2=2 x f( x ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 F-jaotusfunktsioon df1=1, df2=1
df1=1, df2=2
df1=2, df2=1
df1=5, df2=1
df1=10, df2=2 x F( x )


F-jaotuse funktsioonid Excelis Pöördfunktsioonid osakaal (nivoo) vabadusastmete arv 1
vabadusastmete arv 2 jaotusfunktsiooni pöördfunktsioon (vasakpoolne) jaotusfunktsiooni pöördfunktsioon parempoolne) Tihedus- ja jaotusfunktsioonid tihedusfunktsioon f(x) jaotusfunktsioon (vasakpoolne) F(x) jaotusfunktsioon (parempoolne) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 F-tihedusfunktsioon df1=1, df2=1
df1=1, df2=2
df1=2, df2=1
df1=5, df2=1
df1=10, df2=2 x f( x ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 F-jaotusfunktsioon df1=1, df2=1
df1=1, df2=2
df1=2, df2=1
df1=5, df2=1
df1=10, df2=2 x F( x )




α 0.01 0.05 0.1 0.9 0.95 0.99 df1 5 5 5 5 5 5 df2 1 1 1 1 1 1 F.INV 0.061508 0.151334 0.24628 57.24008 230.1619 5763.65 CHISQ.INV.RT 5763.65 230.1619 57.24008 0.24628 0.151334 0.061508 Tihedus- ja jaotusfunktsioonid x 0.151334 230.1619 df1 5 5 df2 1 1 F.DIST, cum = FALSE 0.515321 0.000108 F.DIST, cum = TRUE 0.05 0.95 F.DIST.RT 0.95 0.05


Ülesanne 6. Eksponentjaotuse graafiline uurimine x -argument
λ -parameeter cum=FALSE -tihedusfunktsioon f(x) cum=TRUE -jaotusfunktsioon F(x) Tihedusfunktsioon f(x) Jaotusfunktsioon F(x) X \ λ 0.5 1 1.5 X \ λ 0.5 0 0.5 1 1.5 0 0 0.5 0.3894 0.6065307 0.70855 0.5 0.221199 1 0.303265 0.3678794 0.334695 1 0.393469 1.5 0.236183 0.2231302 0.158099 1.5 0.527633 2 0.18394 0.1353353 0.074681 2 0.632121 2.5 0.143252 0.082085 0.035277 2.5 0.713495 3 0.111565 0.0497871 0.016663 3 0.77687 3.5 0.086887 0.0301974 0.007871 3.5 0.826226 4 0.067668 0.0183156 0.003718 4 0.864665 4.5 0.0527 0.011109 0.001756 4.5 0.894601 5 0.041042 0.0067379 0.00083 5 0.917915 Eksponentjaotust kasutatakse sõltumatute sündmuste vahelise aja modelleerimisel, nt. kasutatakse reaalsete teenindussüsteemide teenindusaja modelleerimisel (järjekorrateooria) Ülesanne. Veoato laadimise aja modellerimine eksponentjaotuse abil.  On teada veoauto laadimisajad:  2:40, 1:25, 1:10, 1:45, 0:30, 0:35, 0:35, 0:40, 0:40, 1:45, 1:20, 0:55, 0:45, 0:40, 0:40, 4:10, 3:10, 3:15, 3:25, 1:10, 0:25, 0:40, 0:30, 0:30, 0:50, 0:55. tund min aeg x f(x) 0 25 0.42 54.42% 0 30 0.50 51.16% 0 30 0.50 51.16% 0 30 0.50 51.16% 0 35 0.58 48.10% 0 35 0.58 48.10% 0 40 0.67 45.22% 0 40 0.67 45.22% 0 40 0.67 45.22% data text to columns 0 40 0.67 45.22% 0 40 0.67 45.22%  2:40  1:25 0 45 0.75 42.51% 0 50 0.83 39.96% eng. Exponent distribution Eksponentjaotuse funktsioon =EXPON.DIST(x; λ; cum), kus Sisestage lähteandmed tabelisse.
Laadimisajad arvutage ümber tundidesse (aeg=tund+min/60).
Laadimisajad sorteerige kasvavas järjekorras (Data->Filter).
Leidke keskmine laadimisaeg 𝑥 ̅ (=AVERAGE).
Avutage parameeter  𝜆=1⁄𝑥 ̅   . Arvutage tõenäosused f(x) funktsiooni =EXPON.DIST abil (cum=false-
0)
Konstrueerige laadimisaja graafikut (Insert -> Charts -> Scatter with 
Smooth Lines)


0 55 0.92 37.57% keskmine ladimisaeg 0 55 0.92 37.57% 1 10 1.17 31.22% 1 10 1.17 31.22% 1 20 1.33 27.59% 1 25 1.42 25.94% 1 45 1.75 20.26% 1 45 1.75 20.26% 2 40 2.67 10.27% 3 10 3.17 7.09% 3 15 3.25 6.67% 3 25 3.42 5.89% 4 10 4.17 3.38%


