§2. KAHEKORDSED INTEGRAALID 1. Kahekordse integraali definitsioon ja geomeetriline tõlgendus Def. Piirkonna D diameetriks nimetatakse arvu d (D ) = sup d (P, Q ) . P ,QD Olgu antud funktsioon z = f ( x, y ) , mis on määratud kinnises tõkestatud piirkonnas D R 2 . Jagame piirkonna D teatavate joontega osapiirkondadeks D1 ,..., Dn nii, et nad paarikaupa ei omaks ühiseid sisepunkte. Valime punktid Pi Di i = 1,..., n . Def. Kui sõltumata piirkonna D alajaotusest ja punktide Pi valikust eksisteerib lõplik piirväärtus n lim f (Pi )S (Di ) = I , kus = max d (Di ) , 0 1 i n i =1 siis piirväärtust I nimetatakse funktsiooni f kahekordseks integraaliks üle piirkonna D .
integreeruvaks piirkonnas D ja integraalsumma piirväärtust nim selle funktsiooni kahekordseks integraaliks üle piirkonna D. lim=f(x,y)dxdy n> D Lause: Kui funk. on tõkestatud piirkonnas D, siis ta on integreeruv. Kahekordse integraali omadusi Lineaarsus: [f ( x, y ) + g ( x, y )]dxdy = f ( x, y )dxdy + g ( x, y )dxdy D D D Adatiivsus: kui D = D1 D2 ; D1 , D2 ei oma ühiseid sisepunkte, siis f ( x, y)dxdy = f ( x, y)dxdy + f ( x, y)dxdy D D1 D2 Monotoonsus: kui f(x,y) g(x,y) igas piirkonna D punktis, siis f ( x, y)dxdy g ( x, y)dxdy D D Kui funktsioon on positiivne, on ka integraal positiivne: f(x,y) 0 , P( x, y ) D f ( x, y )dxdy 0 D Kahekordse integraali geomeetriline tõlgendus
ruumala on võrdne integraalsummaga Vn. Järelikult kahekordse integraali defnitsiooni põhja Q ruumala= Lim Vn = (x,y)dxdy n 0 D 3. Kahekordse integraali omadusi. 1) [ (P) + g(P)] dS = (P)dS + g(P)dS D D D 2) C (P)dS = C (P)dS , kus C on konstant D D 3) Kui D= D1+D2, kusjuures D1 ja D2 ei oma ühiseid sisepunkte, siis (P)dS = (P)dS + (P)dS D D1 D2 4) Olgu piirkonna D pindala S. Siis kehtib võrdlus dS = S D 5) Olgu m ja M vastavalt (x,y), vähim ja suurim väärtus piirkonnas D.Siis kehtivad seosed mS = m dS (P)dS M dS = MS D D D
f1'(x,y)=f1(x,y)+C0 ja f2'(x,y)=f 2(x,y)+Cf1'(x,y), mille puhul siis 3) D=D1D2, kusjuures D1 ja D2 ei oma ühiseid sisepunkte i =1 c Olgu piirkond D regulaarne y-telje suhtes. Siis leiduvad arvud a ja b, kus i =1 cab, ja funktsioonid (x) (x), nii et
.., Sn saadud osahulk ning Pi punkt, kusjuures PiSi, piirväärtust protsessis n0, kus n=max{d1, d2,...,dn}, kus di tüki Si diameeter: n lim f ( Pi )Si = f ( P ) dS = f ( x, y )dxdy n0 i =1 D D ( f ( P) + g ( P))dS = f ( P)dS + g ( P)dS D D D Cf ( P)dS = C f ( P)dS D D 3) D=D1D2, kusjuures D1 ja D2 ei oma ühiseid sisepunkte f ( P)dS = f ( P)dS + f ( P)dS D D1 D2 4) Olgu piirkonna D pindala S, siis kehtib valem S = dS D 5) Olgu m f(P) vähim väärtus piirkonnas D ja M f(P) suurim väärtus piirkonnas D, siis m dS f ( P ) dS M dS D D D 6) Keskväärtusteoreem. Leidub punkt A hulgas B nii, et kehtib võrdus f ( P)dS = f ( A) dS D D 17. Kahekordse integraali geomeetriline tähendus
poollõigu ja lõigu sisepunktide hulka. Punkti a ∈ X nimetatakse hulga X ⊂ R sisepunktiks, kui leidub selline δ > 0, et Uδ (a) ⊂ X. Hulga X kõigi sisepunktide hulka tähistame Xo. Kõik vahemikud (a, b) ja tõkestamata intervallid (−∞, b), (a,∞) ja (−∞,∞) koosnevad ainult sisepunktidest, niisiis, X = Xo, kui X on üks neist intervallidest. Seevastu kõigi naturaalarvude hulgal N ei ole ühtegi sisepunkti, s.t. No = ∅. Tuua 2 näidet reaalarvude hulkadest, millel pole sisepunkte Kõigi naturaalarvude hulgal N Hulk F = [0, 1] E, E ⊂ [0, 1] 6. Funktsiooni mõiste Funktsiooni f : D → R mõiste: Olgu D mittetühi reaalarvude hulk, s.t. D ⊂ R ja D ̸= ∅. Kui igale arvule x hulgast D on mingi eeskirja järgi seatud vastavusse üheselt määratud arv y, mida me tähistame f (x), siis öeldakse, et hulgas D on defineeritud funktsioon f. Tuua näiteid tema analüütilise esituse kohta: Olgu funktsioon f antud seosega
1. (Lokaalse ekstreemumi olemasoluks tarvilik tingumus) Kui kahe muutuja funktsioonil z = f(x,y) on punktis P0 f(x,y)-g(x,y)=f(x,y)+(-1)g(x,y). Omadus 4. Kui 𝐷 = 𝐷1 ∪ 𝐷2 ning piirkonnad D1 ja D2 ei oma ühiseid tähistatakse ∫Г 𝑋(𝑃)𝑑𝑥 + 𝑌(𝑃)𝑑𝑦 + 𝑍(𝑃)𝑑𝑧 lokaalne ekstreemum, siis punkt P0 on selle kahe muutuja funktsiooni kriitiline punkt.Viimane tingimus on sisepunkte, siis ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 . Tõestus.Kahekordse integraali GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas
funktsioonide kahekordsete integraalide vahega [f (x, y) - g(x, y)]dxdy = f (x, y)dxdy - g(x, y)dxdy. D D D Omadus 3 j¨areldub omadustest 1 ja 2, sest f (x, y) - g(x, y) = f (x, y) + (-1)g(x, y). Omadus 4. Kui D = D1 D2 ning piirkonnad D1 ja D2 ei oma u ¨hiseid sisepunkte, siis f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy. D D1 D2 2 T~oestus. Kahekordse integraali definitsioonis ei s~oltu piirv¨a¨artus piirkon- na D osapiirkondadeks jaotamise viisist. Seega v~oime esimeseks jaotusjoo- neks valida piirkondade D1 ja D2 u ¨hise rajajoone. Jaotades piirkonda D
annaabi.ee 
