. Nende sirgete kanoonilised võrrandid on siis x - x2 y - y 2 z - z 2 = = tx ty tz ja . 1. Sirged ühtivad, kui nende sihivektorid on kollineaarsed ja ka vektor AB on mõlema sihivektoriga kollineaarne. 2. Sirged on paralleelsed, kui nende sihivektorid on kollineaarsed, aga vektor AB ei ole kummagi sihivektoriga kollineaarne. 3. Sirged lõikuvad, kui nende sihivektorid ei ole kollineaarsed, aga sihivektorid ja
seos? 1x+4y+6=0 -2.·1=-1 Millised on paralleelsete sirgete võrdsed 6x+8y+1=0 tõusud? 3x+4y+4=0 6/3=8/4 1/4 Mis juhtub, kui sirgete Sirged lõikuvad sihivektorid s1 ja s2 ei ole kollineaarsed? Mis on võrdsed, kui sirged on Sirgete tõusud; K1 = k2 paralleelsed või ühtivad? Kui suur on maksimaalne 180° Vähim tõusunurk: k1 = 0° sirgete tõusunurkade vahe? Suurim tõusunurk: k2 = 180° Kui suur on sirgete vaheline 90° nurk, kui mõlemad sirged on erinevate nurkade
sihivektor s=(-B; A) ja normaalvektor s=(A; B) võrrand tõusu ja algordinaadi abil y = kx + b Kui sirge üldvõrrandist avaldada muutuja y, siis saame võrrandi seega ja 22. Sirgete paralleelsuse ja ristseisu tunnused. Kahe sirge vastastikused asendid. antud sirged s ja t: ja ja ja kaks sirget on paralleelsed, kui nende sihivektorid on kollineaarsed/sihivektorite vektorkorrutis on 0 (kuid sirgetel pole ühiseid punkte); kui tõusud on võrdsed (kuid vabaliikmed pole); kaks sirget on risti, kui nende tõusude korrutis on -1 või nende sihivektorite skalaarkorrutis on 0. kaks sirget lõikuvad, kui tõusud pole võrdsed; kui sihivektorid pole kollineaarsed kaks sirget ühtivad, kui nende sihivektorid on kollineaarsed ja sirgetel on ühine punkt; kui tõusud on võrdsed (ja vabaliikmed on võrdsed)
Sirge tõusunurk on alati 0* ja 180* vahel. Kui sirge tõusunurk on alfa, siis selle sirge tõus k=tan alfa. Seega sirge tõusu saab leida vaid x- teljega mitteristuvate sirgete korral. Võrrand tõusu ja algordinaadi abil: y = kx + b Kui sirge üldvõrrandist avaldada muutuja y, siis saame võrrandi seega 22. Sirgete paralleelsuse ja ristseisu tunnused. Kahe sirge vastastikused asendid. Paralleelsuse tunnused: sihivektorid kollinearsed (+ kontrollin et ei ühti) Ristseisu tunnused: sihivektorid on risti. 23. Sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid ruumis. Kanoonilised võrrandid: (x-x1) / sx = (y-y1) / sy = (z-z1) / sz =täh. t. Parameetrilised võrrandid: 24. Tasandi normaal. Tasandi üldvõrrand ruumis. Tasandi normaal (ristsirge) on risti selle tasandi kõigi sirgetega, mis asetsevad antud tasandil. Tasandi võrrand ruumis: Ax + By + Cz + D = 0
Meeldejäävamaks sihivektoriks on aga vektor s=-B·s1=(-B;A) seega, Ax+By+C=0 s=(-B;A) 7.3 Kahe sirge vastastikused asendid · Sirgete ühtimine sis kui on samad tõusunurgad ja sirged lõikavad y-telge samas punktis. · Kaks üldvõrrandiga antud sirget ühtivad, kui võrrandite kordajad on võrdelised, st kui · Kaks üldvõrrandiga antud sirget on paralleelsed, kui · Sirged lõikuvad, kui sirgete sihivektorid ei ole kollineaarsed või kui tõusud ei ole võrdsed. Lõikepunkti leidmiseks tuleb lahendada võrrandisüsteem. · Saadud valem võimaldab leida nurka sirgete vahel · Kui sirged on risti, siis on risti ka nende sihivektorid. · Kaks sirget on risti parajasti siis, kui nende tõusude korrutis on -1, st k1k2=-1 7.4 Ringjoone võrrand · Seda võrrandit rahuldavad ringjoone kõik punktid ja ainult need. Seetõttu on see ringjoone võrrand.