Tihedusfunktsiooni matemaatiline valem -argument
-parameeter
-tihedusfunktsioon f(x) Empiirilistes uuringutes parameeter λ võrdub valimi keskväärtuse pöördväärtusega: -jaotusfunktsioon F(x) Jaotusfunktsioon F(x) Tihedus- ja jaotusfunktsioonide graafikud: Insert -> Charts -> Scatter with Smooth Lines 1 1.5 0.0000000 0 0.3934693 0.5276334
0.6321206 0.7768698
0.7768698 0.8946008
0.8646647 0.9502129
0.9179150 0.9764823
0.9502129 0.988891 0.9698026 0.9947525
0.9816844 0.9975212
0.9888910 0.9988291
0.9932621 0.9994469 Eksponentjaotust kasutatakse sõltumatute sündmuste vahelise aja modelleerimisel, nt. kasutatakse reaalsete teenindussüsteemide teenindusaja modelleerimisel (järjekorrateooria) Ülesanne. Veoato laadimise aja modellerimine eksponentjaotuse abil.  On teada veoauto laadimisajad:  2:40, 1:25, 1:10, 1:45, 0:30, 0:35, 0:35, 0:40, 0:40, 1:45, 1:20, 0:55, 0:45, 0:40, 0:40, 4:10, 3:10, 3:15, 3:25, 1:10, 0:25, 0:40, 0:30, 0:30, 0:50, 0:55. data text to columns  1:10  1:45  0:30  0:35  0:35  0:40  0:40 Exponent distribution https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution Sisestage lähteandmed tabelisse.
Laadimisajad arvutage ümber tundidesse (aeg=tund+min/60).
Laadimisajad sorteerige kasvavas järjekorras (Data->Filter).
Leidke keskmine laadimisaeg 𝑥 ̅ (=AVERAGE).
Avutage parameeter  𝜆=1⁄𝑥 ̅   . Arvutage tõenäosused f(x) funktsiooni =EXPON.DIST abil (cum=false-
0)
Konstrueerige laadimisaja graafikut (Insert -> Charts -> Scatter with 
Smooth Lines) 𝑓(𝑥)=𝜆𝑒^(−𝜆𝑥) 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 0.00% 10.00% 20.00% 30.00% 40.00% 50.00% 60.00% f(x) laadimisaeg, t o sa k a a l


keskmine ladimisaeg 1.35 =AVERAGE(D33:D58) lambda 0.74 =1/J46 Laadimisajale 38min vastab osakaal: aeg x osakaal 38 0.6333333 46.35% 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 0.00% 10.00% 20.00% 30.00% 40.00% 50.00% 60.00% f(x) laadimisaeg, t o sa k a a l


Empiirilistes uuringutes parameeter λ võrdub valimi keskväärtuse pöördväärtusega: Tihedus- ja jaotusfunktsioonide graafikud: Insert -> Charts -> Scatter with Smooth Lines Eksponentjaotust kasutatakse sõltumatute sündmuste vahelise aja modelleerimisel, nt. kasutatakse reaalsete teenindussüsteemide teenindusaja modelleerimisel (järjekorrateooria) On teada veoauto laadimisajad:  2:40, 1:25, 1:10, 1:45, 0:30, 0:35, 0:35, 0:40, 0:40, 1:45, 1:20, 0:55, 0:45, 0:40, 0:40, 4:10, 3:10, 3:15, 3:25, 1:10, 0:25, 0:40, 0:30, 0:30, 0:50, 0:55.  1:45  1:20  0:55  0:45  0:40  0:40  4:10  3:10 𝜆=1/𝑥 ̅  0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 f(x) lambda=0,5 lambda=1 lambda=1,5 O sa k a a l 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 F(x) lambda=0,5 lambda=1 lambda=1,5 o sa k a a l 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 0.00% 10.00% 20.00% 30.00% 40.00% 50.00% 60.00% f(x) laadimisaeg, t o sa k a a l


0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 0.00% 10.00% 20.00% 30.00% 40.00% 50.00% 60.00% f(x) laadimisaeg, t o sa k a a l


 3:15  3:25  1:10  0:25  0:40  0:30  0:30  0:50 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 f(x) lambda=0,5 lambda=1 lambda=1,5 O sa k a a l 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 F(x) lambda=0,5 lambda=1 lambda=1,5 o sa k a a l


 0:55

Document Outline

• BINOOMJAOTUSE NÄIDE
• BINOMIAL 1
• BINOMIAL 2
• BINOMIAL 3
• BINOMIAL 4
• NORMAALJAOTUSE NÄIDE
• NORMAL
• STUDENTI T-JAOTUS
• HII-RUUT JAOTUS
• FISHERI F-JAOTUS
• EKSPONENTJAOTUS