Öeldakse, et funktsioonil f on kohal P0 D lokaalne miinimum, kui U ( P0 ) D nii, et P U ( P0 ) korral kehtib võrratus f ( P0 ) f ( P ) . Tähistus: locmin u = u ( P0 ) = A . Öeldakse, et funktsioonil f on kohal P0 D lokaalne maksimum, kui U ( P0 ) D nii, et P U ( P0 ) korral kehtib võrratus f ( P0 ) f ( P ) . Tähistus: locmax u = u ( P0 ) = A . Lokaalse miinimumi ja maksimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. Lokaalne ekstreemum võib olla ainult määramispiirkonna sisepunktis. Analoogiliselt defineeritakse rangete võrratustega range lokaalne miinimum ja range lokaalne maksimum (ühine nimetus range lokaalne ekstreemum). Olgu antud funktsioon w = f ( x, y , z ,...) ( x, y, z ,...) D R n ja punkt P0 = ( x0 , y 0 , z 0 ,...) D . Öeldakse, et punkt P0 on funktsiooni f statsionaarne punkt, kui kõik esimest järku osatuletised selles punktis on võrdsed nulliga. Statsionaarne punkt võib olla ainult määramispiirkonna sisepunktis.
= M max = K1 M D 64 4(2 R - D ) D 3 y - 4 I max 2 D (suurim absoluutväärtus ümarristlõike "sisepunktis") 32FR 4F Kõvera varda tugevustingimus: = K1 + 2 [ ] (tõmme või surve ümarristlõike "sisepunktis") max D 3 D
z=f(x1;....xn) fikseeritud muutuja xi järgi, käsitledes teisi muutujaid kui konstante, nimetatakse selle funktsiooni i-ndaks osatuletiseks ja tähistatakse zi= fi(x1;....xn), i=1,2,...n Füüsikaline tõlgendus: Geomeetriline tõlgendus: Kuidas leida vaata Mitme muutuja funktsioonid lk 4 7. Ekstreemumid(lokaalse maksimumi ja miinimumi definitsioon) DEF: Funktsionil z=f(P)=f(x1;....xn) on määramispiirkonna sisepunktis A(a1....,an) lokaalne maksimum, kui punkti A küllalt lähedases ümbruses on f(A) ¿ f(P) ja lokaalne miinimum, kui f(A) ¿ f(P). Kahe muutuja funktsiooni korral on funktsiooni z=f(x,y) väärtus punktis x0,y0 suurem kõigist tema naabruses asuvatest funktsiooni väärtustest siis on see lokaalne maksimum. Kui on väiksem kõigist tema naabruses asetsevaist funktsiooni väärtustest siis lokaalne miinimum 8
mise raja a u ¨mbruses arvutatakse valemi b b f (x)dx = lim f (x)dx (5.13) a 0 a+ 14 abil. Kui funktsioon f (x) on t~okestamata l~oigu [a; b] sisepunktis c, siis kasuta- des m¨a¨aratud integraali l~oigul aditiivsuse omadust, kirjutame b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a c ja tekkinud summas on liidetavad juba defineeritud t¨ uu¨pi p¨aratud integraalid. Kui arvutusvalemites (5.12) ja (5
Öeldakse, et arv A on funktsiooni f parempoolne piirväärtus punktis a, ning tähistatakse , kui iga ε > 0 korral leidub selline δ > 0, et [x ∈ D, 0 < x − a < δ] ⇒ |f (x) − A| < ε. Öeldakse, et arv A on funktsiooni f : D → R vasakpoolne piirväärtus punktis a, ning tähistatakse kui iga ε > 0 korral leidub selline δ > 0, et [x ∈ D, 0 < a − x < δ] ⇒ |f (x) − A| < ε. Teada, et intervallic D sisepunktis a kehtib seos parajasti siis, kui (lause 3.1). Defineerida piirväärtused , tuua näiteid Öeldakse, et arv A on vaadeldava funktsiooni f piirväärtus lõpmatuspunktis ∞ (kirjutatakse , kui ∀ε > 0 ∃N > 0 : [x ∈ D, x > N] ⇒ |f (x) − A| < ε. Öeldakse, et A on funktsiooni f piirväärtus lõpmatuspunktis −∞ (lühidalt , kui
Järeldus: Lõigus pidev funktsioon omab igat väärtust, mis paikneb ekstremaalsete väärtuste vahel. S.t. { f ( x ) | x [a, b ]} = [m, M ] , kus M = sup f ( x ) = max f ( x ) ja m = inf f ( x ) = min f ( x ) , kus x [a, b] Fermat' teoreem Definitsioon: Funktsiooni f määramispiirkonna punkti, kus funktsiooni tuletis on null, nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks. Teoreem: Kui funktsioonil f on ekstremaalne väärtus määramispiirkonna X sisepunktis , kus funktsioon on diferentseeruv, siis on statsionaarne punkt, s.t. f ( ) = 0 . Tõestus: Tõestame teoreemi juhul, kui on miinimumpunkt, s.t. f ( ) = min f ( x ) x X U ( ) X f ( + x ) - f ( ) > 0 x 0 : f ( + x ) X f ( + x ) - f ( ) f ( + x ) - f ( ) f ( + ) = lim 0 f ( - ) = lim 0 x 0 + x x 0 - x
y y y y = f1 (x) y = f2 (x) y = f3 (x) 0 1 x 0 1 x 0 1 x Joonis 3.3: Näide 3.2. Seose (3.2) põhjal on funktsioon f oma määramispiirkonna sisepunktis a pidev parajasti siis, kui ta on selles punktis vasakult ja paremalt pidev (selgitada!)z. Tuleme veel kord tagasi näite 3.2 juurde. Funktsioon f1 on pidev kohal x = 1, kuna lim f1 (x) = 1 = f (1). Erinevatel põhjustel on funktsioonid f2 ja f3 sel kohal mittepidevad: x→1 funktsioon f3 ei ole kohal x = 1 määratud ning lim f2 (x) = 1 6= 0 = f2 (1). x→1
mise raja a u ¨mbruses arvutatakse valemi b b f (x)dx = lim f (x)dx (5.13) a 0 a+ 14 abil. Kui funktsioon f (x) on t~okestamata l~oigu [a; b] sisepunktis c, siis kasuta- des m¨a¨aratud integraali l~oigul aditiivsuse omadust, kirjutame b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a c ja tekkinud summas on liidetavad juba defineeritud t¨ uu¨pi p¨aratud integraalid. Kui arvutusvalemites (5.12) ja (5
annaabi.ee 