y 1 ) / sy = (z-z1) / sz =täh. t. y 1 z = s t + z z 1 Sirge parameetrilised vôrrandid: 22. Sirgete paralleelsuse ja ristseisu tunnused. Kahe sirge vastastikused asendid. Sirgete paralleelsuse tunnused: 1) Sihivektorid on kollineaarsed (+ kontrollin et ei ühti). Sirgete ristseisu tunnused: 1) Sihivektorid on risti. 23. Tasandi normaal. Tasandi võrrand ruumis. Kahe tasandi vastastikused asendid. Tasandi normaal iga vektor, mis on risti tasandi mistahes vektoriga (n = (nx=A; ny=B;nz =C) Tasandi vôrrand ruumis: 1) Ax + By + Cz + D = 0. 2) Viimase saamislugu: (M0X)*n = 0 nx(x-x0) + ny(y-y0) + nz(z-z0) = 0. 24. Sirge ja tasandi vastastikused asendid ruumis. Sirge ja tasandi vastastikused asendid ruumis:
suvalise punkti, näiteks, A(3;1; 1) ja leiame selle punkti kaugus tasandist: 3 35 32 12 52 Kaks sirget Kaks sirget ruumis on 1) lõikuvad (erijuhul langevad kokku) ja siis sirgete vaheline kaugus on null; 2) on paralleelsed (kui sirgete sihivektorid on paralleelsed) või 3) kiivsed. Kui sirged on parallelsed, siis ühe sirge iga punkti kaugus teisest sirgest võrdub sirgete vahelise kaugusega. Kui sirged on kiivsed, siis eelkõige on vaja leida kaks parallelset tasandit nii et kumbki sirge asub ühel tasandil. Tasandite normaalvektor on leitav kui sirgete sihivektorite vektorkorrutis. Sirgete vaheline kaugus võrdub siis tasandite vahelise kaugusega. Näide 4: Leida sirgete vaheline kaugus. Lahendus
3 1 1 2 2 3 10 8 x 2 5 x 4 1 z 3 8x 5 y z 7 0 SIRGETE VASTASTIKUNE ASEND RUUMIS Olgu antud kaks sirget: x x1 y y1 z z 0 , m1 n1 p1 x x2 y y 2 z z 2 . m2 n2 p2 Sihivektorid ja punktid sirgetel: s1 m1 , n1 , p1 , s 2 m2 , n2 , p 2 , M 1 x1 , y1 , z1 , M 2 x2 , y 2 , z 2 . Moodustame vektori: s x 2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1 . 1. Kaks vektorit on kiivad parajasti siis, kui vektorid s1 , s 2 , s on mittekomplanaarsed ehk nende segakorrutis ei võrdu nulliga: m1 n1 p1
X Y Z Kahe punktiga ( x1 ; y1 ; z1 ) ja ( x2 ; y2 ; z2 ) määratud sirge: x - x1 y - y1 z - z1 = = x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 r sirge sihivektor s = ( x2 - x1 ; y2 - y1 ; z2 - z1 ) . r r Kahe sirge, mille sihivektorid on s1 = ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) ja s2 = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) , paralleelsus või ühtimine: r r X 1 Y1 Z1 s1 Ps2 = = . X 2 Y2 Z 2 9. KOMBINATOORIKA JA TÕENÄOSUSTEOORIA 9.1 Kombinatoorika 47 Ühenditeks nimetatakse lõpliku hulga U n = { u1 ; u 2 ; K ; u n } elementidest moodustatud
Kahe punktiga x1 ; y1 ; z1 ja x2 ; y2 ; z2 määratud sirge: x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 r sirge sihivektor s x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 . r r Kahe sirge, mille sihivektorid on s1 X 1 ; Y1 ; Z1 ja s2 X 2 ; Y2 ; Z 2 , paralleelsus või ühtimine: r r X 1 Y1 Z1 s1 Ps2 . X 2 Y2 Z 2 9. KOMBINATOORIKA JA TÕENÄOSUSTEOORIA 9.1 Kombinatoorika 47
siis seda võib tõlgendada ka kui z-teljega paralleelset tasandi võrrandit, mis läbib xy-tasandil asuvat sirget. Sel juhul punkti P (x0 , y0 ) E2 kaugus sirgest l : Ax + By + C = 0 arvutatakse kui punkti kaugus tasandist ehk valemiga |Ax0 + By0 + C| d(P, l) = , l E2 . (14.16) A2 + B 2 14.7 Nurk kahe sirge vahel Olgu antud lõikuvate sirgete l1 ja l2 sihivektorid s1 ja s2 ruumis E. Kui asetada sihivektorite alguspunktid sirgete lõikepunkti, siis võib leida nur- gad vektorite s1 ja s2 vahel, kuid ka s1 ja vastandvektori -s2 vahel. Kui sirged on paralleelsed, siis nurkade kohta jääb põhimõte samaks, kuigi sir- getel ei pruugi olla lõikepunkti. Definitsioon 14.14 Sirgete l1 ja l2 vaheliseks nurgaks nimetatakse nende sirgete sihivekto- rite s1 ja s2 ning s1 ja -s2 vahelistest nurkadest vähimat ehk
annaabi.ee 
